李锐，字尚之，元和生员。幼年聪慧过人，在书塾翻到《算法统宗》，自行领会含义，于是研习《九章算术》、八线之学。跟随钱大昕学习经义，懂得中西算学异同的精髓，对古历尤其精深。从三统历到授时历，全部能洞悉本源。
他曾说：“三统历，《世经》称作殷历，以元帝初元二年为历首，这一年岁在甲戌。向上推一千五百二十年，岁在甲寅为元首；再上四千五百六十年，岁又甲寅，为上元。用这套积年，按四分法上推，太初元年可以推到朔旦同日，但中气余分有四分之三日，朔余九百四十分之七百零五。所以太初历舍去四分之三日，减去小余七百零五分。《汉书》记载三统历，不记载太初历。其实一月的日数，二十九日八十一分四十三，日法、月法和三统历相同。贾逵说太初历斗宿二十六度三百八十五分，就是统法。周天的推算又和三统历相同。四分历与太初历并无差别，而太初历也可以称作三统历。郑玄注解《召诰》，说周公居摄五年的二月、三月，应当是一月、二月；经文不写正月，大概是要等到天下安定、制定礼乐制度之后，才正式称正月的缘故。江声徵君、王鸣盛光禄认为，这是依据《洛诰》十二月戊辰日逆推得到的结论，这个说法并不严谨。现在考证：郑玄精通历法算术，他将原文的二月三月订正为一月二月，是依据纬书候历、蔀数，向上推算、向下核验，一一都能吻合，不只是考察一两年间的史事而已。
于是依据《诗经·大明》的疏文，郑玄注解《尚书》中文王受命、武王伐纣的日期，全都采用殷历甲寅元。就从文王得到赤雀、承受天命这一年起，用《乾凿度》记载的历年数推算，这一年入戊午蔀，二十九年，岁星在戊午；这和刘歆所说殷历周公六年才进入戊午蔀的说法不同。刘歆称文王受命九年驾崩，死后四年武王攻克殷商，武王克殷之后七年驾崩，第二年就是周公摄政元年，比郑玄的推算少一年。刘歆又记载《召诰》《洛诰》都属于摄政七年的史事，该年二月乙亥朔、三月甲辰朔、十二月戊辰朔，全都和郑玄的推算不合。于是推算各年份以及一月、二月的干支，依次排比上下，写成《召诰日名考》，这是融会贯通古历，用来阐发经学的著作。
在那个时代，钱大昕是当世第一的通儒，平生很少赞许他人，唯独对李锐，认为他学问胜过自己。钱大昕曾经对《太乙统宗宝鉴》求积年之术心存疑问：书中日法一万零五百岁，岁实是三百八十三万五千四十八分二十五秒。李锐依据宋代同州王湜《易学》，提出：每年在三百六十五日又二千四百四十分之外，余数有的止于五分，有的止于六分，有的在五六分之间。余数止于五分的，就是五代王朴的《钦天历》，以七千二百为日法；余数止于六分的，是近代的万分历，以一万分为日法；余数在五六分之间的，就是记载在《太乙遁甲》中的景祐历法，以一万零五百分为日法，这其实暗中采用了《授时历》的算法。拿这个日法作为第一率，岁实为第二率，《授时历》日法一万作为第三率，推求第四率，得到三百六十五万二千四百二十五分，也就是《授时历》的岁实。追本溯源，一语切中要害。
近代历算之学，首推吴江王锡阐、宣城梅文鼎，之后休宁戴震也算是名家。王锡阐认为回回历的历元在唐武德年间，并不是开皇己未年；梅文鼎认为回回历实际以洪武甲子为历元，只是假托为开皇己未。他们计算宫分的时候，虽然取用开皇己未作为历元，但查找立成表的根本基准，是在己未历元之后二十四年，二人这一点见解是相同的。
戴震说回回历一百二十八年闰三十一日，也就是每年在三百六十五日之外，又多出一百二十八分之三十一日。用一万万乘以三十一，除以一百二十八，得到二千四百二十一万八千七百五十。第谷测定的岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒，通分之后，分子用一万万相乘，再除以日法，同样得到二千四百二十一万八千七百五十，和梅文鼎《疑问》所说相合。这三位学者的论述，都确实有真知灼见，但都没有考究详尽。李锐依据《明史·历志》、回回历原本算法，再参考近年的瞻礼单，精细考核，提出：回回历有太阳年，他们称为宫分；有太阴年，他们称为月分。宫分有宫分的历元，就是开皇己未；月分有月分的历元，就是唐武德壬午。从开皇己未到洪武甲子，宫分积年七百八十六年；从武德壬午到洪武甲子，月分积年也为七百八十六年。迷惑世人的地方，就在于这两段积年数字恰好相等，于是写成《回回历元考》。书中有求取宫分白羊一日，换算到月分截历元之后积年月日的算法；认为如果不懂这一点，就算拥有现成的立成表，也无法演算。书稿散佚，没有刊刻。
梅文鼎没有见过古本《九章算术》，他所撰写的《方程论》，大多凭自己臆测补写，又被西学局限，以致违背直除法的本意。李锐探求古义，追寻根本，化繁为简，将旧算法列在前，另立新术附在后，写成《方程新术草》，希望古法能够向世人阐明。古代本没有天元一术，它最早见于元代李冶的《测圆海镜》《益古演段》二书；元代郭守敬使用这一方法撰写《授时历草》。明代学士顾应祥不能理解其中要义，擅自删去细草，于是这门学问就此失传。自从梅文鼎领悟天元术就是西学的借根方，李冶的著作才重新被世人重视。对于原有算法不通之处，李锐另外设立数种新法；还在梅文鼎的说法之外辨析：天元术的相消，只有减法而无加法，和借根方两边同时加减的算法略有差别。
李锐还不满意顾应祥所写的勾股、弧矢两种算术，评价说：“弧矢算法起源于《九章算术》方田章。北宋沈括用两矢的幂求弧背；元代李冶用三乘方求取矢长，引申推广，这一套方法已经十分详备。顾应祥连如积术都没弄懂，只是推演开方，难道不是谬误吗？”于是选取弧矢十三种算法，融入天元术，写成《弧矢算术细草》。又仿照《益古演段》体例，汇总勾股和较六十多种算法，写成《勾股算术细草》，作为学习天元术的入门路径。
李锐又从同乡顾千里那里得到秦九韶《数学九章》，看到书中也有“天元一”的名称，但它的算法是把余数放在右上，定数放在右下，把天元一立在左上。先用右上之数除右下之数，得到的商数和左上相乘，归入左下。依次上下相乘推演，直到右上最后的余数为一为止，再检验左上所得的数值作为乘率。这和李冶书中把天元一立于太极之上，通过如积运算，取寄左数和同数相消的方法并不相同。由此知道秦九韶书中，是大衍求一术里面另一种天元算法。秦九韶和李冶虽然身处同一时代，但宋元南北隔绝，两家算法没有互相流传，应当是各自师承而来。
李锐曾经说：“四季构成一岁，最早记载于《虞书》；五项纪时明确历法，见于《洪范》。历学实在是治国的要务、施政的根本。可是《通典》《通考》却弃置不录；邢云路虽然撰写《古今律历考》，只是援引经史，追求篇幅浩大。梅文鼎也只是有撰写《历法通考》的设想，终究没有成书。于是我广泛搜罗诸史，从黄帝历、颛顼历、夏历、殷历、周历、鲁历六古历，下到元、明数十家历法，一一阐明内涵，存世的加以表彰，有缺讹的考证订正，写成《司天通志》，让读史书的人能够开启门径，研习历学的人增长才智。”可惜只完成四分、三统、乾象、奉天、占天五种历法的注释，其余篇目连同《开方说》，都是草稿，没有完稿。
《开方说》共三卷。李锐研读秦九韶著作，看到书中的超步、退商、正负、加减、借一为隅各类法则，很能保存古《九章算术》少广章的遗意，远远优于梅文鼎《少广拾遗》那种没有方、廉概念的作品。梅文鼎的学问源自《同文算指》《西镜录》两本书，终究出自西法，原本不知道三次以上开方全都带有从方。李锐依据秦九韶的方法扩充阐释，写成此书。刚写完上、中二卷就去世，时年四十五岁。下卷由弟子黎应南续作完成。
黎应南，字见山，号斗一，广东顺德人。嘉庆戊寅年顺天乡试经魁，凭借书馆功绩议叙授官，选为浙江丽水县知县，后调任平阳县知县。在海疆任期满，加六品官衔，死于任上。
骆腾凤，字鸣冈，山阳人。嘉庆六年举人。道光六年，经大挑定为一等，拟任知县，因母亲年老不愿出仕，改授舒城县训导。不到一年，告假奉养母亲回乡，在家乡讲学，弟子众多。道光二十二年八月在家中去世，年七十二岁。生性聪敏，喜爱读书，尤其精通天文历算。在京师跟随锺祥李潢求学，潜心钻研，不分寒暑。
著有《开方释例》四卷，自序大略说：“天元一术，见于宋代秦九韶大衍求一术，没有记载是谁创立。元代李冶《测圆海镜》《益古演段》，也使用这套体例。李冶称此法出自洞渊九容，如今无法详考源头。这本书从平方到多次乘方，统一使用一套算法；就算刍童、羡余这类形体，也能随手演算，确实是算术的秘钥。西学借根方实际来源于此，只是用多少代替正负，想要掩盖承袭的痕迹。殊不知正负用来区分异同，多少用来分辨盈缺，差之毫厘谬以千里，一定有人能够分辨。”
又写《游艺录》二卷，自题记说：“我已经为正负开方的条例撰写《释例》阐明算法。至于衰分、方程、勾股等术，还有《九章算术》没有记载、古今算术未能完备之处，总是追溯源头，订正讹误。不敢窃取前代学者的成果博取名声，也不用晦涩假话欺骗世人。把读书所得随手记录，汇编成一书。”遗稿共十余万字，就是现在流传的版本。
南汇张文虎曾经写信给户部主事、青浦熊其光谈论此书：“收到您出示骆训导的两种算书，读完奉还。李锐《开方说》对超步、商除、翻积、益积各类条例叙述详尽，却不讲立法的根本，让初学者茫然不解。骆腾凤对于各次乘方、方廉、和较、加减的原理，都直白说明；推求各元进退、定商的方法，尤其补足李锐书中缺失的内容，实在是学习开方的金钥匙。汪孝婴新设一题，两道勾股形面积相同、勾股和相等，用两弦差的中率辗转推求两弦差，算法迂回繁琐。骆腾凤用正负开方直接求出两组勾股，十分简便。李锐（衡斋）看到也应当赞许。”他就是这样被学者推崇信服。
项名达，字梅侣，仁和人。嘉庆二十一年举人，考授国子监学正。道光六年考中进士，改任知县，不去赴任，辞官后专心钻研算学。道光三十年在家中去世，年六十二岁。著作很多，如今传世的只有《下学庵勾股六术》连同图解，又附带勾股形边角互求三十二道题目，合为一卷。因为勾股和较互求的原有算法繁杂难懂，于是对旧法稍加变通，分为六种术式，同类题目统一用一套算法，条理分明，都可以应对。第一、二、三术以及第四术的前两题，都沿用旧的解法，其余重定新法，另外标注简便算法，每术都配上图解，阐明含义。第四、五、六术根源都出自第三术，可以用比例解释。第三术：勾弦差比股，如同股比勾弦和；股弦差比勾，如同勾比股弦和，这就是三率连比例。凡是比例可以加减，它们的和与差之间也可以互成比例。所以第四、五、六术的题目，都可以由第三术的题目加减得到，也可以依托第三术的比例衍生出新比例。依靠比例构造等积，各种开方术背后的原理也就清楚了。项名达另外创立弧三角总较术、求椭圆弧线术；术式已定，但没有解说，因为义理深奥，难以仓促写完，所以《勾股六术》最先成书。
项名达和乌程陈杰、钱塘戴煦相交最深，晚年学问更加精深。他认为古法用处有限，不怎么广泛涉猎，专门研究平面三角与球面三角，和陈杰想法不谋而合。他和陈杰讨论平面三角，项名达说：“平面三角形已知两边夹一角，直接求对角的对边，以前没有这算法，我曾经推得此法，您听说过吗？”陈杰答：“没有。”项名达把这套写法抄给他带回。方法是：甲乙边长自乘，加上甲丙边长自乘，得数寄存在左侧；取半径为第一率，甲角余弦为第二率，甲乙、甲丙两边相乘再加倍为第三率，求出第四率；用寄存左侧的数减去第四率，如果是钝角就相加，开平方，得数就是乙丙边长。
项名达又曾说，西洋杜德美的割圆九术，道理精妙，方法巧妙，本源出自三角垛。董方立创立四种算法阐释它，确是卓识。只是求倍分弧，只能得到奇数倍，没有偶数倍，徐有壬加以补充，才算完备。项名达研读三角垛，感叹它的数值只是逐项递加，可义理、模型、数字蕴含无穷。方形圆形的比率本不能相通，贯通方圆一定要依靠尖形；勾股，就是尖的几何形象；三角垛，就是尖形的级数。古法反复用半径求勾股来推圆周，计算极为繁难。杜德美用三角垛处理连比例各率，弧和弦可以互相换算，割圆术几乎达到极致。但是用这套方法制作八线全表，每求一个数值，都要两次乘除；所用弧线位数多，演算不便，董、徐二人大小弧互求之法也是如此。我曾经想另创简便算法，从三角垛整数推导出小数，只用半径，就能直接求取任意度分秒的正弦、余弦，不必借助弧线以及其他弧弦矢；并且一次乘除就能得到一数，或许可以辅助制表。
又写《象数原始》一书，没有写完，病重之时托付给戴煦。后来戴煦向项名达之子项锦标索取书稿，校算修订六个月才定稿，全书共七卷。原书第四卷只有六页，连同第七卷，都是戴煦补写。卷一《整分起度弦矢率论》，卷二《半分起度弦矢率论》，卷三、卷四《零分起度弦矢率论》，都用等腰三角形阐明几何形象，用递加法确定数值，末尾论述算法。卷五《诸术通诠》，选取新创立的弧弦矢互求二术、半径求弦矢二术以及杜德美、董方立诸术，逐条解说。卷六《诸术明变》，罗列弦矢求八线术、多次开方捷术、律管新算法、椭圆求周术，说明全都由递加数演变而来。卷七《椭圆求周图解》：原术以长轴为直径，求大圆周长以及周长差，相减得到椭圆周长；补法则以短轴为直径，求小圆周长，加上周长差得到椭圆周长，末尾附上图解。徐有壬巡抚江苏，寄信索要戴煦的定本刊刻；雕版刚完工，徐有壬殉难，书籍和雕版全部被毁。
有个叫王大有，字吉甫，钱塘生员，任翰林院待诏。潜心研究天文算学，向隐士戴煦求学。戴煦所有著作，王大有都抄录副本带走；项名达见到抄本，于是和戴煦订交。王大有曾经校勘《割圆捷术合编》，后来在杭州殉难。
丁取忠，字果臣，长沙人。研究象数之学，不求声名，刻印算书二十一种，编成《白芙堂丛书》。光绪初年，在家中去世，年纪超过七十岁。自己撰写的是《数学拾遗》一卷，演算草稿写得详尽，方便初学；本意是拾遗补缺，没有来得及详细考证义理出自何人。
又撰写《粟布演草》二卷，自序写道：“道光壬辰年，我刚开始学算。友人罗寅交，学官洪宾拿难题问我，我很久无法作答。同治元年，才结识南丰吴子登太史，他教我多次开方算法，我才通晓此术，但不明白立法的根本。后来吴子登游历岭南，我把这套算法推用到别的题目，辗转推演，仍然多有阻滞。又写信请教李壬叔，承蒙他出示廉法表和求总率两种算法，原理才变得清晰。之后吴子登又出示指数表和开方式表，李壬叔再配上图解阐明含义。至此三类问题互相推求，道理归于一贯。于是选取若干题目详细写出演草，加上捷法图解，合为一卷。拿给南海邹特夫审阅，邹特夫又增订多次开方术，另外出题演算，补足缺漏。就算算学最深奥的道理，比如圆内接正多边形，都可以借助借贷生息的模型来理解，实在快慰人心！”
后来又写《演草补》一篇，序文说：“前年我和左壬叟一同编《粟布演草》，本是为经商学算的人编写。有的一类法则演多道题，有的一道题设多种算式；有的用实数，有的用代数。算式或横排，或竖写，混杂并列，无非想让学习者对照类比，容易领会。可是初学者阅读，仍然觉得无从入门。商人读的算书，大多文字详细而算式简略；何况代数本是古算所无，骤然阅读自然不能理解。现在再加拟一道题附在后面，仿照《数理精蕴》借根方的体例，专门详述文字解说，希望初学者读了，由文知义。算理一旦明白，全书所有算式就能豁然贯通，或许也可以作为学习代数的入门书。”他同乡李锡蕃，也以演算闻名。
李锡蕃，字晋夫。道光三十年早逝，著《借根方勾股细草》一卷，推衍成二十五种术式，丁取忠把它刻入丛书。
谢家禾，字和甫，钱塘举人，和同学戴熙、戴煦兄弟交好。年少喜爱西学，点线面体几何学，全都通晓。之后，又研读元代各家算书，深入探求，掌握其中秘奥。于是汇编平日所得，辨析通分加减，规定方程正负法则，标明立天元术的纲要，写成《演元要义》一卷。自序说：“天元之学精深玄奥，探求要领，不外乎通分加减。四元术区分正负、相消法、互隐通分法，根源大体出自方程。方程，就是通分的含义。方程不能通晓，根源是正负没有固定条例，加减没有固定步骤，以讹传讹。像梅文鼎精研数理，尚且来不及深究，其他书籍可想而知。《九章算术》正负术本很清楚，后世注解却主观臆测，古义湮没，哪里说得完！只能用演天元的方法厘清方程本义，方程通晓，天元之学也就明了。写《演元要义》，综合通分、方程加以论述，附带连枝同体之分等法。通晓此书，对四元术就可以窥见门径。”
他又用刘徽、祖冲之圆周率计算弧田，求取比古率更精密的算法，写成《弧田问率》一卷。同乡戴煦为这本书写序说：“古率径一周三；徽率是刘徽所定，直径五十，周长一百五十七；密率是祖冲之简率，直径七，周长二十二。各家弧田术都用古率；郭守敬用二至相隔四十八度求矢，也用古法。既然徽率、密率的圆周大于古率，则面积也大于古率。假设同一直径的圆，截出四段弧，中间两弦构成的方形，三率结果相同，可知三种圆周率下圆面积的增减，正是弧田面积的增减。徽率、密率计算弧田，古代没有现成算法，只在《四元玉鉴》见到名目，设问隐晦，难以理解。谢家禾领会要义，仿照李锐《弧矢算术细草》设置题目、创立算法，足以阐发前人没有讲到的内容。”
谢家禾又用横直边长与勾股弦的和差辗转互求，写成《直积回求》一卷，自序说：“当初戴谔士写《勾股和较集成》，我也写过由直积、和较求勾股弦的著作。但两书义理尚浅；而且用直积、勾弦和求三项，需要立方、三乘方等，计算繁琐，结果又不能作为通用比率，书稿就没有留存。最近读《四元玉鉴》直积与和较回求之法，大多设立二元。我曾和戴谔士思索其中内涵，发现有些题目不必用二元。勾弦差乘以勾弦和，等于股的平方；股弦和乘以股弦差，等于勾的平方；直积自乘，就是勾平方乘以股平方。如果用勾弦差乘以股弦差的平方，去除直积的平方，就等于勾弦和乘以股弦和的平方。勾弦和乘以股弦和的平方，等于弦平方与和平方合并之后，少半个黄方平方。相乘平方之内减去一个弦平方，剩下的是勾股相乘一项、勾弦相乘一项、股弦相乘一项；三项平方合起来就是和平方，少半个黄方平方。半个黄方平方，就是勾弦差、股弦差相乘的平方。加上半个黄方平方，就是弦平方与和平方之和。加上两倍直积，就是两个和平方；减去六倍直积，就是两个差平方。另外，勾弦和乘以股弦差的平方，等于勾平方减去勾股差乘股弦差的平方；股弦和乘以勾弦差的平方，等于股平方加上勾股差乘股弦差的平方。减去勾股差乘股弦差的平方，还剩下勾股差的平方。算法中的精妙含义，全都出自这里。其余兼用常规算法的地方，不用解释也自然明白。草稿中来不及论述，担心学习者不懂原理，于是在卷首点明主旨，可见演段术不能不精深研习。”
谢家禾去世之后，戴熙搜集遗稿，嘱托弟弟戴煦校勘，交付刊刻。戴煦精通算学，事迹记载在《忠义传》。著有《补重差图说》《勾股和较集成消法简易图解》《对数简法》《外切密率》《假数测圆》以及《船机图说》等。
吴嘉善，字子登，南丰人。咸丰十一年进士，改翰林院庶吉士，散馆授编修。和徐有壬一同研究算学。同治元年，躲避太平军战乱旅居长沙，结识丁取忠。第二年客居广州，经由邹伯奇，又结识钱塘夏鸾翔。三人志同道合，相得益彰。光绪五年，奉命出使法兰西，驻巴黎。后来交接回国，不久去世。
他撰写算书，最先讲述笔算；其次《九章翼》：今有术、分法、开方、平方平圆各术；推演方田的是立方立圆术；推演商功的是勾股、衰分术、盈不足术、方程术。勾股术后附带平面三角、球面三角测量高远的算法。再后面专讲天元、四元的著作：《天元一术释例》《名式释例》《天元一草》《天元问答》《方程天元合释》《四元名式释例并草》《四元浅释》。自序写道：“算学到今天，可以说是兴盛了。古义重新彰显，新法不断出现，是前所未有的景象。我和丁果臣都酷爱算学，沉溺其中，还想把这套学问传授他人。常苦于近代入门算书没有善本，梅文鼎删改的《算法统宗》，如今也失传。于是商量撰写此书，选取浅显易懂的内容，作为深造学问的阶梯。”
罗士琳，字茗香，甘泉人。以监生身份按例入太学，曾经考取天文生。咸丰元年，朝廷下诏举荐孝廉方正，地方官府一起举荐，他以年老多病推辞。咸丰三年春天，太平军攻陷扬州，罗士琳殉难，年近七十。年少研习经学，跟随舅舅、江都秦恩复太史学习科举文章，后来放弃举业，专心研究步算，广泛阅读历算典籍，日夜研习数年。
最初精通西法，自写讲历法的书叫《宪法一隅》。又想到勾股、少广互为表里，方田和商功没有本质区别，衰分和均输道理相通。按类别归类，摘取《九章算术》贴近日用的内容，全部用比例统摄，汇编成十二类。每类开头列出定率，后面接续借根方，末尾附各次开方之法，共四卷，名叫《比例汇通》。后来虽然后悔这是早年不成熟的作品，但确实方便初学入门。
后来读到《四元玉鉴》，极为叹服，于是一心专精四元术。罗士琳博学强记，博览百家，对古今算法领悟极深。他认为朱世杰此书集算学大成，想要推广阐明，于是耗费十二年心力，为全书补写细草；凡是原书比率不通、传抄讹误之处，全部标出，补漏正误，反复设例，阐明疑义，推演考证。原书三卷二十四门，扩充为二十四卷，每门都补写细草。
他曾经撰写提要钩玄的论述：“全书整体不出《九章算术》的范围，不单商功修筑、勾股测望、方程正负而已。例如端匹互隐、廪粟回求，蕴含粟布术；如意混和蕴含借衰术；茭草形段、果垛叠藏、如像招数，属于商功章中的差分；直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套吞容，包含方田、少广诸法。其余像分索隐是约分命分；方圆交错、三率究圆、箭积交参，是定率兼交互。至于或问歌彖、杂范类会，各自成法，难以类比。所以一部分写成歌谣，一部分编成杂法，都像是补遗。全书主旨都以加、减、乘、除、开方、带分六类设问，每门都包含这六类，简略写简易题，详写繁难题；凡是古来算书没有的题型，一定设置两题说明。像混积问元里面，已经设有种金田、勾三股四八角田的问题；拨换截田中再设半种金田；锁套吞容中再设方五斜七八角田；果垛叠藏两次设置圆锥垛；杂范类会既有徽率割圆，又有密率割圆。还有一门专门阐释一个义理，像和分索隐的分开方，三率究圆、两仪合辙的反复互求。书中只写‘如积求之’，如积有的以定率作同数相消，有的通过题目加减乘除得到积作为同数相消。祖序说：‘平水刘汝谐写《如积释锁》，可惜现在失传。’想来就是解释这一类法则。”
道光年间，在北京书肆得到朱世杰《算学启蒙》，罗士琳又加以校勘注释，刊刻流传。全书二十门，二百五十九问，名称、术式大多和《四元玉鉴》互为表里。罗士琳互相校勘，从天元讲到四元，义理精深，收获很多。考莫若大德四年序言，距离此书成书四年。此书开篇列出乘除演算条例，从超径等接之术开始，到天元如积开方收尾，由浅入深，循序渐进，道理容易理解。名叫启蒙，实际是《四元玉鉴》术法的根基，这是第一条证据。《玉鉴》原本十行，每行十九字，“今有”低一格，“术曰”再低二格，和这本书相同，第二条证据。《玉鉴》斗斛的“斗”写作异体字，出自《汉书·平帝纪》《管子·乘马》，唐以前《孙子》《五曹》《张丘建》算经都能见到；钧石的“石”，《说文》本作“柘”，《玉鉴》写作“硕”，硕、石古字虽然相通，但借硕代石，只见于《毛诗·甫田疏》引《汉书·食货志》，算书中罕见；《玉鉴》的田名异体字，李籍《九章音义》收录，一般字书没有，这本书写法相同，第三条证据。《玉鉴》虽然也是三卷，二十四门，二百八十八问，比本书多四门二十九问；但都用四字分类，体例一致。而且商功、修筑、方程正负等内容，两书互见，第四条证据。《玉鉴》如意混和第一问，由数字推知一秤十五斤，恰好和本书斤秤起率相合，第五条证据。《玉鉴》锁套吞容第九问，方五斜七八角田；左右逢元第六、十三、二十诸问，有小平、小长，古来无对应算法。本书卷首乘除段，就记载平除以长得到小长、长除以平得到小平的例子；田亩形段第十五问，又记载方五斜七八角田求面积通用算法，第六条证据。另外《玉鉴》或问歌彖第四问，和本书盈不足第七问；《玉鉴》果垛叠藏第十四问，和本书堆积还原第十四问；《玉鉴》方程正负第四问，和本书方程正负第五问，题目大略相同，第七条证据。由此知道，这是朱世杰原书散佚后重新现世，连同算法一并附列；书中偶有文字讹误，都保留原样，只在误字旁标记，卷末另记刊误。
罗士琳又用乾隆年间明安图捷法校勘八线对数表：一度十三分二十秒正切第五字“0”误作“一”；六度四十一分十秒正切第五字“0”误作“六”；十二度五十分正弦第六字“七”误作“五”；十六度三十二分十秒正切第七字“九”误作“0”；四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误作“四”。由此可见西洋人能做到的，中国人也能做到。
又融会《四元玉鉴》如像招数一门，取明安图捷法，用天元术推演，得知密率也可用招差术；弧和弦矢互求的方法，和《授时历》垛积招差一一吻合。祖冲之《缀术》失传，其算法只在秦九韶书中留有痕迹；大衍求一的连环求等、递减递加，也和明安图捷法相近。于是融会各家思路，写成《缀术辑补》二卷。
又搜集古今天算学者，沿用阮元《畴人传》体例作列传，收录前传未载人物，补遗十二人，附见五人，续补二十人，附见七人，合计四十四人，续在前传四十六卷之后。
校勘撰述合集，名《观我生室汇稿》，共十二种。《四元玉鉴细草》二十四卷，《释例》二卷，《校正算学启蒙》三卷，《校正割圆密率捷法》四卷，《续畴人传》六卷，都有单行本。
已经刊刻的还有七种：《勾股容三事拾遗》三卷附例一卷，依据绘亭监副博启的算法补遗，圆内接方、边长、直径、垂线互相推求，全部用天元术统摄；《三角和较算例》一卷，把斜三角形两边夹一角的算法融入天元术，用和较推导算式；《演元九式》一卷，汇总《玉鉴》进退消长条例，借用虚数纳入正负开方式；《台锥积演》一卷，取《玉鉴》茭草、果垛两门，弥补少广章不足，推广台锥形体算法；《周无专鼎铭考》一卷，用四分历周术配合三统汉历，推得周宣王十六年九月既望甲戌，和铭文完全吻合；《弧矢算术补》一卷，因为李锐原有算法不完备，增补二十七术，合为四十术；《推算日食增广新术》一卷，推广正升、斜升、横升算法，求月亮随地随时的明暗方位分秒；再推演算法，求交食限度内方位以及经过的各边界分。
其余如《春秋朔闰异同考》《缀术辑补交食图说举隅》《勾股截积和较算例》《淮南天文训存疑》《博能丛话》若干卷，没有刻本。他同乡友人易之瀚，也以算学闻名。
易之瀚，字浩川。知道罗士琳写《四元玉鉴补草》，于是向他问学，写成《四元释例》一卷。包含开方条例二十九则，天元条例十一则，四元条例十三则。
顾观光，字尚之，金山人。太学生，三次乡试落第，不再追求科举，继承家业行医。同乡钱氏藏书很多，常常借书阅读。博通经传史子百家，尤其深究天文历算，追根溯源，探明原理，指出不足之处，还拾遗补缺。比如依据《周髀》“笠以写天，青黄丹黑”和后文“凡为此图”，领悟书中周天直径、里数，都是为绘图设置。天本浑圆，用视图化作平面圆，不得不以北极为圆心，内外衡环列，都是借用的图像，并不是真用平面圆形测天。
《开元占经》所载鲁历积年推算不合，于是用演积术，推上元庚子到开元二年岁积，知道《占经》少记三千六十年。又用《占经》颛顼历岁积核对《史记·秦始皇本纪》，知道这套历法虽然起于立春，却以小雪距离朔日为判定标准。秦以十月为岁首，闰月放在年末，所以小雪必定在十月，前人没有讲过。李锐用何承天调日法考古历，发现十六家历法的日法、朔余强弱不合，认为没能推算入微。顾观光另立新法，用日法、朔余辗转相减，求得强弱之数。只要日法大于百万都可以演算，只有朔余超过强率的不能计算。《授时历》用平立定三差求太阳盈缩，梅文鼎详说没有讲清原理；读《明史·历志》，才知道就是三色方程法。凡是两数增减有差，逐项递减，一定能得到齐同之数；推广到各次差，八线、对数、小轮、椭圆诸术，都可以贯通。研读《开元占经》瞿昙悉达《九执历》，知道回回历法、西洋历法都源出于此。书中所说高月就是月孛，月藏就是月引数，日藏就是日引数，只是名称不同；就像回历称岁实为宫日数，朔策为月分日数。
他评价婺源江永冬至权度：江永推算刘宋大明五年十一月乙酉冬至，用壬戌、丁未两日日影求太阳实际经度，求两心差只用壬戌。顾观光改用丁未计算，所得两心差，正好和江永古大今小的说法相反。只选取一端，根源错误在于认为远日点运行太快。西洋算法用实朔距纬求食甚两心实距，算法繁琐，结果不精准。顾观光改为用前后两个设定时刻求食甚实引，直接得出两心实际距离，不必依靠实朔，比原法简便精密。
西洋割圆术，只知道圆内接正多边形半长是正弦，不知道外切正多边形半长是正切。于是依照六宗、三要、二简诸术，另创求外切正多边形正切的算法，弥补缺漏。杜德美求圆周术，从圆内接六边形起算，构思巧妙，但数位降位偏慢。顾观光提出，圆内接正十边形边长，就是黄金分割的大分，距离圆周更近。而且十边形边长和圆周，只递进一位；大分减去全分得到小分，连比例各率可以直接取用，演算简便，可以直接用弧度计算，不需要弧背实数。但担心不好记忆，仍然离不开数表；于是合并两法，算法更简，弧线、直线互求的道理才彻底阐明。项名达割圆捷术，只有弦矢求其余线的方法；顾观光认为可以推广到正割、正切，于是补写算法。西洋求对数，对真数反复开方，对数反复折半，算法繁重。李锐尖锥术揭示原理，已经变简，但列式演算依旧繁琐；而且得到的只是相邻两数之差，可以制表，不能直接求值。戴煦《简法》和西洋《数学启蒙》有新法，但没有穷尽原理。顾观光变通算法，求取二至九的八对数，任意设数，设立六术处理，结果全都吻合；再立还原四术，推衍和较互求八术，是历来讲对数的学者没有提出的。又说对数的应用，八线表最为便利，但西洋人没有说明制表根源；于是潜心思考，仍然用多次方差，迎刃解开，这是晚年精深的造诣。其余近代新译西学，像代数、微分、各类重学，都有所订正，大体如此。
著作有《算賸初编》《算賸续编》共二卷；《九数存古》，依照《九章算术》分为九卷，附垛积、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圆、弧矢诸术，采自古籍分门编排；《九数外录》，概括四类，分为对数、割圆、八线、平面三角、球面三角、正多面体、圆锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学，共十篇；《六历通考》，依据《开元占经》记载黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁历年加以考证；《九执历解》《回回历解》，疏通阐释原法；《推步简法》《新历推步简法》《五星简法》，把原算法的度改为百分制，省去迂回，归于简易。治学实事求是，没有门派偏见，析理极为精密，论算最为精深。他友人韩应陛，也因为表彰算书而闻名。
韩应陛，字对虞，娄县人。道光二十四年举人，官内阁中书舍人。年少喜爱读周秦诸子，文风古质简奥，不合时俗。后来跟随同乡姚椿求学，习得方苞、姚鼐一脉古文义法。西洋人创立点线面体之学即《几何原本》，共十五卷；明万历年间利玛窦只译前六卷。咸丰初年，英国人伟烈亚力续译后九卷，海宁李善兰抄写流传。韩应陛反复审校，交付刊刻；伟烈亚力认为，西洋旧本都比不上这个校本。另外新译的重学、声学、光学诸书，韩应陛推求极致，见解常常超过西洋原著。
左潜，字壬叔，大学士左宗棠的侄子，补县学生员。诗文都造诣很深，尤其通晓算理。长沙丁取忠引为忘年之交。早年去世，学界痛惜。所学从大衍、天元，到借根方、比例各类新法，无不贯通；还能自主创新，变换算式，勘正错误，绘制图解，往往超越前人。曾经增订徐有壬《割圆缀术》，定稿之后忽然领悟通分捷法：拆分分子分母到最简，公根直接约去，多项通分顷刻完成。于是演算草稿，写成《通分捷法》一册。
撰写《缀术补草》四卷，自序写道：“自从西洋杜德美创立割圆九术，用多次乘除贯通方圆比率，我国明安图、董方立各有解说，杜德美书中的含义阐发无遗。但是八线互相求取，还没有通用算法，不足以穷尽一圆的所有变化；不是明、董二人才智不足，只是受限于借根方。能阐发杜氏义理依靠借根方；不能拓展杜氏法则，也受限于借根方。借根方本是天元一术的变体，终究不如天元术灵活多变。此书祖述杜德美，以明安图为本，兼参董方立的方法，八线互求各立一式，依算式立法，依算法演算。从前不能列式计算的，现在都可以用算法驾驭；就算不能直接立法演算，只要保留算式，就能弥补算法的局限；圆上各线，全部贯通。推求立算式的本源：所谓比例术，就是明安图定半径为第一率，已知量为第二或第三率；所谓还原术，就是明安图弧背求正矢，再用正矢求弧背；所谓借径术，就是明安图借十分全弧通弦率求百分、千分全弧通弦率诸法；所谓商除法，又是还原术的变体。所以《缀术》源出于明安图，又能穷尽明安图算法的变化。明安图无法列式之处，用借根方求取等量，分子分母繁杂纠缠，无法通分；正负符号反复变换，难以约简。拿明安图原著用《缀术》演算，递降各率顷刻可得。这本书，确实能因法立新，在明、董之后另辟路径。此书为徐有壬所作，吴子登整理成书，详于算式而简略细草。考究立法本源，难以迅速读懂，学者学习困难。我于是利用闲暇补写细草四卷，在卷首写下这几段话。”
又撰写《缀术释明》二卷，湘乡曾纪鸿作序，大略说：“《易·系辞》说：‘极尽数理，就能确定天下万物的形象。’把天下难以确定的形象归为确定，没有什么比得上数。上古圣人造器物、观象，便利百姓，对数理一定有穷尽精微、笼罩后世的成果；年代久远，渐渐失传。近三百年，西洋还能推演古法，我国才智之士，反倒沿用他们现成的路子。孔子说：‘天子丧失官学，学问存于四方夷狄。’正好用来形容今天的数学。中国古有弧矢算术，但没有标注角度八线数表；就算有人用它演算，无表可查，每求一数，要耗费百倍功夫，得数还不是精密比率。明代译入西洋八线表、八线对数表，考究制表原理十分繁难，但表一旦制成，一劳永逸。大到无边，细至极微，都依靠这表测算，用处之广可想而知。可是得到数表之后，虽不用重新计算，随便拿出一个数字，无法核验对错；如果依旧用旧术，要几十天才能算出一数。这就是明安图、董方立推演杜德美弧矢捷术可贵的原因。从前求八线，照例使用六宗、三要、二简诸法；随便给出一段弧，不能直接求出弦矢。到杜德美创立多次乘除之法，只要知道弧与半径，八线都能求出。董方立解释杜氏算法，先取极微小的线段贴合弧线，再用连比例推到极大；推求比率和尖锥原理相合，所以用尖锥解释弧矢，弧矢数理得以彰显。明安图解释杜氏算法，先取四分弧、十分弧通弦的极大值，用连比例推到千分、万分弧通弦的极微值；核验乘除比率和杜德美原理一致，所以用缀术阐释弧矢，弧矢数理也得以阐明。董、明二人，都是弧矢之学的宗师，不分高下。近百年接续而起的，戴煦、徐有壬、李善兰的著作，虽自出机杼，都以董、明为师。我的好友左壬叟，研习数学孜孜不倦，遇到疑难，一定尽力探求，务求洞悉奥秘。他曾说方圆的道理，是天地自然之数；学习不必区分中学西学，直接当成自创新法就可以。他解释徐有壬《缀术》，又解释戴煦制表捷术，现在又阐释明安图弧矢捷术，全部用天元寄分的算式贯通，在圆周率这一门反复钻研，可以说是勤勉。谁料上天摧残良才，左壬叟竟在甲戌年秋天早逝，所有同道，无不痛惜！何况我和他两代神交，怎能不悲怆！”
曾纪鸿，字栗诚，大学士曾国藩幼子，恩赏举人，早逝。年少好学，和兄长曾纪泽都精通算术，尤其通晓西洋代数。思路敏锐，创立新法，同辈大多心悦诚服。认为大衍求一术也可以用代数推导，依题演算，原理相通；撰写《对数详解》五卷，阐明代数原理，为不懂代数的人开辟道路。书的中部讲对数原理，末尾讲对数用途，阐明写书本意；对常用对数、自然对数辨析清楚。先求出各真数的自然对数，再乘以对数底数，就得到常用对数，级数条理清晰，循序渐进，初学者都可以读懂。
夏鸾翔，字紫笙，钱塘人。因捐献军饷议叙，授詹事府主簿，是项名达的入室弟子。研究曲线诸术，洞悉圆出自方形的原理，融会各类算法推演变化，写成《洞方术图解》二卷，自序大略说：“自从杜德美术出现，求弦矢才有捷径。但仍要繁复乘除，演算不易。我想找到省去乘除的算法，一直没有成功。丁巳年夏天客居京师，仔细思考连比例术，本质就是尖锥的底。尖锥底面的比例，和各次乘方比例相等。用它求连比例，必须合并各次幂积一并求取。如果不知道各次幂积递差的成因，幂积怎能合并求取？而且合并幂积，想用加减代替乘除，必须得到差的自然数列，实在极难。后来忽然领悟：幂积逐项增加，依靠差值；差值的生成，出自三角垛。差叠加差生成幂积，差叠加差也生成新的差。各次幂积的数值和各次尖垛的数值，数字不同而原理相同。三角垛起源于三角形，每次增乘，增加的都是三角；方幂起于正方形，每次增乘，增加的都是正方形。三角垛的差，增加一根就新增一差；方幂的差，增加一次乘方就新增一差，原理完全相同。多次取差，差必有穷尽；正因有穷尽，才可以演算。连续弦矢，越求差，差值越均匀，正是这个道理。所有差值的原理，都起源于天元一，生于根差。根每次加一，各次乘方根差都是一；一次式数值不变，所以可以省去乘法。如果根差不再是一，就不能省乘。弦矢、弧背的差，或是一秒，或是十秒，就用一秒、十秒弧线作为根差，按根依次推求，就能得到各次乘方的差。差叠加差，就得到所求弦矢各数，岂不是极为快捷！于是演成求弦矢术，让制表者能用加减代替乘除。并且阐明治术原理，等待精通算学的人选用。”
又撰写《致曲术》一卷，分平圆、椭圆、抛物线、双曲线、摆线、对数曲线、螺线，共七类。每类自创新法，并列写出，算法精密，道理精深。又写《致曲图解》一卷，说天是大圆，天地化生万物，无不是圆形。圆虽同名，形状万种。沿着圆周一周，就生出各类曲线。西洋人依据方程次数分类：一次式是直线；二次式包含平圆、椭圆、抛物线、双曲线四种；三次式有八十种；四次式五千余种；五次以上，几乎无法计数。这里只讲二次式四种，追溯本源，附带解释各次开方。抛物线形态万千，道理一贯。所有曲线方程，都包含在圆锥体之内；圆锥，是二次曲线的本源。椭圆善于聚光，抛物线善于远射，双曲线善于发散，原理都出自平圆。如果融会贯通，制器观象，仰观天文、俯察地理，用处无穷。于是一一解说，篇目为：诸曲线始于一点终于一点第一，各曲线中心第二，准线第三，规线第四，横直二径第五，兑径，又叫相属二径第六，两心差第七，法线切线第八，斜规线又名曲率径第九，纵横线方程第十，各式互成比例第十一，八线第十二。
又创立各次开方捷术，不分益积、翻积，统一一套算法，十分简便，可以直接求出平方根数十位，写成《少广缒凿》一卷。
夏鸾翔同治三年去世。由方幂差值悟出弦矢捷法，几乎超越西人；但是微分学舍弃的常数，就相当于方幂的方与隅；所求的变量，就是两廉递加的差。这套算法用于各类曲线，无所不通。夏鸾翔仍需要分门立术，这一点不及西洋微分学。但是西洋开方，三次以上方程，只能分段演算，不如中法连贯。夏鸾翔又在中法之外独创捷术，西洋学者难以企及。
邹伯奇，字特夫，南海生员。天资绝顶，深入研究声音、文字、度数的本源。尤其精通天文历算，能融会贯通中西学说，静思生悟，常有独到见解。曾经撰写《春秋经传日月考》，说：“前人考订《春秋》的很多，大多依据经传记载日月推算，不够精确。现在用时宪历上推二百四十二年的朔闰、食限，再对照经传记载，检验是否吻合，才知道分为经文误、传文误、历法误三类。”又说：“《尚书》武王克殷年月，郑玄依据《乾凿度》，认为入戊午蔀四十二年伐纣；往下到春秋，一共三百四十八年。刘歆三统历认为积四百年，近代钱塘人李锐，都持这种说法。现在用《时宪术》往上推算，再用岁星运行来验证，才知道郑玄是对的，刘歆是错的。”他注解《孟子》“由周而来，七百有余岁”一句，说阎若璩在《孟子生卒年月考据》《大事记》以及《通鉴纲目》之中提出：孟子辞去齐国卿官回归故里，在周赧王元年丁未年；向上倒推到周武王取得天下，那年岁星在己卯，算下来一共八百零九年。然而周代共和元年以前的年代，司马迁已经无法考订，能够查证的只有《鲁世家》，这也是刘歆历法谱系所依据的材料。但把刘歆的历谱和《史记》对照，刘歆在炀公、献公等人的年数上多处增加，合计多出五十二年。如果减去他额外增加的年数，那么刘歆所说的八百零九年，实际只有七百五十七年。
他又说历来注解经书的学者，对于算学不能完全精通，所以解释“三礼”里的典章制度多有疏漏错误，于是撰写《深衣考》，订正江永的谬误；撰写《戈戟考》，指出程瑶田的疏漏。用《文选·景福殿赋》中“阳马承阿”一句考证古代宫室阿栋的形制；用体积理论研究《考工记》樐氏造量器的记载；用重心原理解释悬挂石磬的形态，全都绘制图式、阐发论点，征引材料详尽明晰。
他还曾经说，各类经书的注疏引用算术之处不够简明扼要；甄鸾《五经算术》本身多有粗疏缺漏；王应麟《六经天文篇》广泛征引传注，却没有辨析考证。于是把经义之中关乎天文、算术，前代大儒未曾阐发，或是有所阐发却没能讲透彻的内容，随时摘录下来，写成《学计一得》二卷。
天文方面，著有《甲寅恒星表》《赤道星图》《黄道星图》各一卷，自序大略说：“甲寅年春天，制作浑天仪，用来考证经史记载恒星出没、历代岁差变化的缘由。然而制作仪器必先绘图，绘图必先建立星表，这就是编撰恒星表的缘由。《史记》《汉书》《晋书》《隋书》等志书，对于恒星只记述方位，到唐宋两代才稍微记载去极度数。大概古传新绘的星图，大多依据《步天歌》凭想象绘制，和实际天象不相符合。本朝康熙初年，南怀仁撰写《灵台仪象志》，之后黄、赤道的经纬度才各自列为表格。乾隆九年，增修《仪象考成》，补正缺漏讹误。道光甲辰年，再次加以观测考订，编成《仪象考成续编》，录入正座星一千四百四十九颗，另外增补一千七百九十一颗星，确实完备详尽。如今又过了十年，岁差渐渐产生偏差，所以再次依据当下观测推算建立星表，希望绘图造器能够紧密契合天体运行的规律。”
他又说：“绘制地图，比推算天象更难；天文可以静坐推求，地理却必须亲身实地经历。近代人不懂得古法，所以疏漏失实。于是考证地理沿革，绘制历代地图，弥补史书地理志的缺略。”
他亲手摹绘《皇舆全图》，自序大略说：“地图依据天度划分方格，是最恰当不可更改的方法。地球经线纬线相交都是直角，但世间流传的舆图，到了边疆地带竟然变成斜方形，严重违背绘图原理，弊病就在于把纬度画成直线。从前我曾经画过小总图，依照浑盖仪，采用半度切线法，显现地理轮廓。但是州县不能全部收录，而且内密外疏，数值和实际不符，所以重新绘制这张图。图上纬度没有伸缩变化，而经度越往两极越窄，经纬之间的比例符合半径与余弦的关系。横向九幅，纵向十一幅，拼合起来模拟地球浑圆下坠的形态，想要让绘制的图形和大地形貌相近。”
他又改动西方人的旧法，绘制《地球正变两面全图》，序言大略说：“大地形体浑圆，对应天体度数，经线纬线都是圆弧线。把球体画在平面之上，必须用算法调和处理，才不会失去原本形貌。绘图的透视方法有三种：第一种，在球体外部观测球体，用正弦算法，经线圈变成椭圆，纬线圈成为直线，图形中间宽阔两侧狭窄，制作简平仪就用此法。第二种，在球心观测球体，用正切算法，经线圈是直线，纬线圈是弧线，图形中部弯曲、两侧收窄，内密外疏，制作日晷使用此法。这两种，线条没有固定规范，测算繁复困难，并且经纬相交不成直角。图的边缘有的过分局促，有的过度拉长，用来绘制地球，既歪曲方正斜曲的本形，又丢失长宽真实尺度，不可取用。第三种，在球面圆周处观测球体，采用半切线法，经线圈、纬线圈都画成正圆，虽然依旧内密外疏，但各部分能够互成比例，西方人用此法制作浑盖仪，原理精密、画法严谨。现在以此为本绘制地球图，分为正反两面。正面以京师为中央经线，背面的中心，就是京师在地球背面的正对之处，以此尊崇首都。旁侧分出二十四方位，考察中原和各国的地理形势，确定基准方位。经纬都以十度为一格，设立比例尺。”
他推演这套制图法则，写成《测量备要》四卷，分为“备物致用”、“按度考数”两大篇目。备物致用下面分四项：一为丈量器具，有标竿、线架、指南尺、曲尺、丈竹、竹筹、皮活尺、蕃纸簿、铅笔；二为测望仪器，有指南分率尺、立望表、三脚架、矩尺、地平经仪、平水准、纪限仪、回光环、折照玻璃屋、千里镜、象限仪、秒分时辰标、行海时辰标、析分大日晷、风雨针、寒暑针；三为核查用书，有志书、地图、星表、星图、度算版、对数尺、八线表、八线对数表、十进对数表、当年航海通书、清蒙气差表、太阳纬度表、日晷时差表、句陈四游表、大星经纬表、对数较表、对数较差表；四为绘图用具，有大小幅纸、砚台、墨、朱砂、颜料、毛笔、五色铅笔、笔壳、指南分率矩尺、长短界尺、平行尺、分微尺、机剪、交连比例规、玻璃片、橡皮。
按度考数下面也分四项：一为明数，包含尺度考、田亩算法、里数算法、方位算法、经纬换算里数；二为步量，包含丈量田亩计算面积、步测两地远近、记录道路曲折方向、辨识山形、观测基准方位所见景物；三为测算，包含测量方位远近之法、测地面纬度之法、论平原大海地平线夹角、测地面经度之法、经纬方位里数互相推求之法；四为布图，包含摆正图纸、设定比例尺、缩放图幅、标识着色。
他又借着修订对数表的根基，探求分解小数的方法，这是求解高次幂的算法，可以直接求得自然对数，也就是讷氏对数，再乘以常用对数的底数，就能得到常用对数，写成《乘方捷术》三卷。
他还创制对数尺，依据西方对数表变通用法，在两把尺子上刻上刻度，两尺并拢推拉，使原有两数相对，只要有已知数，就能对应读出所求之数。全书分为形制、界画、致用、诸善、图式五部分，写成记一卷。
他曾经撰写《格术补》一卷，同乡陈澧为这本书作序，大略说：“《格术补》，古代算家有一种格术，早已失传，我的朋友邹徵君特夫将它补撰成书。格术这个名称，见于《梦溪笔谈》，书中记载：‘阳燧映照物体，距离近，成像为正；渐渐拉远距离，就看不见影像；超过这个距离，影像倒立，中间有东西遮挡的缘故。如同人摇船橹，有臬木作为阻碍，首尾互相格拒，算家称之为格术。’又说：‘阳燧镜面凹陷，对着太阳照，光线向内汇聚，距离镜面一二寸的地方，聚成一个光点，落在物体上就能起火。’《梦溪笔谈》的记载，都是格术的本源。宋代以前，大概有人推演写成算书，后世失传，于是没有人懂得这套算法。邹徵君依据《梦溪笔谈》的记载，观察日光投影，推求数理，穷究细微精妙之处，知晓西方人制造望远镜、镜子的技法全都出自于此。于是写成这一卷书，补全古代算家失传的术法。古代所说的阳燧，是铸造金属做成的镜子；西洋金属镜，就是阳燧；玻璃镜子，原理也相同。所以推究阳燧的原理，可以贯通这类器物。有了这本书，古代算家失传的技法重新显明，可知西方人制造仪器的方法，原本就是古代算家所掌握的，这是当代奇书。像这样失传的古算知识，应当还有很多，我也因此心生感慨！”
同治三年，郭嵩焘专门上奏举荐邹伯奇，他坚持称病推辞。曾国藩总督两江的时候，打算在上海机器局旁边设立书院，请邹伯奇讲授数学教导生徒，他也没有赴任。同治八年五月去世，享年五十一岁。
李善兰，字壬叔，海宁人，诸生。跟随陈奂学习经学，唯独对算术格外喜好。十岁就通晓《九章算术》，后来得到《测圆海镜》《句股割圜记》，学问更加精进。他怀疑割圆术不是凭空构造，深入思索领悟其中原理。曾经说大道有统一的本源，技艺也是一样。《测圆海镜》每一道题都有“法”、有“草”：法，是本题的解法；草，是用天元术辗转推导，求出本题的解法，也就是造法之法，是所有算法的源头。算术范围大到日月运行、交食推算，小到柴米油盐琐碎计算，算法繁多，用天元术推演，没有不能求得解法的。所以天元术，就是算学里贯通一切的根本。同一时代精通算学的钱塘戴煦、南汇张文虎、乌程徐有壬、汪曰桢、归安张福僖，都和他交好。咸丰初年，旅居上海，结识英国人伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人。伟烈亚力精通天文算学，通晓汉语。李善兰看到欧几里得《几何原本》十三卷，续作二卷，明代只译出六卷，于是和伟烈亚力一同翻译后九卷。精通几何学的西方学者很少，其中第十卷尤其深奥玄妙，难以理解，原文讹误缺漏很多，李善兰笔录译稿时，随时斟酌匡正补充。译完之后，伟烈亚力感叹道：“西方学者日后想要得到精良善本，应当到中国求取！”
伟烈亚力又说美国天算名家罗密士曾经把代数、微分、积分合编为一书，分章节设例题，条理分明，李善兰又和伟烈亚力一同翻译，书名叫《代微积拾级》十八卷。代数，是天元术、四元术演变而来的新算法，微分、积分两门学问，又依托代数发展，实在是中土从前没有的深奥学问。李善兰剖析其中原理自然通透，很多得益于《测圆海镜》。
太平军攻陷吴、越一带，李善兰投奔曾国藩军中。同治七年，经巡抚郭嵩焘举荐，被征召进入同文馆，担任算学总教习、总理衙门章京，授户部郎中、三品卿衔。他用《测圆海镜》教授同文馆学生，同时用代数推演，融合中西算法为一体，培养出很多人才。光绪十年，在任上去世，年近七十。
李善兰天资过人，聪慧强健。研究算学，能够掌握极简的原理，驾驭繁复的数字，推演起来没有不通的算式，深究之下没有推不尽的数理。所著《则古昔斋算学》，《艺文志》中有详细记载。世人说梅文鼎悟出借根方出自天元术，李善兰能够将四元术演变为代数，可以说是梅文鼎之后第一人。
华衡芳，字若汀，金匮人。擅长写文章、精通算学，著有《行素轩算学》流传于世。他的《算学笔谈》一书，更是毕生精力汇集之作，一共十二卷：第一卷论述加减乘除的原理；第二卷论述通分的原理；第三卷论述小数；第四卷论述开方原理；第五卷论述审题、解题方法，阐明加减乘除、通分、开方的实际运用；第六卷论述天元术以及天元开方；第七卷论述方程算法，已经蕴含四元术的思路，末尾专门讲四元术；第八卷讲解代数符号以及等式；第九卷论述代数里辅助变换的数和虚代方法；第十卷讲微分；第十一卷讲积分，分十六个条目阐释；第十二卷分为五部分：一论各类算学归根都不出加减乘除；二论所有算学草稿都应当写成书籍；三论算学之中可以著书的题材；四论研习算学与撰写著作本就是一件事；五论翻译算学典籍；六论《畴人传》应当续写。全书从加减乘除、通分一直到微分积分，由浅入深，算法原本繁杂困难，却用简约宗旨总括；道理原本艰深，却用浅显文字叙述。
同治十三年，他和英国学者傅兰雅一同翻译《代数术》二十五卷。华衡芳在序言中写道：“代数这门学问，已知数、未知数，全都用文字代替，加减乘除各设符号区分，可以依照题目的曲折变化推导。等到层次理清楚，步骤显现之后，再把所代的数字代入，就能求出所求数值。所以可以节省演算功夫，思考也更加轻松，不需要苦苦思索就能算出结果。虽说代数简便，试问精通此术的人，就能不被繁复困扰吗？答案依旧不能。人的心智，日日精进不停，只要没有昏聩错乱，就不会停止探求。所以一开始因为繁复而寻求简便；等到得到简便方法，必然继续深入，再次遇到繁复。就算迭代推演几十次，这个过程终究无法避免。由此可知代数的本意，是用来在数学之中探究深奥隐秘的道理，不是为粗浅简易计算设置的。如果柴米日常琐事，全都要用代数处理，只会被市井之人取笑。至于代数、天元术之间的异同优劣，读这本书的人自然能够明白，不用我多说。”
他又和傅兰雅合译《微积溯源》八卷，序言写道：“我认为古代算法，只有加减法而已。乘和除，是因为加减演算太过繁琐，所以另立两种算法以求简便。开方，又是弥补除法局限的方法。研习算学之人，掌握加减乘除、开方五种方法，一切浅近简单的数字问题，没有不能解决的。然而人的才智思虑层出不穷，常常以做到别人做不到的事为快。遇到阻滞不通的地方，就想要创立新法来解决，于是有了不能减而强行处理，正负之名不得不设立；有了不能整除，通分带分母的方法不得不创立。代数之中各类符号体系，都是迫于需要而设立。每创立一种算法，都能化繁为简、化难为易、变迟缓为快速，算学的境界借此更进一步。像这样不断推进，创立的算法也就越来越多。微分、积分，又是因为乘除开方仍然繁复，还有难题阻滞难通，所以创立这两种方法来解决，让计算更加简易快捷。试看由圆径求圆周、由真数求对数这类问题，就算没有微分积分，也不是不能求，只是需要几十上百次乘除开方，艰难难以言说，不如微积法道理清晰、计算快捷。可以说，加减乘除、代数之外，另有两种算法，就是微分、积分。积分好比微分的还原，如同开方是自乘的还原，除法是乘法的还原，减法是加法的还原。但是加法、乘法都可以逆向还原，微分有的可以还原、有的不能还原，就像算式里存在不可求解的方程，又有什么可奇怪的！如果一定说加减乘除开方足够日用，何必再追求精深，这就如同舍弃车船的便利，非要负重长途行走。费力多而收效少，聪明人一眼就能分辨。另外《代数术》末卷记载求圆周率的简便公式，是欧拉创立。此法出现之前，算学者固灵用圆内接外切多边形，耗费巨大精力，算出三十六位数值：假设直径为一，圆周为3.14159265358979323846264338327950288。他临死之时，嘱咐家人把这个数字刻在墓碑之上，这是平生得意之作，担心磨灭，想要永久流传，就像阿基米德墓上刻球形和圆柱图形一般。”
他又和傅兰雅合译《三角数理》，这本书由英国学者海麻士撰写。海麻士专精三角、八线之学，著书十二卷，全部讲述三角数理，便以此作为书名。首先阐明三角运用比例的原理；其次论述两角或者多角之间的比例关系；再讲编制八线比例表的方法；接着解平面三角形各类题型；再论述各类角之间比例乘除变化的道理，这是该国算学家棣弗美开创的体例；附带专门论述对数术以及一百道三角形例题，共三卷，用来引导学习者；之后总论球面各圈以及弧三角形边界；讲解正弧、斜弧三角形的解法；杂论求解弧三角数种特制数表；末尾附二十七道弧三角的习题。但是书中解说过于繁杂，仍然不能突破外角和较、垂弧、次形、总较这些传统旧法。所以自从海氏此书问世，越发觉得徐有壬《拾遗》三术难能可贵，超过西方人的成果。
他还和傅兰雅一同翻译《代数难题解法》十六卷。
华衡芳的弟弟华世芳，字若溪，也通晓算术，著有《近代畴人著述记》。
列传二百九十五 列女一
田绪宗妻张氏 嵇永仁妻杨氏，妾苏氏 张英妻姚氏 蔡璧妻黄氏，子世远妻刘氏 尹公弼妻李氏 钱纶光妻陈氏 胡弥禅妻潘氏 张棠妻金氏 洪翘妻蒋氏 张蟾宾妻姜氏 施曾锡妻金氏 完颜廷璐妻恽氏 汪楷妻王氏，妾徐氏 冯智懋妻谢氏 郑文清妻黎氏 程世雄妻万氏 高学山妻王氏
王氏女娥 张天相女巧姑 周氏女 王孜女 缪浒妻蔡蕙 濮氏女 李氏女 来氏二女 曾尚增女衍纶，王氏女 刘魁妻徐氏 薛中奇女 吕氏女 佘长安女酉州 王法夔女淑春，武仁女端 唐氏女素 张桐女富，汪俨聘妻周氏，刘氏女密，吴某聘妻周氏 李荐一聘妻曾氏 袁斯凤女璱 丁氏女 朱棫之女 杜仲梅女方氏二女 刘可求女 杨泰初女，孙承沂女 赵承穀聘妻丁氏，彭爵麒女 陈宝廉女 吴士仁女 王济源女 董桂林女 耿恂女 吴芬女 邵氏二女，蒋遂良女 徐氏二女 李鸿普妻郭氏，牛辅世妻张氏 高位妻段氏 郑光春妻叶氏，子文炳妻吴氏 屈崇山妻刘氏 谢以炳妻路氏，弟仲秀妻郑氏 季纯妻吴氏 王钜妻施氏 陈文世妻刘氏 张守仁妻梁氏，韩守立妻俞氏 路和生妻吴氏，诸君禄妻唐氏 牛允度妻张氏 游应标妻萧氏，蒋广居妻伍氏 周学臣妻柳氏，王德骏妻盛氏 张茂信妻方氏，林经妻陈氏 张德邻妻李氏 武烈妻赵氏 孙朗人妻吴氏，李天挺妻申氏 刘与齐妻魏氏 周志桂妻冯氏 欧阳玉光妻蔡氏，子惟本妻蔡氏 萧学华妻贺氏 张友仪妻陈氏 冯氏 王钺妻隋氏 林云铭妻蔡氏 陈龙妻胡氏 王懃妻岳氏 鲁宗镐妻朱氏 马叔籥妻丁氏 许光清妻陈氏 黄开鼇妻廖氏 黄茂梧妻顾氏 高其倬妻蔡氏 陈之遴妻徐氏 詹枚妻王贞仪，柯蘅妻李氏 艾紫东妻徐氏 郝懿行妻王氏，汪远孙妻梁氏 陈裴之妻汪氏 汪延泽妻赵氏 吴廷珍妻张氏及其诸妹，章政平妻等 程鼎调妻汪氏 陈瑞妻缪氏，马某妻阮氏 富乐贺妻王氏 仁兴妻瓜尔佳氏 耀州三妇 杉松邮卒之妻 杨芳妻龙氏 崔龙见妻钱氏 沈葆桢妻林氏 王某妻陈氏 李某妻赵氏，罗杰妻陈氏 杨某妻唐氏 姚旺妻潘氏 盖氏
家庭积累起来构成国家，一户人家男女各占一半。女儿顺从父母，媳妇敬重公婆，妻子辅佐丈夫，母亲抚育子女，姐妹、妯娌，各自恪守本分。人人如此，家庭和睦；家家如此，国家安定。所以普通妇女在内室勤勉操劳，安排饮食、操持汲水舂米之事，勤于纺织，其功劳和公卿大夫商议国事同等重要。农夫辛勤耕种，工匠制作器物，商人流通财货，都对国家负有职责，缺一不可。近代喜好异端言论，认为女子依靠父亲、妻子依靠丈夫，一心谋求自食其力。还有人说女子受制于父母，媳妇受制于公婆，妻子受制于丈夫，想要推翻所有伦常，抛开家庭而图谋国事，追求宏大空泛的目标。两种看法，一为过、一为不及，看似差别很大，但本质都是抛弃自身本分，对家国造成损害，这点是一样的。唉，多么歪曲事理！古代圣王治理家国，定下规范，亿万男女不得逾越。所以怜悯遭遇变故之人，是用来教导人恪守正道；体恤特异的品行，是劝勉普通人安守常道：把众人规范到同一准则之中。让所有女子、妇人，恭谨地各尽其职。这样推而广之便形成风俗，永久传承成为礼教。治理国家，先用权令推行，最终依靠教化成就。有权令，政令才能施行；有教化，功业才能成就，国家于是太平。
清代制度，礼部主管表彰孝妇、孝女、烈妇、烈女、守节妇人、殉节妇人、未婚守节女子，每年汇总上报，多达数千人。战乱兴起，死于寇难、劳役的动辄成千上万，则单独拟文上奏请求旌表。抵御强暴而死，案件审定之后，也单独上报，全都郑重记载在实录之中。寻访范围广泛，表彰公开显扬，流风余韵绵延不绝，世道虽昏暗，善行不曾断绝。由此可知政令之所以可行，教化之所以有成，一定契合人心，不是靠强迫能够达成。史书为列女立传，始于《后汉书》，本书沿用这个体例，挑选事迹卓著的若干人：贤母、孝女、孝妇、贤妇、节妇、贞妇、贞女、烈妇，还有边疆妇女，按类别编排；遭遇变故事迹相近的，合并排列。采集往昔美德，劝勉后世淑贤，恭敬记录，有助于观风化、兴教化。
田绪宗妻张氏，德州人。田绪宗，顺治九年进士，任浙江丽水知县，颇有政声，在任上去世。张氏预先告诫管库人员，仔细核查赋税徭役的收入，开启文书核对数目。继任官员到任，请知府前来查验，账目没有丝毫差错遗漏，这才带着丧柩返乡。教导三个儿子田雯、田需、田霡，全都有文才品行。张氏通晓《诗经》《春秋传》，能写文章。
七十岁的时候，乡里准备为她祝寿，她告诫儿子们说：“礼法规定，丧夫的妇人称为未亡人，凡是吉凶交际之事不参与，也不出面主持。所以《春秋》记载‘纪履緰来逆女’，《公羊传》说：‘纪国新郎有母亲，为什么不称母？因为妇人不参与外事。’何休注释：‘妇人不参与外部事务，用来严男女之别。’后世礼法本意丧失，才有登堂拜见主母的礼节。战国时期，严仲子亲自在聂政母亲面前敬酒，献上百金祝寿。这只是游侠好结交之人为有所求才这么做，哪里符合礼法本意？自从你父亲在任上去世，我扶老携幼，千里护送灵柩回乡，历尽悲痛艰难，三十多年。闭门纺织，依礼自持。所幸你们都长大成才，奉养我的晚年，但心中长久藏着隐痛。每到年节祭祀，儿女围坐身前，牵衣嬉笑，我就心跳不安，想到你父亲不能见到这一幕。所以有时席间长叹，有时放下筷子落泪。如今宾客挤满家门，为未亡人庆贺，未亡人哪里能谈庆贺？三十年来吉凶交际之事我一概不参与，如今勉强要我出面主持，这合乎礼吗？用不合礼法之事对待我，算不上为我祝寿，只会增加我的悲伤。你们在朝中做官，应当通晓大体，仔细思考礼法本意，宽慰老妇的心！”
张氏七十七岁去世，著有《茹荼集》。田雯官至户部侍郎。
嵇永仁妻杨氏。嵇永仁是无锡人，杨氏是长洲人。嵇永仁在福建总督范承谟遇难一事中身死，杨氏当时二十七岁，儿子嵇曾筠七岁。公婆都年迈体弱，杨氏尽心侍奉，丧葬严格依礼办理。福建平定之后，嵇永仁的仆人程治才得以把灵柩运回，杨氏典当衣物办理安葬。安葬完毕，抱着嵇曾筠哭着说：“我之前不死，是因为公婆还在。公婆已经安葬，如今又安葬了你父亲，我本可以赴死，可又有你在此。你父亲以诸生身份为国殉难，你尚未成年，该怎么办？”接着呜咽道：“我该怎么办？”嵇曾筠长大之后努力读书，杨氏每日织布换米度日，指着食物对嵇曾筠说：“你能读书，才能吃上米饭，我这个未亡人只能喝粥。”等到嵇曾筠官位渐渐显贵，杨氏常常告诫他清廉谨慎。雍正十一年去世，八十四岁。嵇永仁、嵇曾筠在本书都有传记。
嵇永仁的妾苏氏，字瑶青。跟随嵇永仁在福州，危难之时，取衣带对着嵇永仁自缢而死，年仅十七岁。
张英妻姚氏，桐城人。张英刚入翰林院做官，十分贫困。有人送给他千金，张英不肯接受，回来告诉姚氏。姚氏说：“贫寒人家有人送十金五金，童仆都会欢喜相告。如今无故得到千金，别人追问钱财来源，难道不惭愧吗？”平日里常常典当衣物赊米度日。等到张英俸禄稍稍丰厚，姚氏依旧保持俭朴，一件青衫穿好几年不换。张英身居相位之后，她更加谦和。亲戚家派婢女前来问候，姚氏正在缝补旧衣，婢女不认得她，问：“夫人在哪里？”姚氏迟疑起身应答，婢女十分羞愧。张英六十岁，姚氏缝制棉衣送给贫寒之人。儿子张廷玉也进入翰林院，入值南书房，圣祖曾对身边近臣说：“张廷玉兄弟，母亲教导有方，不只是父亲训诲！”姚氏六十九岁去世，著有《含章阁诗》。女儿张令仪，是同县姚士封的妻子，好学，著有《蠹窗集》。张英、张廷玉都有传记。
蔡璧妻黄氏，漳浦人，是蔡世远的母亲。蔡璧原配妻子去世，纳黄氏为妾。耿精忠叛乱的时候，蔡璧正在京师，黄氏侍奉蔡璧父母躲避到山中。蔡璧的母亲年老不能吃干粮，黄氏停下哺乳自己女儿，用乳汁奉养婆婆。公婆于是命蔡璧把黄氏扶正为妻。
蔡世远妻刘氏，侍奉公婆极为孝顺。蔡世远显贵之后，家人打算买婢女，刘氏不许；打算雇乳母，刘氏说：“我六个儿子四个女儿，都是我亲自哺乳，我不会因为富贵改变平素习惯。”蔡世远有传记。
尹公弼妻李氏，博野人。尹公弼早年去世，家中贫困，公婆年老，自己父母体弱多病，没有其他子嗣。李氏艰难竭力办理双亲养生送死之事。教导儿子尹会一，方法有度。尹会一考取功名，出任襄阳知府，李氏前往就养。遇到风雨失调之年，李氏一定亲自跪地祈祷，禳除瘟疫、驱赶蝗灾也是如此。冬天寒冷，凡六十岁以上百姓，酌情发放布帛。襄阳百姓感念恩德，为她修建贤母堂。李氏作诗推辞，众人不肯停止。尹会一调任扬州知府，扬州风俗奢靡，李氏撰写《女训》十二章，教导节俭。后来多次升迁至河南巡抚，每到一处都拿出俸禄，给老人分发布帛，接济贫民，补贴军饷，全都遵从母亲的吩咐。民间又为她设立生祠，如同襄阳时一般。尹会一升任左副都御史，李氏因病不能前往京师，陈情回乡休养。又遵从母命，陆续设立乡里私塾、社仓。数年之后，高宗赐诗嘉奖，题写她居所的堂名为“荻训松龄”。七十八岁去世。
尹公弼曾孙尹溯醇妻徐氏，也是早年守寡，和同族尹公亮妻高氏、尹公聘妻杨氏、尹德一妻韩氏、尹成一妻李氏、尹多福妻刘氏、尹林妻王氏、尹二喜妻朱氏，合称为“尹氏九节”。尹会一有传记。
钱纶光妻陈氏，名书。钱纶光是嘉兴人，陈氏是秀水人。幼年端庄沉静，读书通晓大义。新婚不久，钱纶光陪父亲钱瑞徵上坟，陈氏从楼上看见一个少年殴打佃客，佃客几乎被打死，口吐鲜血。当时大雪，鲜血染红衣衫。佃客的族人成群赶来，喧闹不已。陈氏派仆人打听，动手的少年，是钱家的侄子。于是把佃客抬入屋内，请医给药，送给佃客母亲钱粮，传唤侄子受杖责罚，众人这才散去。钱瑞徵回来，十分称赞她贤德。陈氏妥善侍奉公婆，协助钱纶光招待宾客，接济邻里，周全仁厚。钱纶光去世后，教导子女极有法度。儿子陈群，本书有传；陈界，任陕西醴泉知县，有贤良名声。陈氏晚年作诗，号复庵；作画落款，号南楼老人。诗作三卷，嘱咐陈群不要刊刻。绘画尤其精妙，山水、人物、花草风格清逸高秀，追摹古代名家。
曾孙女钱与龄，字九英，是广西太平府同知、吴江蒯嘉珍的妻子，也擅长绘画，居所题名为仰南楼。
胡弥禅妻潘氏，桐城人。胡弥禅去世，留下三个儿子，长子胡宗绪才十岁。家中贫穷，送孩子到村塾读书，清晨倚着门框哭泣送别，直到孩子翻过山岭看不见才返回，傍晚又前去迎接，再次落泪。三年之后家境更加困苦，只能停学。潘氏不识字，就让儿子诵读，自己凭理解解说。有一天听到诵读程颢、朱熹的言论，起身感叹：“我本就知道世间应当有这样的道理！”听到诵读司马相如《美人赋》就发怒，禁止再读。儿子出门必定禀告，衣衫沾了露水，她就责问：“为什么不走正道？”饥荒之年，潘氏每日只吃瓜蔓，煮麦粥给儿子吃，有余粮就接济乡里饥民。曾经命仆人修整房屋，挖土得到千金，交给胡宗绪，胡宗绪不肯收下，母亲听说十分欢喜。胡宗绪考中雍正八年进士，官至国子监司业，勤学守行，多有著述。
张棠妻金氏，秀水人。张棠去世，金氏辛苦劳作侍奉婆婆。早晨做饭偶尔有余粮，中午再端给婆婆。婆婆叫她一同吃饭，金氏担心婆婆食物不足，就借口腹痛推辞。婆婆生病，侍奉饮食、尝药，搔痒、洗刷便器，剪发擦拭污垢，事事亲自去做。夜里坐在床下，听到呻吟声立刻起身。婆婆去世，痛哭说：“我依靠谁，才能抚育孤儿长大？”于是劳作更加辛苦。寒冬编织草鞋，双手冻得龟裂流血，涂抹酱和蜡油，疼痛如刀割，一定要做完才休息。儿子张庚稍稍长大，外出游学挣钱奉养母亲。一天清晨，金氏梳完头发，登上案几扒着房梁向西南眺望，说：“我什么时候能望见江西？”当时张庚正在南昌游学，南昌在浙江西南方，所以这么说。等到得到朝廷旌表，哭着说：“我的婆婆也是早年守寡，只是年过三十，不符合旌表条例，而我能够受旌，我心中为此暗自悲痛。”七十九岁去世。
洪翘妻蒋氏，武进人。洪翘重义而家境贫寒，租住在大池旁边，房屋狭小潮湿，蒋氏挑选最差的房间居住。暴雨时节，水浸到床下。洪翘科考落第，在外游学赡养父母。不久书信传来，说生病将要回乡。蒋氏带着两个儿子乘船迎接，听见来船上传来哭声，辨认出是仆人，痛哭想要投水，婢女拉住她才得以幸免。从此带领女儿们纺织缝纫，自力谋生。教儿子洪亮吉读书，读到《礼记》“夫者妇之天”一句，痛哭昏厥许久，呼喊：“我还有什么依靠！”于是暂时停读。洪亮吉稍长，到乡里塾师处读书，塾师读音训诂多有错讹，母亲为他校正，每日教几十个字。母亲织布，儿子诵读，常常到半夜。洪翘的祖父洪曾做过大同知府，父亲洪公寀独自偿还大同官府欠款十多万，不拖累兄弟；受托抚育赵氏孤儿，受连累家道破败，最终保全孤儿，因此以孝义闻名。蒋氏常常举这些事迹勉励洪亮吉。公婆去世，她哀痛伤身，不久母亲又离世，发病而死。洪亮吉改名亮吉，本书有传记。
张蟾宾妻姜氏，武进人。张蟾宾的父亲张金第客死京师，妻子白氏守贫抚育孤儿。张蟾宾又早年去世，姜氏抚育两个儿子张惠言、张翊。家中贫困，张惠言到伯父家读书，回家探望母亲，没有粮食。第二天张惠言饿得起不来，姜氏抚摸他说：“孩子不习惯饥饿，疲惫了吗？我和你姐姐、弟弟常常如此！”张惠言长大之后，让他教张翊读书，姜氏和女儿做针线活，常常以纺完三十根线为炊饭的标准。夜里点灯照看两个儿子读书，常常到四更，乡里称赞姜氏苦节如同她的婆婆。张惠言本书有传。
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