正月，律应太蔟，不是向上相生得到的律，长八寸。孟春节气到来，太蔟律感应地气，助长阳气，驱散滞塞。三分损一，向下生出南吕。

二月，律应夹钟，向下相生得到的律，长三寸又二千一百八十七分之一千六百三十一，加倍之后七寸又二千一百八十七分之一千零七十五。仲春节气到来，夹钟律感应地气，疏导四方细微的生机。三分益一，向上生出无射；京房三分损一，向下生出无射。

三月，律应姑洗，向上相生得到的律，长七寸又九分之一寸。季春节气到来，姑洗律感应地气，洁净万物，祭祀神灵，接纳宾客。三分损一，向下生出应钟。

四月，律应中吕，向下相生得到的律，长三寸又一万九千六百八十三分之六千四百八十七寸，加倍之后六寸又一万九千六百八十三分之一万二千九百七十四寸。孟夏节气到来，中吕律感应地气，宣发中和之气。

五月，律应蕤宾，向上相生得到的律，长六寸又八十一分之二十六寸。仲夏节气到来，蕤宾律感应地气，安定人神，宾主酬酢宴饮。三分损一，向下生出大吕；京房三分益一，向上生出大吕。

六月，律应林钟，向下相生得到的律，长六寸。季夏节气到来，林钟律感应地气，舒展万物，使万物庄重恭谨。三分益一，向上生出太蔟。

七月，律应夷则，向上相生得到的律，长五寸又七百二十九分之四百五十一寸。孟秋节气到来，夷则律感应地气，歌咏各类法度，安抚百姓，不宽纵过错。三分损一，向下生出夹钟；京房三分益一，向上生出夹钟。

八月，律应南吕，向下相生得到的律，长五寸又三分之一寸。仲秋节气到来，南吕律感应地气，助长万物成熟。三分益一，向上生出姑洗。

九月，律应无射，向上相生得到的律，长四寸又六千五百六十一分之六千五百二十四寸。季秋节气到来，无射律感应地气，传扬贤人的美德，给世人树立规范。三分损一，向下生出中吕；京房三分益一，向上生出中吕。

十月，律应应钟，向下相生得到的律，长四寸又二十七分之二十寸。孟冬节气到来，应钟律感应地气，均衡器物功用，使万物休养生息。三分益一，向上生出蕤宾。

《淮南子》、京房、郑玄等儒者讲律历，都是上下相生，到蕤宾又重复向上生出大吕，长八寸又二百四十三分之一百零四寸；夷则向上生出夹钟，长七寸又二千一百八十七分之一千零七十五寸；无射向上生出中吕，长六寸又一万九千六百八十三分之一万二千九百七十四寸。这三律的长度，对比司马迁、班固推算出来的寸分，都恰好加倍，其余各律数值都相同。这就是泠州鸠所说六间的道理，发扬沉潜之气，抑止散乱之气，借用来供实际使用。一半变通、一半守正，随实际情况取舍，是辅助音律的办法。大凡乐音，关键在于调和。增益就加倍，减损就减半，对比本音，始终不会偏差。所以说一上一下交替相生，是音律相生的正统道理；所谓重复上生，是吹奏候气的实用手段。蕤宾重复上生，只是刚好得到合用的数值，研究音律的人就沿用这个算法，并不是相生的正统法则。

扬雄说：“五声对应天干，甲己为角，乙庚为商，丙辛为徵，丁壬为羽，戊癸为宫。律吕对应地支，子对应黄钟，丑对应大吕这一类。乐声依照五行本情确立正调，律管用来调和声音。声与律互相配合，于是产生各类乐器的乐音。”宫、商、角、徵、羽，叫作五声。金、石、匏、革、丝、竹、土、木，叫作八音。声和音都谐调，叫作五乐。

阴阳调和，日影就合乎度数；律管感应地气，管内葭莩灰就会飞散。所以天子常在冬至、夏至驾临前殿，召集通晓八能的士人，陈列各类乐器，审听乐音，测量日晷日影，观测钟律，称量土灰，检验阴阳。冬至阳气感应，葭灰飞散，乐音清亮，日影达到最长，黄钟律通气，土灰变轻，衡器向上仰起。夏至阴气感应，乐音低沉，日影最短，蕤宾律通气，土灰变重，衡器向下低垂。节气前后五天之内发生变化，参与八能的官员各自把候测情况上报，太史令封存奏报。候测应验，就代表阴阳和顺；不应验，就用来占断吉凶。

候气的方法：建造三层密室，关好门户，缝隙涂抹密封，铺上丝帛帷幕。屋子里面用木头做案台，十二律各占一个，案台内侧低外侧高，依照方位摆放，把律管放在案台上，把葭莩的灰压在律管内端，按照历法等候节气。地气到来，管内的灰就飞散；被地气吹动，灰四散纷飞；如果是人或者风吹动，灰就聚在一起。皇宫当中候气用玉制十二律，只在冬至、夏至候测。灵台用竹制律管。杨泉的记载说：“取用弘农郡宜阳县金门山的竹子做律管，河内的葭莩烧成灰。”还有一种说法，把律管埋在密室，顺着十二地支方位，管口和地面齐平，律管里面填满竹莩烧成的灰，用薄纱盖住管口。地气到来，吹动飞灰、晃动薄纱。轻微晃动代表平和；晃动剧烈，对应君主弱小、臣子强势；完全不动，对应君主严苛暴虐。

审度

度量的基准，《汉书·律历志》记述得十分详尽。晋武帝泰始九年，中书监荀勖校对太乐，各类乐器声音不和谐，才发现从后汉到曹魏，当时用的尺子比古尺长出四分多。荀勖指派著作郎刘恭依照《周礼》制作古尺，也就是所谓的晋古尺。依照古尺重新铸造铜律吕，调谐音韵。拿这把尺子丈量古代器物，和器物原本镌刻的尺寸没有差别。另外，汲郡盗墓贼发掘战国魏国襄王的墓葬，得到周代玉律以及钟、磬，和新铸律吕音韵暗合。当时各地官府偶尔出土汉代旧钟，吹律校验，全部能够对应。荀勖在尺子上刻铭文：“晋泰始十年，中书考察古器物，校对现今尺子，长四分半。所考校的古法度有七件器物：第一姑洗玉律，第二小吕玉律，第三西京铜望臬，第四金错望臬，第五铜斛，第六古钱，第七建武铜尺。姑洗玉律略微偏长，西京望臬略微偏短，其余都和这把古尺相合。”铭文一共八十二个字。这把是荀勖新制古尺，当时通行的是杜夔所用的魏尺。

荀勖制作新钟律，和古器物音韵相合，当时人称赞制作精密。只有散骑侍郎陈留人阮咸批评它音偏高，音高就会悲凉，不是兴盛国家的乐音，是亡国之音。亡国之音哀伤愁思，象征百姓困苦。如今乐音不合雅正，恐怕不是德行中正、天地和乐的声音，一定是古今尺子长短不同造成。恰逢阮咸病逝。晋武帝因为荀勖的律和周汉古器物相合，就推行使用。后来始平郡挖出古代铜尺，年代久远快要朽坏，不知道是什么时代的器物，果然比荀勖的尺子长四分。当时的人佩服阮咸见识精妙，却没有人能改动这套律制。

史臣评议：荀勖在千年之后，推求百代之前的法度，尺度数值恰当，音韵又契合，可以说是严谨细密，有实物可以验证。可是当时的人见识浅薄，拿一件来历不明的古尺，忽略周汉两代的古器物，随声附和褒贬，多么荒谬。《世说》记载：“有农夫在野外挖到周代玉尺，是天下的标准尺。荀勖拿它校对自己制作的金石丝竹乐器，每件都短了一粒米的长度。”另外汉章帝时期，零陵文学史奚景在泠道县舜祠下面挖到玉律，拿玉律定为尺子，世代相传叫汉官尺。拿汉官尺校对荀勖尺，荀勖尺短四分；汉官尺、始平出土古尺，长短一样。杜夔调律用的尺子，对比荀勖新尺，一尺多出四分七厘。曹魏景元四年，刘徽注解《九章算术》说：王莽刘歆的斛尺，比当时魏尺短四分五厘，拿魏尺量王莽斛，斛深九寸五分五厘；就是荀勖所说现今尺子长四分半。晋元帝南渡江东以后，江东用的尺子，对比荀勖尺，一尺多出六分二厘。前赵刘曜光初四年铸造浑仪，光初八年铸造土圭，它的尺子对比荀勖尺，一尺多出五分。荀勖新尺只用来调音律，民间没有广泛流传，所以江东、刘曜的天文仪器，都大致沿用魏尺的标准。

嘉量

《周礼》记载：栗氏制造量器，鬴深度一尺，内部方形边长一尺，外部做成圆形，容积为一鬴。器底座厚一寸，容积是一豆。器的耳口宽三寸，容积是一升。重一钧，敲击声音和黄钟律相合。刮平量器上口，不额外征税。上面刻铭文：“时文思索，允臻其极。嘉量既成，以观四国。永启厥后，兹器维则。”

《春秋左氏传》说：齐国旧有四种量器：豆、区、釜、钟。四升为一豆，各自以四递进，一直到釜。四豆等于一区，一区是六斗；四区等于一釜，一釜六斗四升；十釜为一钟，一钟六十四斗。郑玄认为釜方一尺，容积一千立方寸，对比《九章算术·粟米》算法，少二升又八十一分之二十二升。用算术推算，古斛容积一共一千五百六十二点五立方寸；方一尺而外圆，减去旁侧一寸八毫，口径一尺四寸一分四毫七秒二忽有余，深度一尺，就是古代斛的形制。

《九章算术·商功》：计量粟米一斛，容积二千七百立方寸；米一斛，容积一千六百二十七立方寸；豆类、小豆、麻、麦子一斛，容积二千四百三十立方寸。这是根据粮食粗细定比例，让价格均衡，不是器物容积相等。以米斛为标准，和《汉书·律历志》一致。曹魏陈留王景元四年，刘徽注解《九章算术·商功》：“当今大司农斛，圆口径一尺三寸五分五厘，深一尺，容积一千四百四十一又十分之三立方寸。王莽铜斛，用当今魏尺量，深九寸五分五厘，口径一尺三寸六分八厘七毫。用刘徽算法计算，拿魏斛做标准，王莽斛容量九斗七升四合有余。”魏斛容积大，因为魏尺更长；王莽斛容积小，因为王莽尺短。

衡权

衡权：衡，就是平；权，就是重。衡杆配上权砣，称量物品，平衡轻重。古代有黍、垒、锤、锱、镮、钧、锊、镒这些重量单位，历代标准各不相同。《汉书·律历志》对衡权的名目道理记载完备，之后发生变革，详情没有流传。元康年间，裴頠认为医药关系人命，可是称量重量和古代不一样，危害尤其严重，应当修订权衡制度，建议没有被采纳。后赵石勒十八年七月，建造建德殿，挖出圆石，形状如同水碓，刻铭文：“律权石，重四钧，同律度量衡。有辛氏造。”续咸评议，认定这是王莽时代的器物。

志第七 律历中

从前圣人效法北极星运转璇玑玉衡，测算天体运行，排定日月星象，划分星次分野，分辨日月历法，慎重对待农时，兴办万物利益，全部用来顺应阴阳天地，为万物建立纲纪。观测天象、设立卦象，累积闰月形成爻辞，历法术数的本源就在这里。到炎帝时代，划分八个节气，开启农事；黄帝确立三纲，创制文字契约。于是命令羲和观测太阳，常仪观测月亮，臾区观测星象气象，伶伦创制律吕，大挠创制甲子，隶首制定算数。容成汇总这六种技艺，考定气象，建立五行，观察万物的生发敛藏，推演阴阳消长，校正闰月，整理成书，名叫《调历》。到少昊时期，凤鸟氏掌管历法；颛顼时期，南正掌管天文；唐尧时期，分别任命羲和；虞舜沿用尧的法度。夏、商接续天命，周朝顺应时运，岁首正月各不相同，创制历法各有差异。《左传》说：“大火星出现，夏历是三月，商历是四月，周历是五月。”所以天子设置日官，诸侯设置日御，协和天下万国，调和日月星辰。寒暑明暗的征兆，阴阳生杀的定数，启闭升降的纲纪，盈亏消长的节律，全部和日月星辰运行位次对应，没有错乱，所以能够包容世间生灵，匹配天地运行。周王室衰微之后，史官失职，掌管历数的人四散，灾祥占验没人打理。秦国统一天下，推崇五德相胜学说，自认得到水德祥瑞，把十月作为岁首。汉朝初年，诸事繁多无暇顾及，一百多年沿用秦朝正朔。到汉武帝，才下诏司马迁等人商议修订汉历，采用夏历正月为岁首。之后刘歆改作《三统历》，用来解说《左传》，论点看似辨析，却不符合实际，班固被迷惑，采入《汉书·律历志》。光武帝中兴，太仆朱浮多次上书说历法有谬误，当时天下刚刚平定，不能详细考订。到永平末年，改行《四分历》，七十多年，制度才完备。光和年间，朝廷命刘洪、蔡邕一同修订律历。后来司马彪承袭他们的成果，接续班固史书撰写志书。现在收集魏文帝黄初以后讲历法、实际行用的史料，接续司马彪的记述。

汉灵帝时期，会稽东部尉刘洪，考察从古到今史官的历法记录，推求日月运行进退，观察日月出入的验证，看它们往来轨迹，度量运行始终，领悟《四分历》和天象有偏差，根源在于斗分数值太大。重新设定纪法五百八十九，斗分一百四十五，创制《乾象历》。冬至太阳运行在斗宿二十二度。用这套算法推算日月五星运行，往上追溯和古代天象相合，往下推演和当时天象对应。他创制历法，依照《周易》确立术数，推演日月运行，探求潜藏的规律，名叫《乾象历》。又首创计算太阳运行快慢，同时研究月亮运行，月亮在黄道南北阴阳交错；太阳走黄道，对照赤道星宿度数也有进退。对比前代历法，变得更加精密。汉献帝建安元年，郑玄学习这套历法，认为它穷尽幽深的道理，又为它作注解。

魏文帝黄初年间，太史令高堂隆重新详细讨论历法，打算再次改革。太史丞韩翊认为《乾象历》削减斗分太多，往后推算会比天象提前，于是制作《黄初历》，纪法四千八百八十三，斗分一千二百零五。

后来尚书令陈群上奏：“历法难以通晓，前代博学大儒也多有争论。黄初元年，因为《四分历》年代久远粗疏，大魏承受天命，应当改历来彰显时代。韩翊最先提出改历，考虑还不够周密，拿《乾象历》互相参对比校。他们校验日月运行度数，月相弦望朔晦，历时三年，互相辩驳，不能决断。三公的议论都梳理典章义理，道路不同目标一致，希望用璇玑玉衡实测，各自发挥历法的效用，一年之内，得失就可以判定。”奏章被批准。

太史令许芝说：“刘洪月亮运行的算法使用将近四十年，已经发现推算结果和天象差一个多时辰。”

孙钦评议：“司马迁创作《太初历》，后来刘歆觉得粗疏，又做《三统历》。章和年间，改用《四分历》，用仪器观测天象，核对应验，时常出现差错，推算日食偏差超过半天。熹平年间，刘洪改作《乾象历》，推算日月五星的征兆，和天地时序相合。”

董巴评议：“圣人通过日晷观察太阳，通过弦望验证月亮，通过出没伏藏看清五星，通过晦朔判断历法对错。弦望、星辰出没伏藏，是历法的大纲，检验历法最明确的凭据。”

徐岳评议：“刘洪看到旧历法推算滞后天象，潜心思考二十多年，参校汉代《太初历》《三统历》《四分历》，在浑仪当中考校弦望月相。月亮运行九年完成一轮，叫九道；九章，一百七十一年，是九道小周期；九九八十一章，五百六十七分完成九轮，运行在牛宿之前四度五分。研习历法的人想要贴合《四分历》，只减去一道六十三分，分数不能整除，所以推算粗疏，根源就是斗分数值太大。考校弦望月相当在黄昏拂晓观测月亮所在星宿，才能知道推算时辰的先后，不应当只依靠浑仪。刘洪在《太初历》纪元基础上增加十二纪，削减斗下分数，纪元起于己丑。又制作月亮运行快慢、日月交会、黄道距离赤道度数、五星的算法，义理精密严谨，确实可以长久使用。现在韩翊创作的历法，全部沿用刘洪的方法，只是稍微增加斗下分数，改动的地方不多。韩翊增减历法，也费了心思，但是新历法刚刚创立，还没有完备，推算日食，不能全部应验。检验历法最重要的，就是日食。熹平年间，刘洪担任郎官，想要修改《四分历》，先上奏预报日食：日食发生在傍晚，时辰在辰，日食从下往上，遮蔽三分之二。之后天象完全和刘洪预言一致，天下懂天文的人全都看到。从刘歆以来，没有比得上刘洪的。黄初二年六月二十九日戊辰，未时发生日食。《乾象历》推算申时过半，依照消息算法调整为未时；《黄初历》推算辛时略强。《乾象历》比天象晚一个半时辰，更接近实际；《黄初历》晚两个半时辰，偏差更大。黄初三年正月丙寅初一，申时偏北发生日食。《黄初历》推算酉时稍弱；《乾象历》推算午时略少，消息算法调整为未时。《黄初历》比天象晚半个时辰，略近；《乾象历》比天象早两个时辰稍弱，消息算法调整后早一个多时辰，偏离天象。黄初三年十一月二十九日庚申，西南方向发生日食。《乾象历》推算未时初，消息算法调为申时；《黄初历》推算未时稍强。《乾象历》比天象早一个时辰，偏差大；《黄初历》比天象早半个时辰，更接近。黄初二年七月十五日癸未，日在壬位、月在丙位发生月食。《乾象历》推算月亮在申位，消息算法调未时；《黄初历》推算月亮在子位偏后，已经进入甲申日。《乾象历》比天象晚两个时辰，消息算法调后晚一个时辰，接近天象；《黄初历》晚六个时辰，偏差很大。黄初三年十一月十五日乙巳，日在丑位、月在未位发生月食。《乾象历》推算月亮在巳时过半，消息算法调午时；《黄初历》算到丙午日月亮酉时偏后。《乾象历》比天象早两个时辰，接近；《黄初历》比天象晚两个时辰多，偏差大，消息算法下《乾象历》早一个时辰。一共校验五次日月食，《乾象历》四次偏差大，一次近；《黄初历》一次近，四次偏差大。”

韩翊诘难徐岳：“《乾象历》消息算法只可以减，不可以加，加上就没有道理，不能使用。”徐岳说：这套算法本身就有消息调整，我师承这套学问，消息是算法的精妙部分，不能随意改动，所以把消息列为正式算法，韩翊的历法本身就粗疏。

木星，黄初三年五月二十四日丁亥早晨出现。《黄初历》推算五月十七日庚辰出现，早七天；《乾象历》推算五月十五日戊寅出现，早九天。

土星，黄初二年十一月二十六日壬辰出现。《乾象历》推算十一月二十一日丁亥出现，早五天；《黄初历》推算十一月十八日甲申出现，早八天。

土星，黄初三年十月十一日壬申隐没。《乾象历》同为壬申隐没；《黄初历》推算十月七日戊辰隐没，早四天。

土星，黄初三年十一月二十二日壬子出现。《乾象历》推算十一月十五日乙巳出现，早七天；《黄初历》推算十一月十二日壬寅出现，早十天。

金星，黄初三年闰六月十五日丁丑早晨隐没。《乾象历》推算六月二十五日戊午隐没，早十九天；《黄初历》推算六月二十二日乙卯隐没，早二十三天。

金星，黄初三年九月十一日壬寅出现。《乾象历》推算八月十八日庚辰出现，早二十三日；《黄初历》推算八月十五日丁丑出现，早二十五日。

水星，黄初二年十一月十七日癸未早晨出现。《乾象历》推算十一月十三日己卯出现，早四天；《黄初历》推算十一月十二日戊寅出现，早五天。

水星，黄初二年十二月十三日己酉早晨隐没。《乾象历》推算十二月十五日辛亥隐没，晚两天；《黄初历》推算十二月十四日庚戌隐没，晚一天。

水星，黄初三年五月十八日辛巳傍晚出现。《乾象历》同样五月十八日出现；《黄初历》推算五月十七日庚辰出现，早一天。

水星，黄初三年六月十三日丙午隐没。《乾象历》推算六月二十日癸丑隐没，晚七天；《黄初历》推算六月十九日壬子隐没，晚六天。

水星，黄初三年闰六月二十五日丁亥早晨出现。《乾象历》推算闰六月九日辛未出现，早十六天；《黄初历》推算闰六月八日庚午出现，早十七天。

水星，黄初三年七月七日己亥隐没。《乾象历》推算七月十一日癸卯隐没，晚四天；《黄初历》推算七月十日壬寅隐没，晚三天。

水星，黄初三年十一月十四日甲辰隐没。《乾象历》推算十一月九日己亥隐没，早五天；《黄初历》推算十一月八日戊戌隐没，早六天。

水星，黄初三年十二月二十八日戊子傍晚出现。两部历法都推算十二月壬申出现，都早十六天。

一共校验四颗行星的出没隐没十五次：《乾象历》七次接近，两次中等；《黄初历》五次接近，一次中等。

郎中李恩评议：“拿太史观测的天象来对照校验，黄初二年七月、三年十一月望月，和天象的日子都有偏差，月食推算时辰比天象晚六个半时辰，不只是差几度，确定是滞后超过半天。”

董巴评议：“从前伏羲开始创造八卦，三画成卦，象征二十四节气。黄帝承袭，初次创作《调历》。历经十一代，经历五千年，一共七部历法。颛顼把当时孟春正月作为历法岁首，当时正月初一正好立春，五星会聚在营室星宿，冰冻开始消融，蛰伏虫子苏醒，鸡三次啼鸣。天时开启，大地昌盛，人间安乐，鸟兽万物无不应和。所以颛顼被后世尊为历法宗师。商汤制作《殷历》，不再以正月初一立春作为节点，改用十一月初一冬至作为岁首。往下到周、鲁、汉朝，都沿用这个起点，据以排定四季。夏历最契合天时，继承尧舜，沿袭颛顼的制度。《大戴礼记》说虞夏的历法，岁首定在孟春正月，说的就是这件事。”

杨伟上书：“六十天之内，历法疏密就可以分辨，不需要等十年。如果不遵从历法法度，就好比考核方圆丢掉规矩，称量轻重抛开衡器，度量长短废掉尺子，论辨是非违背数理。不先确立校验历法的根本准则，只听没有法度的纷争，就如同孟子所说，方寸的土堆，可以修得比高楼还高。现在韩翊取用刘洪的术数，是知道看重这套算法。却抛弃刘洪的论点，违背他的体系，废弃他的论断，背离他的推演，一定会让刘洪精妙的算法不能流传后世。如果明明懂却刻意违背，就是心怀旧见背叛师长；如果不懂却拿来使用，就是一无所知还妄自行事。”历法的讨论还没有定论，恰逢魏文帝驾崩，事情就此搁置。

到魏明帝景初元年，尚书郎杨伟创作《景初历》，上表进献。明帝于是更改岁首，施行杨伟的历法，把建丑的月份当作正月，把当年三月改为孟夏。月份排序虽然和夏历不同，但是郊祀、狩猎、颁布时令，依旧用建寅正月。景初三年正月明帝驾崩，又恢复夏历正月。

蜀汉政权，沿用汉代《四分历》。吴国中书令阚泽向东莱徐岳学习刘洪《乾象历》，又做注解。中常侍王蕃认为刘洪的算法精妙，用它推演浑天理论，制作天文仪器，撰写论著。所以孙吴使用《乾象历》，一直到吴国灭亡。

晋武帝登基，泰始元年，沿用曹魏《景初历》，改名叫《泰始历》。杨伟推算五星运行尤为粗疏。晋元帝渡江到江东之后，改用《乾象历》的五星算法替换杨伟的历法。从黄初年间以后，改修历法，都斟酌参考《乾象历》削减的斗分、朔余、月亮运行快慢阴阳，求取折中。刘洪的算法，成为后世推算历法的宗师，所以把《乾象历》列在前面。

乾象历

从上元己丑年，到建安十一年丙戌，累计七千三百七十八年。

乾法：一千一百七十八。

会通：七千一百七十一。

纪法：五百八十九。

周天：二十一万五千一百三十。

通法：四万三千零二十六。

通数：三十一。

日法：一千四百五十七。

岁中：十二。

余数：三千零九十。

章岁：十九。

没法：一百零三。

章闰：七。

会数，四十七。 会岁，八百九十三。 章月，二百三十五。 会率，一千八百八十二。 朔望合数，九百四十一。 会月，一万一千零四十五。 纪月，七千二百八十五。 元月，一万四千五百七十。 月周，七千八百七十四。 小周，二百五十四。

推算入纪年份

取从上元到所求年份的总年数，用乾法去除；余数如果不满乾法，再用纪法去除。余下不足纪法的年数，就是进入内纪甲子的年份。如果满纪法就减去纪法，便是进入外纪甲午的年份。

推算朔日

取进入纪内的年数，加上所求的额外年数，乘以章月，再除以章岁，得到的结果就是确定的积月，除不尽的余数叫作闰余。闰余达到十二及以上，这一年就设置闰月。用通法乘以确定的积月，得到假积日；满日法就化为确定的积日，除不尽的部分叫作小余。用六十去除积日得到大余，从所入纪的干支起算，算外，就是所求年份天正十一月的朔日。

求下一个月的朔日：大余加上二十九，小余加上七百七十三；小余满日法就进位到大余。小余在六百八十四及以上，这个月就是大月。

推算冬至

取进入纪内的年数，加上所求额外年数，乘以余数，满纪法就得到大余，除不尽的是小余。用六十去掉大余的整轮，从该纪干支起算，算外，就是天正冬至的日子。

推算二十四节气

取用冬至的小余，大余加十五，小余加五百一十五；小余满二千三百五十六就进位到大余，依照前面规则确定干支日期。

推算闰月

用章岁减去闰余，所得余数乘以岁中，满章闰就得到一个闰月。除不尽的余数，如果过半章闰，也算作一个闰月；设置闰月会有前后进退，以没有中气的月份作为闰月。

推算上弦、望、下弦

朔日的大余加七，小余加五百五十七又二分之一；小余满日法就进位到大余，依照前面规则确定日期，得到上弦。再重复相加得到望日，再加得到下弦，再加得到下一个月的朔日。如果弦、望的定小余在四百零一以下，用一百刻去乘小余，满日法得到一刻；余下部分乘以十，求取刻的分数，对照临近节气的夜漏未尽时刻，按向上算的规则确定日期。

推算没日

取进入纪内的年数，加上所求额外年数，乘以余数，满纪法得到积没；如果有余数，就在总积没上加一。用会通去乘积没，满没法得到大余，除不尽的为小余。大余从所属纪的干支起算，算外，就是冬至之后的没日。

求下一个没日：大余加六十九，小余加六十四；小余满没法就进位到大余，余数耗尽就称为灭。

推算太阳所在宿度

用纪法去乘积日，满周天就舍弃，余下的数值除以纪法，得到的数值就是度数。从牛宿前五度开始起算度数，依次减去各宿的度数，余数不满一宿的度数，就是天正朔夜半太阳所处的宿度。

求第二日太阳位置：度数加一度；经过斗宿的时候要扣除斗分。斗分不足时，减一度，把一度换算为纪法的分数再进行计算。

推算月亮所在宿度

用月周去乘积日，满周天就舍弃；余下部分满纪法就化为度数，除不尽的是分数，和前面一样起算宿度，就是天正朔夜半月亮所处的宿度。

求下一月月亮位置：小月，度数加二十二，分数加二百五十八。大月，再多加上一日对应的度数，度数加十三，分数加二百一十七；分数满纪法就进为一度。冬季下旬，如果月亮运行到张宿、心宿，要专门记录标注。

推算日月合朔的宿度

用章岁乘以朔的小余，满会数得到大分；除不尽的是小分。把大分加到朔日夜半太阳的分数上，分数满纪法就进为度数，和前面一样起算宿度，就是天正合朔时日月相会的位置。

求下一月合朔位置：度数加二十九，大分加三百一十二；小分满会数就进位到大分，大分满纪法就进一度。经过斗宿时要扣除大分。

求上弦、望、下弦太阳所在宿度：在合朔度数基础上加七度，分数二百二十五，小分十七又二分之一；度数、大分、小分依照前面规则起算，就是上弦太阳所在宿度。继续累加，依次得到望、下弦、下一月合朔的太阳位置。

求上弦、望、下弦月亮运行所在宿度：在合朔度数基础上加九十八度，大分四百零八，小分四十一；度数、大分、小分依照前面合朔的起算规则，就是上弦月亮所在宿度。继续累加，依次得到望、下弦、下一月合朔的月亮位置。

求日月黄昏、黎明所处宿度：太阳用纪法，月亮用月周，分别乘以临近节气的夜漏刻数，除以二百，得到明分。用纪法减去太阳的明分，用月周减去月亮的明分，余下就是昏分。把昏分、明分分别加到夜半的宿度分数上，按规则换算，得到昏明时刻的日月宿度。

推算月食

取从上元到所求年份的总年数，减去会岁的整倍数；剩余的年数乘以会率，除以会岁，得到积食，有余数就在积食上加一。用会月乘剩余年数，除以会率得到积月，除不尽的是月余。用章闰乘剩余年数，除以章岁得到积闰；用积月减去积闰，余下的月份再减去岁中的整倍数，剩余的月份从天正十一月开始计数。

求下一次月食：月份加五个月，月余加一千六百三十五；月余满会率就进一个月，月食必定发生在望日。

推算卦气起用的日期

沿用冬至的大余，把冬至小余加倍，就是坎卦起用的日期。小余再加一千零七十五，满乾法就进位到大余，就是中孚卦起用的日期。

求下一卦的起用日：大余各加六，小余各加一百零三。四正卦各自对应二分二至的中气日，将中气日的小余加倍来确定。

推算五行主事的日期

取用冬至的大余、小余，大余加二十七，小余加九百二十七；小余满二千三百五十六进位到大余，得到土行主事的日期。再大余加十八，小余加六百一十八，得到立春木行主事日期。再大余加七十三，小余加一百一十六，又得到土行主事日。之后再依照土行的算法，依次得到火、金、水各行主事日期。

推算时辰

用十二去乘小余，满对应的分母就得到一个时辰，从子开始数，算外，朔、弦、望都使用定小余来计算。

推算漏刻

用一百去乘小余，满分母得到一刻；余下部分乘以十，求取刻下的分数。对照临近的节气，从夜漏开始到夜漏结束；如果夜漏还没有结束，就依照临近节气的漏刻来表述。

推算漏刻的进退变化：前进就加上相应数值，后退就减去相应数值。进退的差值变化，起于二分节气之后；大致每经过四度就增多一个“少”，每半个少，经过三就发生转变；差值满三就停止，历经五度之后又回到最初的递减规则。

月亮运行迟疾算法

月亮运行有快有慢，一周周转有固定规律。取会数遵从天地自然定数，乘以剩余比率之后自乘，除以会数，得到过周分。把过周分加到周天之上，除以月周，得到运行的历日数。月亮快慢变化有衰减差，这种变化是天体运行的态势。用衰减差增减月亮每日运行度数分，得到每日转过的度数分数。把衰减差的左右两项相加，得到损益率。增益就逐次累加，减损就逐次累减，就得到盈缩积。用小周的一半乘以通法，除以通数，再减去历周，得到朔行分。

历日	每日转过度数分数	列衰	损益率	盈缩积	月亮运行分
第一日	十四度十分	一退减	益二十二	盈初	二百七十六
第二日	十四度九分	二退减	益二十一	盈二十二	二百七十五
第三日	十四度七分	三退减	益十九	盈四十三	二百七十三
第四日	十四度四分	四退减	益十六	盈六十二	二百七十一
第五日	十四度	四退减	益十二	盈七十八	二百六十六
第六日	十三度十五分	四退减	益八	盈九十	二百六十二
第七日	十三度十一分	四退减	益四	盈九十八	二百五十八
第八日	十三度七分	四退减	损	盈一百零二	二百五十四
第九日	十三度三分	四退加	损四	盈一百零二	二百五十
第十日	十二度十八分	三退加	损八	盈九十八	二百四十六
第十一日	十二度十五分	四退加	损十一	盈九十	二百四十三
第十二日	十二度十一分	三退加	损十五	盈七十九	二百三十九
第十三日	十二度八分	二退加	损十八	盈六十四	二百三十六
第十四日	十二度六分	一退加	损二十	盈四十六	二百三十四
第十五日	十二度五分	一进减	损二十一	盈二十六	二百三十
第十六日	十二度六分	二进减	损二十；减损数值不足，反过来减去五作为增益，盈数多出五就叫作增益，而对缩初应当减损二十，所以出现数值不足	盈五，缩初	二百三十四
第十七日	十二度八分	三进减	益十八	缩十五	二百三十六
第十八日	十二度十一分	四进减	益十五	缩二十三	二百三十九
第十九日	十二度十五分	三进减	益十一	缩四十八	二百四十三
第二十日	十二度十八分	四进减	益八	缩五十九	二百四十六
第二十一日	十三度三分	四进减	益四	缩六十七	二百五十
第二十二日	十三度七分	四进加	损	缩七十一	二百五十四
第二十三日	十三度十一分	四进加	损四	缩七十一	二百五十八
第二十四日	十三度十五分	四进加	损八	缩六十七	二百六十二
第二十五日	十四度	四进加	损十二	缩五十九	二百六十六
第二十六日	十四度四分	三进加	损十六	缩四十七	二百七十
第二十七日	十四度七分	三历初进加	损十九	缩三十一	二百七十三
大周日	十四度九分	少进加	损二十一	缩十二	二百七十五

周日分，三千三百零三。 周虚，二千六百六十六。 周日法，五千九百六十九。 通周，十八万五千零三十九。 历周，十六万四千四百六十六。 少大法，一千一百零一。 朔行大分，一万一千八百零一。 小分，二十五。 周半，一百二十七。

推算合朔入迟疾历

用上元以来总积月数乘以朔行的大分、小分；小分满通数三十一就进位到大分；大分满历周就舍弃，剩余部分满周法得到一日，除不尽的叫作日余。日余算外，就是所求合朔进入迟疾历的日数。

求下一月合朔入历：加一日，日余加五千八百三十二，小分加二十五。

求弦、望入历：各自加七日，日余加二千二百八十三，小分加二十九又二分之一；分数依照法则化为整日；日数满二十七日就减去二十七日，余下的对日分。如果不够除，减去一日，加上周虚。

求朔、弦、望加时的定大余、定小余

取用所入历的盈缩积，乘以通周作为被除数。用通数乘日余分，再乘以损益率，用这个结果去增减被除数，得到加时的盈缩。章岁减去月行分，乘以周半作为差法，用差法去除前面结果；得到的数值，盈就减去、缩就加上朔弦望原本的大小余。如果和日法相比有盈余或者不足，朔的加时就落在前一日或者后一日。弦望就进退大余，得到定小余。

求朔、弦、望加时的定宿度

用章岁乘加时盈缩，除以差法；结果满会数化为盈缩大分、小分，盈就减去，缩就加上当月日月原本的宿度；如果分数有盈余不足，就以纪法进退度数，得到日月加时的确定度数分数。

推算朔日夜半月亮入迟疾历

用周半乘以朔小余，除以通数；用这个结果减去入历的日余。如果日余不够减，就加上周法再减，同时向后退一日。后退得到周日就加上对应分数，就得到夜半入历。

求第二日：向后推移一日，接续日余；到二十七日，日余满周日分就舍弃，不经过周日；不满周日就保留，把周虚加到日余之上，得到下一日的入历日余。

求月亮夜半的确定宿度

用夜半入历的日余，乘以损益率，除以周法，得到整数，剩余为余数，用得数增减缩积。如果余数不够减，拆分整数化为分数再减，得到夜半盈缩。满章岁化为度数，剩余是分数。通数去乘分数以及余数，余数除以周法并入分数；分数满纪法进一度。用盈就加、缩就减原本夜半的宿度分数，得到夜半定度。

求变衰的数值

用入历的日余乘以列衰，除以周法得到整数，余下余数，就可以得到当日的变衰。

求下一历的变衰

用周虚乘以列衰，除以周法得到常数；本历结束，就把常数加到变衰之上，满列衰就减去列衰，转为下一历的变衰。

求次日夜半月亮定度

用变衰，进就加，退就减历的每日转分；分数出现盈余不足，依照章岁进退度数。通数乘分数与余数，把每日转过的度数加到夜半定度上，得到次日夜半定度。本历结束，没有经过周日的，日余减去三十八，再用通数相乘；经过周日的，日余加上八百三十七，再用少大分八百九十九加到下一历变衰，按前面规则继续推算。

求次日夜半盈缩

用变衰去增减损益率，得到变损益率；用变损益率去变动夜半盈缩。本历结束，如果减损数值不够，反过来做增减，转入下一历，加减余数依照上面的数字。

求月亮黄昏、黎明宿度

用历中月亮运行分乘以临近节气的夜漏刻数，除以二百得到明分。用月行分减去明分得到昏分。分数满章岁化为度数，用通数乘分数，加到夜半定度，得到昏明时刻月亮的定宿度。余数过半分母以上算作一分，不足就舍弃。

推算月亮运行的迟疾状态

月亮行经四表，出入三道，交错分割周天，除以月率，得到历日。周天乘以朔望合数，除以会月，得到朔合分。通数乘以合数，除以会数，得到退分。退分加到月周，得到每日进分。除以会数，得到差率。

阴阳历表

历日	衰	损益率	兼数
第一日	一减	益十七	初
第二日（限余一千二百九十，微分四百五十七，此为前限）	一减	益十六	十七
第三日	三减	益十五	三十三
第四日	四减	益十二	四十八
第五日	四减	益八	六十
第六日	三减	益四	六十八
第七日（减损数值不足，反过来减损当作增益；应当减三，只够增益一，所以不足）	三减	益一	七十二
第八日（月亮运行半周，度数已经到达极值，就应当减损）	四加	损二	七十一
第九日	四加	损六	七十一
第十日	三加	损十	六十五
第十一日	二加	损十三	五十五
第十二日	一加	损十五	四十二
第十三日（限余三千九百一十二，微分一千七百五十二，此为后限；历初分数大，叫作分日，分日五千二百零三；少加，叫作少）	一加；少加	损十六；损十六大	二十七；十一

少大法，四百七十三。 历周，十万七千五百六十五。 差率，一万一千九百八十六。 朔合分，一万八千三百二十八。 微分，九百一十四。 微分法，二千二百零九。

推算合朔入阴阳历

从上元总积月中减去会月的整倍数；剩余积月分别乘以朔合分、微分；微分满微分法就并入朔合分；朔合分满周天就舍弃。剩余数值不满历周，就是入阳历；满历周就减去历周，剩余就是入阴历。余数除以月周得到一日，算外，就是当月合朔入阴阳历的日子，除不尽的为日余。

求下一月合朔入阴阳历：加二日，日余加二千五百八十，微分加九百一十四；依照规则化为整日，满十三就减去十三，余下对照分日。阴阳历结束就互相转入另一历；入历日余在前限余之前、后限余之后的，月亮运行在黄道中道。

求朔望定数

分别取用迟疾历的盈缩大小分，会数乘小分化为微分；盈就减去，缩就加上阴阳历的日余；日余出现盈余不足，就进退日期得到定日余。用定日余乘以损益率，除以月周；得数增减兼数，得到加时定数。

推算朔日夜半入阴阳历

用差率乘以朔小余，除以微分法；用得数减去入历日余。不够减，加上月周再减，向后退一日。后退得到分日就加上分日的分数；用会数约简微分化为小分，就是朔日夜半入阴阳历。

求次日：加一日，日余加三十一，小分加三十一；小分满会数并入日余；日余满月周就减去月周，再加一日。本历结束，日余满分日就减去分日，回到历的开端；不满分日就保留，日余加二千七百零二，小分加三十一，进入下一历。

求夜半定日

用通数乘迟疾历夜半盈缩以及余数；余数满周半化为小分；盈就加，缩就减阴阳历的日余；日余有盈余不足，以月周进退日期得到定日余。定日余乘以损益率，除以月周，得数增减兼数，得到夜半定数。

求昏明定数

用损益率乘以临近节气的夜漏刻数，除以二百得到明数；损益率减去明数得到昏数；用昏、明数值去增减夜半定数，得到昏明定数。

推算月亮距离北天极的度数

取用加时或者昏明时刻的定数，除以十二得到度数；余数除以三：余一叫作少，除不尽余数一为强，余数二为弱。得到的就是月亮距离黄道的度数。阳历就把这个度数加到太阳所在黄道的去极度；阴历就从太阳黄道去极度减去这个度数，得到月亮距离北天极的度数。强算作正，弱算作负；同类就相加，不同类就相抵消。两相减的时候，同类抵消，异类相加；没有配对的就互相置换；两个强就进为少，算作弱。

从上元己丑年，到建安十一年丙戌，一共积七千三百七十八年。

己丑、戊寅、丁卯、丙辰、乙巳、甲午、癸未、壬申、辛酉、庚戌、己亥、戊子、丁丑、丙寅。

推算五星

五行对应的星体：木星叫岁星，火星叫荧惑，土星叫填星，金星叫太白，水星叫辰星。各自用行星会合总日数和周天度数相约，得到周率、日率。章岁乘以周率得到月法。章月乘以日率得到月分。月分除以月法得到月数。通数乘以月法得到日度法。斗分乘以周率得到斗分。日度法，是纪法乘周率，所以这里同样用分数相乘。

五星的朔大余、朔小余：各自用通法乘月数，除以日法得到大余，除不尽是小余。大余减去六十的倍数。

五星入月日、日余：各自用通法乘月余，会合月法乘朔小余，两项相加，除以会数，结果除以日度法，就得到入月日和日余。

五星度数、度余：大数减小数得到度余分；乘以周天，除以日度法得到度数，除不尽是度余；超过周天就减去周天，处理斗分。

纪月，七千二百八十五。 章闰，七。 章月，二百三十五。 岁中，十二。 通法，四万三千零二十六。 日法，一千四百五十七。 会数，四十七。 周天，二十一万五千一百三十。 斗分，一百四十五。

木星：周率，六千七百二十二。日率，七千三百四十一。合月数，十三。月余，六万四千八百零一。合月法，十二万七千七百一十八。日度法，三百九十五万九千二百五十八。朔大余，二十三。朔小余，一千三百零七。入月日，十五。日余，三百四十八万四千六百四十六。朔虚分，一百五十。斗分，九十七万四千六百九十。度数，三十三。度余，二百五十万九千九百五十六。

火星：周率，三千四百零七。日率，七千二百七十一。合月数，二十六。月余，二万五千六百二十七。合月法，六万四千七百三十三。日度法，二百万六千七百二十三。朔大余，四十七。朔小余，一千一百五十七。入月日，十二。日余，九十七万三千零一十三。朔虚分，三百。斗分，四十九万四千零一十五。度数，四十八。度余，一百九十九万一千七百零六。

土星：周率，三千五百二十九。日率，三千六百五十三。合月数，十二。月余，五万三千八百四十三。合月法，六万七千零五十一。日度法，二百零七万八千五百八十一。朔大余，五十四。朔小余，五百三十四。入月日，二十四。日余，十六万六千二百七十二。朔虚分，九百二十三。斗分，五十一万一千七百零五。度数，十二。度余，一百七十三万三千一百四十八。

金星：周率，九千零二十二。日率，七千二百一十三。合月数，九。月余，十五万二千二百九十三。合月法，十七万一千四百一十八。日度法，五百三十一万三千九百五十八。朔大余，二十五。朔小余，一千一百二十九。入月日，二十七。日余，五万六千九百五十四。朔虚分，三百二十八。斗分，一百三十万八千一百九十。度数，二百九十二。度余，五万六千九百五十四。

水星：周率，一万一千五百六十一。日率，一千八百三十四。合月数，一。月余，二十一万一千三百三十一。合月法，二十一万九千六百五十九。日度法，六百八十万九千四百二十九。朔大余，二十九。朔小余，七百七十三。入月日，二十八。日余，六百四十一万零九百六十七。朔虚分，六百八十四。斗分，一百六十七万六千三百四十五。度数，五十七。度余，六百四十一万零九百六十七。

推算五星会合

取从上元到所求年份的总年数，乘以周率，除以日率，得到积合，除不尽是合余。合余除以周率：商数为一，行星会合发生在前一年；商数为二，会合发生在前两年；没有商数，会合就在本年。用周率减去合余得到度分。金星、水星：积合是奇数，为早晨出现；偶数，为傍晚出现。

推算行星会合的月份

用合月数、月余分别乘以积合；月余满合月法就并入月份，除不尽是月余。总积月减去纪月的倍数，剩余是入纪月。另算：章闰乘积合，除以章月得到闰数；用入纪月减去闰数；剩余月份减去岁中的倍数，从天正十一月算外，得到会合月份。如果处在闰月交界，以朔日来判定。

推算会合入月日期

用通法乘月余，合月法乘朔小余，两项相加，除以会数；结果满日度法得到一日，就是行星会合的入月日；不满日度法的是日余，从朔日算外。

推算行星会合的宿度

周天乘以度分，除以日度法得到度数，除不尽为度余；从牛宿前五度起算度数。

以上是求五星会合的算法。

求下一次会合的月份

合月数加合月数，月余加月余；月余满合月法进一个月。总和不满岁中，会合就在本年；满岁中就减去岁中，有闰月就要计入闰月，余下就属于下一年；再满岁中，就在后二年。金星、水星，早晨会合加一次变为傍晚会合，傍晚会合加一次变为早晨会合。

求下一次会合对应的朔日

用朔的大余、小余，加上会合月的大余、小余；如果已经跨到下一月，再加大余二十九，小余七百七十三；小余满日法进位到大余，和前面规则一样确定干支。

求下一次会合入月日

用入月日、日余，加上前次会合的入月日和日余；日余满日度法进一日。如果前一次会合朔小余超过朔虚分，就要减去一日。后一次朔小余大于等于七百七十三，减去二十九日；不足，减去三十日；剩余，就是后一次会合的入月日。