咸丰元年六月，礼县久雨，山体崩塌；袁家崖山体崩裂，声震如雷，裂缝宽二尺左右，横向绵延两百丈。十月，兴山仙侣山崩塌。二年六月初一，狄道马衔山裂开；平河大雨，山体崩塌，大量民房被压倒。三年三月十六日，云和山体裂开两百丈。六月二十六日，景宁大雨，山体崩塌，七十三人遇难；郧县青岩崩裂十多丈；保康大山整体滑移十里左右，田地房屋损毁无数；永嘉大雨，龙泉村山体坍塌压垮房屋，十九人受伤。四年七月，云和山体崩塌，三十多人遇难。五年四月，大通县塔破山崩塌。六年五月初八，来凤大坝路猲甚山崩塌，三百多人遇难。九月，松阳大雷雨，山体崩塌几十丈。
同治四年七月，固原山体崩塌；汉阳铺有一块一丈多长、四尺高的平整巨石，自行移动一里多才停下。十三年七月十二日，宣平北门山崩塌。八月十一日，西和西山崩塌，山石冲进城里，推倒城墙二百四十多丈，民房九十多处，四十九人遇难。
光绪元年正月初一，西宁西川阴山崩塌。七月，旧洮州东明山崩塌。三年六月，河州红崖山崩塌，两百多人遇难，牲畜死伤无数。五年五月，文县山体崩塌。九年三月，光化马窟山裂开。十二年六月，河州草领山崩塌。十九年五月，狄道州皇后沟山崩塌，十三人遇难。二十年二月二十七日，河州东八部兰山崩塌。二十二年二月，河州哈家山崩塌。二十三年八月，宁远大夫沟山崩塌。二十六年六月，漳县还山崩塌，静宁州南五台山崩塌，河州王家山崩塌。二十七年六月，皋兰五泉山、三台阁山崖崩塌。三十一年七月二十四日，洮州泉古山崩塌。三十二年五月，洮州莽湾山崩塌；七月，芽坡山崩塌。三十三年五月，宁远小村槽山崩塌。
宣统元年六月十五日，秦州雒家川南山崩塌。
顺治五年三月，上海地上到处长出白毛。四月，娄县地面长出白毛。六年六月，杭州、嘉兴地面生出白毛。八月初三，天上像下雨一样落下白毛。七年六月，苏州、镇洋、震泽、青浦地面开裂，长出白毛。九年十月初四，永嘉天上落下像棉絮一样的东西。
康熙七年六月，上海、海盐、湖州、平湖、宁波地面长出白毛，一尺多长。七月，临安、余姚地面长出白毛，一尺多长。八月，永嘉、桐乡地面长出白毛。八年八月，开化县地面长出白毛。十月，义乌地面长出白毛。十四年三月，琼州地面长出白毛，一寸多长。十七年十月二十六日，镇洋天上落下白毛，如同雪片。四十六年，太平地面生出毛发。
乾隆二十八年，南陵地面生出毛状物，白色本体，顶端黑色。二十九年五月，武进地面长出白毛，数寸长。四十一年，婺源地面长出白毛。
嘉庆十九年七月，青浦遍地长出白毛，如同人的头发。二十三年三月，宜城地面生出毛发，有白有黑，一尺多长。
咸丰元年，江陵地面长出白毛，三寸左右。二年五月，青浦地面长出白毛。三年四月，武进地面生出毛发。六年夏季，青浦地面生出毛发；七月，武进地面生出毛发；九月，桐乡地面长出白毛。九年十月，武昌地面生出毛。
同治元年七月，高阳县地上长出毛。同治四年六月，罗田县遍地长出灰白色的毛，大约三寸长；即墨县地面也生出毛。同治五年十一月，潜江县地上长出黑毛，长三寸；江陵县地面生毛。同治六年三月，德安地面生毛。八月，京山县地上生毛，毛有黑色、白色，长度超过一尺。十月，随州地面长出白毛。同治七年春季，应山县地上生毛。同年夏季，黄安县地上生毛。
光绪四年冬天，光化县地上生毛。
顺治元年春季，荆门发生大饥荒。冬天，郧县发生大饥荒。顺治二年，枣阳、襄阳、光化、宜城发生大饥荒，出现人吃人的现象。顺治三年，太平、瑞安、崇阳发生大饥荒。顺治四年，苏州、震泽、嘉定、太湖、潜山、石埭、建德、宿松、江山、常山发生大饥荒。顺治五年春季，广州、鹤庆、嵩明爆发大饥荒，人吃人。夏季，惠来、大埔、嘉应州、兴宁、阳春、梧州、北流闹大饥荒，一斗米可以换一个孩子。冬天，整个四川发生饥荒；顺治六年，四川依旧饥荒；灌阳、平阳大饥荒。顺治七年夏季，榆林、青田闹饥荒。秋季，永宁州、襄垣、萍乡大饥荒。冬天，阜平饥荒。顺治八年春季，平湖、袁州、萍乡、万载饥荒。夏季，寿阳、静乐饥荒。顺治九年春季，苏州大饥荒。夏季，黄陂、孝感、天门饥荒，很多百姓沦为盗贼。顺治十年夏季，兴宁、长乐、博罗、阳江、阳春饥荒。冬天，六安饥荒。顺治十一年，临榆、乐亭、新乐饥荒。顺治十二年夏季，临川、沁州饥荒。秋季，武邑、宁晋饥荒。冬天，金华、东阳、永康、武义、汤溪五个县饥荒。顺治十三年春季，琼州饥荒。秋季，东安饥荒。冬天，乌程、寿光饥荒。顺治十四年，乐亭饥荒。顺治十五年，永年、抚宁、昌黎、庆云、鸡泽、威县饥荒。顺治十六年春季，阳信、海丰、莒州大饥荒。夏季，胶州饥荒。顺治十七年夏季，遵化州饥荒。秋季，独山州大饥荒，大量百姓饿死。冬天，滦州饥荒。顺治十八年春季，兴宁饥荒。夏季，南笼府大饥荒。秋季，临安饥荒。
康熙元年，吴川大饥荒。康熙二年，合肥饥荒。康熙三年春季，揭阳饥荒。秋季，交河、宁晋饥荒。康熙四年春季，曹州、兖州、东昌大饥荒。夏季，惠来饥荒。秋季，怀远饥荒。冬天，乌城饥荒。康熙六年，应山饥荒。康熙七年，无极大饥荒。康熙十年夏季，海盐大饥荒。秋季，临安、东阳大饥荒。康熙十一年，永康、峡江、大冶饥荒。秋季，遂安、汤溪大饥荒。康熙十二年，乐亭大饥荒。康熙十三年春季，兴宁、镇平、京山大饥荒。康熙十四年，东光饥荒。康熙十五年春季，大冶饥荒。夏季，连平饥荒。康熙十六年春季，嘉应州大饥荒。夏季，郧县、郧阳、郧西大饥荒。康熙十七年秋季，曲江饥荒。康熙十八年春季，真定府下属各地饥荒。夏季，兴宁、长乐、嘉应州、平远饥荒。秋季，无为、合肥、庐江、巢县、博兴、乐安、临朐、高苑、昌乐、寿光大饥荒。冬天，满城饥荒。康熙十九年春季，江夏大饥荒。夏季，大同、天镇饥荒。冬天，万泉、遵化州、沧州饥荒。康熙二十年夏季，儋州、永嘉饥荒。康熙二十一年春季，桐乡饥荒。冬天，信宜、真定、保安州饥荒。康熙二十二年春季，宜兴饥荒。秋季，单县饥荒。康熙二十三年春季，济宁州、剡州、费县饥荒。秋季，巴县、江安、罗田饥荒。康熙二十四年春季，沛县饥荒。康熙二十五年秋季，恭城大饥荒。冬天，藁城大饥荒。康熙二十六年，博兴大饥荒。康熙二十七年秋季，蔚州饥荒。康熙二十八年春季，高邑、文登饥荒。夏季，潜江大饥荒。秋季，龙门饥荒。康熙二十九年夏季，黄冈、黄安、罗田、蕲州、黄梅、广济饥荒。秋季，襄垣、长子、平顺饥荒。康熙三十年春季，昌邑饥荒。秋季，顺天府、保安州、真定饥荒。康熙三十一年春季，洪洞、临汾、襄陵饥荒。夏季，富平、盩厔、泾阳饥荒。秋季，陕西饥荒。康熙三十二年夏季，庆阳饥荒。秋季，湖州饥荒。康熙三十三年，沙河饥荒。康熙三十四年，毕节饥荒。康熙三十五年夏季，长宁、新安、藁城饥荒。秋季，大埔饥荒。康熙三十六年夏季，广宁、连平、龙川、海阳、揭阳、澄海、嘉应州大饥荒。秋季，庆元、龙南、潜江、酉阳、江陵、远安、荆州、郧西、江陵、监利饥荒。康熙三十七年春季，平定、乐平大饥荒，人吃人。夏季，济南、宁阳、莒州、沂水大饥荒。康熙三十八年春季，陵川饥荒。夏季，婺源、费县饥荒。秋季，金华饥荒。康熙三十九年秋季，西安、江山、常山饥荒。康熙四十年，靖远饥荒。康熙四十一年春季，吴川大饥荒。夏季，沂州、剡城、费县大饥荒。冬天，庆云饥荒。康熙四十二年夏季，永年、东明饥荒。秋季，沛县、亳州、东阿、曲阜、蒲县、滕县大饥荒。冬天，汶上、沂州、莒州、兖州、东昌、郓城大饥荒，发生人吃人的惨剧。康熙四十三年春季，泰安大饥荒，人吃人，饿死的人尸体互相堆叠；肥城、东平大饥荒，人吃人；武定、滨州、商河、阳信、利津、沾化饥荒；兖州、登州大饥荒，百姓死亡大半，甚至吃房屋野草；昌邑、即墨、掖县、高密、胶州大饥荒，人吃人。康熙四十四年，凤阳府属下各地饥荒。康熙四十五年春季，汉川、钟祥、荆门、江陵、监利、京山、潜江、沔阳、郧县、郧西饥荒。康熙四十六年秋季，东流、宿州饥荒。康熙四十七年，平乡、沙河、巨鹿饥荒。康熙四十八年春季，无为、宿州饥荒。夏季，沂城、剡城、邢台、平乡饥荒。秋季，武进、清河饥荒。康熙四十九年，阜阳饥荒。康熙五十年，通州饥荒。康熙五十一年，古浪饥荒。康熙五十二年春季，苍梧饥荒，饿死数以千计的人。夏季，长宁、连平、合浦、信宜、崖州、柳城饥荒。康熙五十三年春季，阳江饥荒。冬天，汉阳、汉川、孝感饥荒。康熙五十四年夏季，临榆饥荒；遵化州大饥荒，百姓靠啃树皮活命。康熙五十五年春季，顺天、乐亭饥荒。康熙五十六年春季，天台饥荒。康熙五十七年，广济饥荒。康熙五十八年春季，日照饥荒。夏季，静宁、环县饥荒。康熙五十九年春季，临潼、三原饥荒。夏季，蒲县饥荒。康熙六十年春季，平乐、富川饥荒。夏季，邢台饥荒。秋季，咸阳大饥荒。冬天，兖州府属下各地饥荒。康熙六十一年夏季，井陉、曲阳、平乡、邢台饥荒。同年夏季，蒙阴、沂水饥荒。秋季，嘉兴、金华饥荒。冬天，怀集饥荒。
雍正元年夏季，通州饥荒。秋季，嘉兴饥荒。雍正二年春季，蒲台大饥荒。夏季，乐清、金华、嵊县饥荒。冬天，英山饥荒。雍正三年夏季，顺德、胶州饥荒。冬天，惠来饥荒。雍正四年春季，嘉应州饥荒。秋季，澄江、阳江饥荒。雍正五年冬天，江陵、崇阳饥荒。雍正七年，寿州饥荒。雍正八年夏季，肥城、武城饥荒。冬天，铜陵大饥荒。雍正九年春季，肥城大饥荒，饿死的人尸体层层堆积；莒州、范县、黄县、招远、文登饥荒。夏季，章丘、邹平大饥荒。冬天，济南大饥荒。雍正十年，崇明、海宁饥荒。雍正十一年冬天，上海、嘉兴饥荒。雍正十二年秋季，武进大饥荒。雍正十三年秋季，庆远府属下地区大饥荒。冬天，垣曲饥荒。
乾隆元年夏季，海阳饥荒。乾隆三年秋季，平阳饥荒。乾隆四年春季，葭州饥荒。夏季，砀山饥荒。乾隆五年，巩昌、秦州、庆阳等地饥荒。乾隆六年，甘肃陇右各个州县大饥荒。乾隆七年春季，山阳饥荒。夏季，宜都饥荒。秋季，亳州饥荒。乾隆八年春季，南昌、饶州、广信、抚州、瑞州、袁州、赣州各府大饥荒。夏季，天津、深州二十八个州县饥荒。乾隆九年，高邑大饥荒。乾隆十年，正定、赞皇、无极、藁城、元氏等县饥荒。乾隆十一年春季，沾化饥荒。夏季，庆云、宁津饥荒。乾隆十二年，曹州、博山、高苑、昌乐、安丘、诸城、临朐饥荒。乾隆十三年春季，曲阜、宁阳、济宁、日照、沂水饥荒。夏季，福山、栖霞、文登、荣成饥荒，栖霞灾情最重，百姓贩卖儿女。乾隆十四年春季，安丘、诸城、黄县大饥荒，道路上到处是饿死的人，贩卖子女的不计其数。乾隆十五年秋季，广信饥荒。乾隆十六年春季，福山、栖霞饥荒，很多百姓饿死。夏季，南昌、广信饥荒。冬天，建德饥荒。乾隆十七年春季，全州饥荒。夏季，同官、洵阳、白河饥荒。冬天，房县饥荒。乾隆十八年春季，庆元饥荒。秋季，郧县饥荒。乾隆十九年，罗田饥荒。乾隆二十年，溧水、通州饥荒。乾隆二十一年春季，青浦、东流、湖州、石门、金华饥荒。夏季，沂州、武城饥荒。冬天，济南府饥荒。乾隆二十二年夏季，博白饥荒。秋季，掖县饥荒。乾隆二十三年春季，翁源、苍梧饥荒。夏季，日照饥荒。乾隆二十四年秋季，陇右各个州县大饥荒。乾隆二十五年，平定、潞安、长子、长治、和顺、天门饥荒。乾隆二十六年，江夏、随州、枝江饥荒。乾隆二十七年春季，济南饥荒。夏季，枣强、庆云饥荒。乾隆二十八年夏季，永年、永昌大饥荒。乾隆二十九年秋季，东光大饥荒。乾隆三十年春季，桐庐饥荒。秋季，吉安、广信、袁州、抚州饥荒。冬天，威远饥荒。乾隆三十一年，济南、新城、德州、禹城饥荒。乾隆三十二年冬天，池州大饥荒。乾隆三十三年夏季，沂水、日照大饥荒。乾隆三十四年，溧水、太湖、高淳饥荒。乾隆三十五年，兰州、巩昌、秦州下属各地大饥荒。乾隆三十六年夏季，会宁、肥城大饥荒。秋季，新城、宁陕厅饥荒。乾隆三十八年秋季，文登、荣成饥荒。乾隆三十九年秋季，秦州、镇番大饥荒。乾隆四十年，溧水、武进、高邮、南陵大饥荒。乾隆四十二年秋季，陆川饥荒。乾隆四十三年，整个四川爆发大饥荒，出现专门买卖人口的集市；江夏、武昌等三十一个州县饥荒。乾隆四十四年春季，南漳、光化、房县、随州、枝江饥荒。夏季，秦州下属各地饥荒。乾隆四十五年秋季，江陵、保康饥荒。乾隆四十七年，滦州、昌黎、临榆饥荒。乾隆四十八年春季，黄县饥荒。秋季，绥德州饥荒。乾隆四十九年春季，葭州饥荒。夏季，来凤饥荒。乾隆五十年春季，宜城、光化、随州、枝江大饥荒，百姓吃树皮度日。夏季，章丘、邹平、临邑、东阿、肥城饥荒。秋季，寿光、昌乐、安丘、诸城大饥荒，出现父子相食的惨剧。乾隆五十一年春季，山东各个府、州、县大饥荒，人吃人。乾隆五十二年，临榆大饥荒。乾隆五十三年秋季，文登、荣成饥荒。乾隆五十四年夏季，宜都饥荒。乾隆五十五年秋季，禹城饥荒。乾隆五十六年，邢台等八个县饥荒。乾隆五十七年，唐山、宁津、武强、平乡饥荒，很多百姓饿死。乾隆五十八年春季，常山饥荒。乾隆五十九年，清苑、望都、蠡县饥荒。乾隆六十年春季，蓬莱、黄县、栖霞饥荒。夏季，麻城饥荒。
嘉庆五年夏季，海阳饥荒。嘉庆六年，文登、荣成饥荒。嘉庆七年冬天，乐亭饥荒。嘉庆八年夏季，秦州下属各地大饥荒。嘉庆九年春季，滕县饥荒。嘉庆十年夏季，黄县、邢台饥荒。嘉庆十一年春季，中部、通渭饥荒。冬天，安陆饥荒。嘉庆十二年，蓟州、昌黎、永安州饥荒。嘉庆十三年夏季，黄县饥荒。嘉庆十五年秋季，宁津、东光、章丘饥荒。嘉庆十六年夏季，霸州、保定、文安、大城、固安、永清、东安、宛平、涿州、良乡、雄县、安州、新安、任丘、滦州、蓟州饥荒。嘉庆十七年春季，登州府属下地区大饥荒，秦州下属各地以及镇番、永昌等地大饥荒。夏季，临榆饥荒。冬天，乐清饥荒。嘉庆十八年春季，肥城、东阿、滕县、济宁、曹县、诸城饥荒。冬天，宜城、房县、竹溪、均州、保康饥荒。嘉庆十九年春季，宜城、安陆、保康、麻城、郧县饥荒。夏季，襄阳、汉阳、枣阳、南漳饥荒。秋季，高淳饥荒。嘉庆二十年，清苑饥荒。嘉庆二十一年，武昌县饥荒。嘉庆二十二年，固安、武强、内丘饥荒。嘉庆二十五年秋季，乐清、永嘉饥荒。
道光元年秋季，荣成饥荒。道光二年夏季，滦州饥荒。道光三年春季，东阿饥荒。秋季，曲阳饥荒。道光四年，皋兰、静宁、西宁、巩昌、秦州等地大饥荒。道光五年秋季，南乐、静海、文安、大城、宝坻饥荒。道光七年春季，日照大饥荒。道光八年，太平饥荒。道光十年冬天，江陵饥荒。道光十二年春季，昌平饥荒。夏季，紫阳大饥荒，人吃人。冬天，钟祥、潜江、汉阳、蕲州、黄梅、江陵、公安、监利、松滋饥荒。道光十三年春季，诸城、日照大饥荒，百姓四处流亡。夏季，保康、郧县、房县饥荒，人吃人。秋季，滦州、抚宁饥荒。道光十四年春季，归州、兴山大饥荒，人吃人。夏季，庄浪以及秦州下属各地饥荒。秋季，青浦饥荒。冬天，定海饥荒。道光十五年春季，诸城饥荒。秋季，孝义厅大饥荒。道光十六年春季，登州府属下地区大饥荒。冬天，太平饥荒。道光十七年冬天，即墨饥荒。道光十八年夏季，永年饥荒。道光二十年冬天，滦州、乐亭、抚宁饥荒。道光二十一年夏季，高淳饥荒。冬天，枝江饥荒。道光二十二年冬天，蕲州饥荒。道光二十三年秋季，湖州饥荒。道光二十六年秋季，平凉县饥荒。道光二十七年，南乐饥荒，人吃人。道光二十九年夏季，江陵、公安、石首、松滋、枝江、宜都大饥荒，饿死的人不计其数。冬天，青浦饥荒。道光三十年春季，湖州、咸宁、崇阳饥荒。
咸丰二年春季，日照大饥荒。夏季，全县大饥荒。咸丰六年，黄县、临朐饥荒。咸丰七年春季，肥城、东平大饥荒，尸体堆积；鱼台、日照、临朐也闹饥荒，人吃人。夏季，清苑、元氏、无极、邢台大饥荒。咸丰八年秋季，兴山饥荒。
同治元年春季，乐亭饥荒。同治二年春季，孝义厅饥荒。秋季，江山、常山饥荒。同治三年，保康饥荒。同治四年春季，蕲水饥荒，百姓被迫出卖子女。同治五年，兰州饥荒，人吃人。同治六年春季，庄浪、金县、皋兰饥荒。同治七年春季，即墨、孝义厅、蓝田、沔县饥荒。夏季，泾州大饥荒，人吃人。冬天，平凉、静宁、古浪、固原、灵台、秦州、永昌等地大饥荒。同治八年春季，日照饥荒。同治九年夏季，上饶饥荒。同治十年秋季，望都、乐亭饥荒。同治十三年秋季，雄县饥荒。冬天，山丹饥荒。
光绪元年冬天，海州饥荒。光绪二年春季，日照、海阳、滦州饥荒。光绪三年，高陵大饥荒，饿死男女三千多人；靖远、平凉、泾州、灵台、礼县、文县、合水大饥荒。光绪四年，唐县等四十个州县饥荒，庄浪、阶州、成县、灵州、巩昌、秦州下属各地饥荒。光绪六年秋季，邢台饥荒。光绪七年，通州等州县饥荒。光绪九年秋季，鹤庆州大饥荒。光绪十一年夏季，沾化饥荒。光绪十三年冬天，洮州、永昌饥荒。光绪十五年春季，鱼台饥荒。光绪二十一年春季，邢台、滦州饥荒。光绪二十二年夏季，太平饥荒。光绪二十三年，宁津饥荒。光绪二十四年冬天，靖远、静宁、庄浪、丹噶尔饥荒。光绪二十五年秋季，文县饥荒。光绪二十六年夏季，靖远饥荒。光绪二十七年冬天，洮州、静宁、灵台饥荒。光绪二十九年，洮州依旧饥荒。光绪三十三年秋季，皋兰饥荒。
顺治十五年六月，遂安降下黄沙。
康熙元年十一月，曹县接连好几天下土雨。康熙三十一年正月，襄垣下土雨。康熙三十七年四月，龙门降下黄沙。康熙四十八年九月，丘县黄色尘土遮蔽天空。康熙六十年春季，安定下土雨。
乾隆四年三月，甘泉下土雨。乾隆十六年三月十五日夜里，忠州降下黄土，人和物件全都变成黄色。乾隆二十四年二月初七，蓟州降下黄土。三月，永年降下黄土。乾隆四十八年三月十四日，宁陕厅下土雨。乾隆五十年二月十五日，临清下土雨。乾隆五十一年正月，文登、荣城下土雨。乾隆五十九年二月二十六日，翼城下土雨。
嘉庆十四年冬天，泰州下土雨。嘉庆二十三年四月，唐山降下二寸左右厚的尘土。
道光四年春季，沾化下土雨。
咸丰三年二月，栖霞下土雨。三月，宜昌下土雨。咸丰六年三月二十三日，咸宁下土雨。
同治三年春季，麻城下土雨。
光绪四年二月二十九日，宜城降下黄沙。三月，蓬莱下土雨。
志二十 时宪一
明代的《大统历》，根源来自元代的《授时历》。成化年以后，推算日食、月食经常和实际天象不符。万历末年，徐光启、李之藻等人翻译西方书籍，创立新历法，推算日食月食、行星冲犯都十分贴合天象，但是没来得及推行使用。清世祖定都北京之后，才废弃明代旧历法，依照这套新历法推演，也就是沿用了二百六十多年的时宪历法。徐光启等人曾经反复争辩这套历法的长处，在明代被阻挠没能施行，反倒成为新王朝改订历法的凭借，这难道不是天意吗！清圣祖精通历算学问，确定使用均轮算法推算日月五星，以康熙甲子年作为历法起算基准。雍正年间，听从钦天监官员的请求，推演历法改用椭圆算法，以雍正癸卯年作为起算基准。道光年间，钦天监官员发现日食月食推算的分秒和实际观测有偏差，就依据实测的数据修改原有参数，以道光甲午年作为起算基准。从康熙到道光，推算历法的算法一共改动三次，不过道光甲午基准的历法只完成了恒星表。至于推算日月交食、推演五大行星，都没有编撰完成成书。
西洋人汤若望，就是和徐光启一同翻译新历法书籍的人，他列举四十二条论据，证明西方历法精密、中原传统历法粗疏，天文历法的从业者大多信服他。宣城人梅文鼎深入钻研天文算学，从《授时历》往上追溯《三统历》《四分历》以来各家历法，又广泛研究《九执历》《回回历》，再折中参考西洋新历法，全部理清各家的本源，辨析异同，最终凭借深厚学识得到圣祖赏识。研究历算的学者，才懂得中原、西洋的学问可以融会贯通，不会被新历法迷惑。
和汤若望同一时期来到中国的是穆尼阁，他把学问传授给淄川人薛凤祚；吴江人王锡阐自己创立一套算法，用来推算日食月食，误差不到一秒。薛、王两家的学术，都没有被钦天监官方采用，但是推算的精密程度，有时超过朝廷天文官员。现在编撰《时宪志》，详细把推演计算、日月五星、四余星、原理、算法参数记录在书中；各家论述对数理有帮助的，也摘录核心要点写进来。明代的《大统历》《回回历》，康熙初年还在使用，相关内容在《明史》已经详细记载，这里不再重复叙述。
推步因革（历法推演的沿革变迁）
顺治元年六月，汤若望上奏说：“我在明朝崇祯二年来到京城，曾经依照西洋新历法修订旧历。现在把新历法推算出的本年八月初一日日食，京城以及各个省份能看到日食的食限分秒，还有日食初亏、复圆的方位、图像整理好进呈，请陛下到时间派遣官员实地观测检验。”皇帝准许了他的请求。七月，汤若望又推算天象进呈朝廷。这个月礼部上奏：“钦天监改用新历法，推算编排的历书已经完成，请改换新的名字，颁布到全国。”睿亲王说：“应当命名为‘时宪’，用来体现朝廷效法上天、治理百姓的心意。”朝廷采纳这个提议。
八月初一午时，发生日食，食分为二分四十八秒。大学士冯铨，会同汤若望前往观象台观测后回奏：只有西洋新法的推算和实际天象分毫不差，《大统历》《回回历》推算的时刻全都出现偏差。皇帝下谕：“旧历法使用年代久远自然产生误差，并不是监内官员生员推算出错。既然新历法贴合天象，钦天监、五官监的人员应当用心学习，不可懈怠玩忽。”十月，朝廷颁布顺治二年的《时宪书》。
汤若望又上奏：“恭敬地授予百姓农时，关键在于节气太阳运行宫度，还有太阳升起落下的白昼时刻。如今各个节气的时刻分秒、太阳出没昼夜时辰，全部按照各地距离京城的远近来推算，请把这些内容刊印进《时宪书》。”朝廷准许。十一月，任命汤若望掌管钦天监事务。汤若望等人上奏：“我们依照新历法推算月食时刻分秒，重新确定每年进呈书籍的条目，删去重复内容，避免混淆。”
顺治二年六月，汤若望等人上奏：“旧历法推算这一年十二月己卯初一辰时，日食三分多；回回科推算能看见的日食一分不到。按照新历法推算，应当只有半分多日食，而且发生在日出之前，在地平线之下，地面看不见，请到期派遣官员观测核验。”朝廷批准。到了那一天，天空阴雨，观测核验这件事就此搁置。十一月，汤若望把明代大学士徐光启翻译的《崇祯历书》改名为《新法历书》进呈。皇帝下令交给钦天监官员生员学习，同时交付史馆存档，加封汤若望太常寺卿官衔。顺治十年，赐给汤若望“通玄教师”称号，嘉奖他的功绩。
汤若望的历法，以天聪戊辰年作为起算原点。把整个周天划分成三百六十度。太阳每日平均运行五十九分八秒十九微四十九纤三十六芒；太阳远地点每年移动四十五秒；戊辰年太阳平均位置距离冬至点五十三分三十五秒三十九微，太阳远地点距离冬至点五度五十九分五十九秒。月亮每日平均运行十三度十分三十五秒一微；月亮自身本轮运行十三度三分五十三秒五十六微；月亮升交点每日运行三分十秒；月孛（月亮近地点）每日运行六分四十一秒。戊辰年月亮平均位置距离冬至点六宫一度五十分五十四秒四十六微；月亮本轮位置距离冬至点六宫二十五度三十二分十五秒三十四微；月亮升交点距离冬至点一宫十四秒；月孛距离冬至点十一宫六度十九分。
土星各项运行参数：平均位置距离冬至点十一宫十八度五十一分五十一秒；该年土星远地点距离冬至点九宫八度五十七分五十九秒；平均位置到远地点的角度，也就是引数，为二宫九度五十三分五十二秒；土星升交点距离冬至点六宫七度九分八秒。平年土星平均每年运行十二度十三分三十一秒；远地点每年移动一分二十秒十二微。用远地点运行度数减去平均运行度数，得到十二度十二分十五秒，就是一年的引数。闰年土星平均每年运行十二度十五分三十五秒，引数为十二度十四分十五秒。土星升交点每年移动四十二秒。
木星各项运行参数：平均位置距离冬至点八宫二十八度八分三十一秒；木星本轮远地点位置十一宫二十七度十一分十五秒；平均位置到远地点即引数，九宫零度五十七分十六秒；木星升交点六宫二十四度四十一分五十二秒。平年木星距离冬至点平均运行一宫零二十分三十二秒；远地点每年移动五十七秒五十二微；两数相减得到一宫零十九分三十四秒，就是平年的引数。闰年木星距离冬至点平均运行一宫零二十五分三十一秒，引数一宫零二十四分三十三秒。木星升交点每年移动十四秒。
火星各项运行参数：平均位置距离冬至点五宫四度五十四分三十秒；火星本轮远地点在七宫二十九度三十分四十秒；平均位置到远地点即引数，九宫五度二十三分五十秒；火星升交点三宫十七度二分二十九秒。平年火星距离冬至点平均运行六宫十一度十七分十秒；远地点每年移动一分十四秒；两数相减得到六宫十一度十五分五十五秒。闰年火星距离冬至点平均运行六宫十一度四十八分三十六秒，引数六宫十一度四十七分二十一秒。火星升交点每年移动五十三秒。
金星各项运行参数：平均位置和太阳度数相同，初宫初度五十三分三十五秒三十九微；平均位置到远地点即引数六宫零五十六分五十五秒；金星伏、见的起点位置初宫九度十一分七秒；远地点在六宫零十六分六秒。平年金星距离冬至点十一宫二十九度四十五分四十秒三十八微；本轮引数十一宫二十九度四十四分十七秒；伏见运行七宫十五度一分五十秒；远地点每年移动一分二十一秒。闰年，距离冬至点度数、本轮运行度数增加五十九分八秒；伏见运行度数增加三度六分二十四秒，也就是一日的运行度数。金星升交点在远地点前方十六度，即五宫十四度十六分。它的移动速度极慢，所以没有确定速率，但是对远地点推算不会造成大偏差。
水星各项运行参数：平均位置和太阳度数相同；平均位置到远地点即引数二十九度二十分二秒；伏见运行起点三宫二十九度五十四分十六秒；远地点十一宫零五十二分四十二秒。平年水星距离冬至点度数同样和太阳一致；本轮引数十一宫二十九度四十三分五十一秒；伏见运行走完三整周之后再多出一宫二十三分五十七分二十六秒。闰年引数十二宫零四十二分五十九秒；伏见运行走完一周之后再多一宫二十七度三分五十二秒。水星升交点，有人认为和远地点度数一致，很难观测，所以不敢下定论。
汤若望概括新历法的要点，一共四十二条： 1.天地经纬：天有经纬度，大地同样也有。二百五十里对应天上的一度，经度纬度都是这个比例。 2.各星体有不同的天球：各个星体距离大地高低远近差距极大，驳斥旧历法认为所有星体共用同一个同心天球的错误。 3.圆心互不重合：太阳运行轨道的圆心和地心不是同一个，两个圆心之间的距离，从古到今并不固定。 4.蒙气差：地球有大气层，如果不预先计算蒙气差，推算结果就不能和天象严密吻合。 5.测算方法和古法不同：观测天体使用球面三角，计算依靠割圆八线表。 6.全部以黄道开展测算：用赤道仪器观测，得到的经度并不准确；新历法算出黄道经度，再通过黄赤换算表转换，才和实际天象贴合。 7.重新确定各个历元起点：从天聪二年戊辰冬至之后己卯日子时正刻作为计算开端。 8.求取真实节气：旧历法用平均节气，并不是太阳运行形成的真实节气，现在重新订正。 9.日月运行盈缩的真实界限：借鉴《授时历》的消分算法得到平岁，再叠加远地点、近地点的差值进行增减，得到定岁。 10.圭表测量二分：过去用圭表测量冬至，并不是最好的办法；改用春分、秋分观测，比二至更加精密。 11.太阳出入以及晨昏界限：以京城作为基准计算，各个地方再做增减调整。 12.昼夜时长并不均等：昼夜时长差距超过一刻，一是因为黄道上太阳夏季运行慢、冬季运行快；二是黄道、赤道张开距离不同，每一度对应的实际时长就有差别。 13.重新规定时刻：把一昼夜定为九十六刻。 14.置闰规则不一样：旧历法依靠平均节气设置闰月，并不正确；改用太阳实际运行经过黄道的度数确定节气。 15.月亮运行加减差：朔望的时候只用一套加减参数，其余日期需要两到三套，数值大小各不相同。 16.月亮轨道高低速度快慢：月亮运行到本轮远地点速度最慢，到近地点速度最快；五大行星也是同样道理。 17.朔日之后月亮显现的快慢：一是月亮自身运行速度快慢，二是黄道高低倾斜，三是白道位置在黄道南边还是北边。 18.交行加减差：月亮走到黄白交点附近，只用平均算法推算就会出错，所以设置交行均数做修正。 19.月亮黄纬距离：旧历法认为黄道白道固定相差五度，不知道除了朔望之外距离会有增减，最大夹角是五度又三分之一度。 20.判断交食是否发生：月食，比较月亮黄纬和月亮、地影两个半径；日食，则比较月亮黄纬和太阳、月亮两个半径。黄纬小于两半径之和就会发生食象，大于就不会。 21.日月食食限不一样：月食是月亮和地影球体相切，对比两者视半径与月亮黄纬，再通过黄白交点推算交食范围；日食必须加入视差，才能得到真实黄纬。 22.日月食分的异同：月食用的是地心视角下月亮中心和地影中心的真实距离；日食用的不是真实距离，而是地面观测者看到的视距离。 23.实食和中食：以地心垂直向上对应黄道的直线为准，太阳月亮五大行星正好落在这条线上，叫作实食；月亮、行星处在本轮圆周，本轮圆心落在这条线上，叫作中食。 24.视食：日食存在天体本身真实发生的食象，还有地面人眼看到的视食，视食由观测者所处地面位置决定。 25.黄道九十度是东西视差的分界：从天顶来看，高低视差是垂直向下；南北视差是斜向；只有黄道九十度这条分界线上东西视差垂直向下，其余位置都是斜向。从轨道几何看，南北视差是直角三角形的股，东西视差是勾，高低视差是弦。到九十度分界处，股和弦重合，勾等于零。 26.三种视差：以地球半径为一条边，日月到地球距离为一边，星体地平高度为一边构成三角形，算出高低视差；星体南北偏移得到南北视差；星体在黄道九十度分界左右偏移得到东西视差。 27.三种大气造成的偏差：东西、南北、高低视差来自地球半径；另外三种偏差不是来自地半径，而是来自大气：蒙气折射差、蒙气半径差、本轮半径差。 28.初亏复圆时间不对称：不能简单认为初亏复圆把食的时间对半平分；新历法按照视运动推演，就能明白两者时刻不等的缘由。 29.各地交食算法不同：各个地方依据地球半径修正交食时刻，还有日食食分。 30.日食特殊偏差：按照算法应当出现日食，但是当地观测不到；这是南北视差转化为东西视差造成的，千百年才会偶然发生一两次，但确实存在。 31.可以向前推演、向后验证：新历法的各类表格，往前追溯、往后推算，一目了然，不耗费功夫。 32.五大行星以太阳作为参照基准：旧历法行星合伏周期时长忽长忽短，只靠分段参数，难免产生误差，现在加以改正。 33.行星伏见推算贴合天象：旧历法判断行星伏藏、显现只看黄道距离，并不正确，现在予以订正。 34.五大行星的黄纬：月亮轨道斜交黄道，产生南北纬度，分阴阳历；五大行星也是同理，新历法全部详细推演，旧历法做不到。 35.金星水星的伏见：金星靠近太阳也不一定隐没不见；水星远离太阳也可能看不见，用浑仪实测就能分辨，旧历法做不到。 36.五大行星观测方法：观测五大行星，要拿恒星作为参照坐标。 37.恒星向东移动：恒星以黄极为极点，各个星宿的距星距离北天极时而近时而远，是黄极、赤极并不重合，不是星宿星体本身在移位。 38.恒星划分六等亮度，从前没有这种说法。 39.银河的解释：新历法用望远镜观测，银河是无数细小恒星聚集形成。 40.四余星删改订正：罗睺就是白道升交点，计都是白道降交点，月孛是月亮远地点。紫炁没有可以推算的数理，《明史》牵强附会，现在一并删除修改。 41.观测仪器：新历法新增的仪器，象限仪、百游仪、地平仪、弩仪、天环天球纪限仪、浑盖简平仪、黄赤全仪；新制造的望远镜，尤其观测星体的关键器具。 42.日晷器具：地平晷、三晷、百游晷、通光晷。此外还有星晷、月晷，用来夜里观测。
汤若望所说的内容，大抵拿新历法批评旧历法的疏漏，而新历法的核心要义，也全部包含在这里。
顺治十四年四月，原回回科秋官正吴明炫上奏：“我的祖先默河亦里等十八个家族，本是西域人，隋朝开皇己未年带着历算学问辗转翻译来到中原，被任命为天文官员。一千五十九年，专门掌管星宿运行、吉凶占候，每年推算月亮、五大行星的冲犯天象，各类天象预兆，日月交食，都以我回回科单独文书进呈，成为固定制度。顺治三年，钦天监掌印汤若望下令回回科，所有日月交食、月亮五星冲犯、天象占候都不必上奏进呈。我核查汤若望推算的日月五星运行，水星二月、八月按推算应当隐没看不见，可今年二月二十九日水星仍然在东方出现，八月二十四日傍晚也能看见。这件事关系天象占候，不敢不如实上报。请求恢复回回科，保存这一门失传学问。”这份奏章下发相关部门商议。
这个时候，新安的官学生杨光先到宫门递交《摘谬论》，指责汤若望新历法的错误；还说：“《时宪书》上面‘依西洋新法’五个字尤其不合礼制。”又递交《选择议》，指责汤若望挑选荣亲王下葬日期，使用《洪范》五行，方位、年月日时全都触犯凶忌。
康熙三年十二月，礼部商议上奏：“《时宪书》封面上‘依西洋新法’五个字，打算改成‘奏准’二字。”皇帝批准。康熙四年，议政王大臣上奏说：“传统一日一百刻，新历法改成九十六刻；二十八星宿的顺序，汤若望把觜宿、参宿的前后颠倒；又删掉四余星中的紫炁，全都不合旧制。挑选葬期不用正统五行，采用《洪范》五行，导致方位时日触犯凶煞，事情性质重大。汤若望和钦天监各科官员，分别拟定凌迟、斩首的刑罚。”皇帝下旨，汤若望宽大免死；时宪科李祖白等五个人全部处斩。于是重新启用《大统历》旧算法，任命杨光先掌管钦天监事务。杨光先屡次上书推辞，皇帝不允许。杨光先本身并不精通历法推演。康熙七年，杨光先声称下一年应当闰十二月，不久发现自己推算出错，主动检举，但是《时宪书》已经颁发天下，朝廷只好下谕全国取消这个闰月。
同年，钦天监监副吴明烜上奏：“古法推算有很多错漏，五官正以及回回科进呈的推算结果各不相同，应当立刻校正。”下发礼部讨论。礼部回奏：“五官正戈继文等人推算日月五星，金星水星误差极大；主簿陈聿新推算七政没有经过实测，同样有错；监副吴明烜推算的结果和天象比较接近，应当颁行使用。依旧命令钦天监官员连同四科官员，白天测量日影确定节气，夜里观测月亮五星确定运行度数。”皇帝批准。
十一月，西洋人南怀仁上奏，说已经颁行的历法和天象不符。于是召南怀仁、利类思、安文思，还有钦天监马祐、杨光先、吴明烜等人到东华门。大学士李霨传达皇帝旨意：“制定历法是国家重大政务，你们不要抱着旧仇，只认定自己是对的、别人是错的。正确的就遵从采用，错误的就要修改，务必做到尽善尽美。”十二月，南怀仁上书逐条驳斥吴明烜编制的《康熙八年七政时宪书》。交给王公大臣、九卿、科道官员集体商议。议政王大臣上奏：“请求派遣大臣，会同南怀仁等人前往观象台实地测验。”于是派遣图海、李霨等二十人到观象台测验。
康熙八年二月，议政王大臣回奏核查结果：“图海等人到观象台测验，南怀仁推算的结果全部和天象吻合，吴明烜推算全部出错。询问钦天监监正马祐等人，也都说南怀仁推算确实贴合天象。我们认为，一日一百刻沿用已经很久，但是南怀仁九十六刻算法符合天象，应当颁布施行。另外南怀仁说，罗睺、计都、月孛是推算历法要用到的参数，所以附在日月五星之后；紫炁没有实际推算用途，不应当写进历书。从康熙九年开始，采用九十六刻的历法。”此时吴明烜辩解：“我只懂天文现象，不懂历法推算。”杨光先说：“我不懂计算历法，只懂历法义理。”杨光先言辞十分无礼，被革除官职。
三月，任命南怀仁担任钦天监监副。早先钦天监官员按照旧法推算，康熙八年十二月应当设置闰月。南怀仁说，雨水是正月的中气，这个月二十九日就是雨水，那一天已经属于康熙九年正月，不应该在这里置闰，闰月应当安排在第二年二月。钦天监多数官员认同南怀仁，朝廷听从他的意见，改闰到康熙九年二月。至此《大统历》《回回历》两套算法全部废弃，专门使用西洋历法，就像顺治初年那样。八月，南怀仁弹劾杨光先诬告汤若望谋反。议政王大臣商议，汤若望应当恢复“通微教师”名号，按照原来官阶给予抚恤；杨光先应当按诬告治罪。皇帝下旨，免于追究杨光先罪责。
康熙十三年二月，新编撰的《灵台仪象志》成书，加封南怀仁太常寺卿官衔。康熙十四年二月，下谕钦天监监副安泰，跟随何君锡学习传统古历法。康熙十五年二月，钦天监上奏五月初一日食。监副安泰依照旧法推算，日食五分六十秒；南怀仁新历法推算，日食只有二十微三分之一秒。到日食当天，登上观象台观测，酉正时刻食甚，食分将近一分，戌初刻复圆。旧历法推算的食分误差极大，新历法推算也并不完全贴合。南怀仁解释：“这是蒙气造成的效果，大气层会把小的星体影像放大。”
康熙十七年七月，钦天监进呈《康熙永年表》三十二卷。康熙二十二年十月，钦天监官员编撰完成盛京的九十度表。当初南怀仁上奏：“各个省份北极高度不一样，日食月食发生时刻、食分都有差别，全部依靠各地的九十度表推算。过去不知道盛京的北极高度，直接套用京城的九十度表。现在测出盛京北极高度比京城高二度，请按照当地高度推算专属的九十度表。”朝廷准许。到这时，把盛京九十度表进呈，皇帝下谕，永久遵照使用。
康熙四十一年十月，大学士李光地把宣城贡生梅文鼎写的《历学疑问》三卷进呈。皇帝说：“我留心天文算学很多年，这件事我能够分辨对错。”亲自批阅点评之后，把书还给李光地，相关详情记录在《梅文鼎传》当中。梅文鼎论述中西两套历法的异同：“如今使用西洋新历，是吸收它的长处，弥补传统历法的不足，不是完全抛弃古法全盘依从西洋。西洋历法和中原历法相通之处不止一处。西洋所说五星远地点加减，就是中原历法的盈缩历；对应月亮就是迟疾历。西洋讲五星的本轮岁轮，就是中原历法的段目。西洋讲恒星向东移动，就是中原历法的岁差。西洋依靠太阳经过黄道宫度定节气，就是中原的定气。西洋各个地方真实节气有差别，就是中原历法的里差。只不过中原历法只记录盈缩迟疾这些现象，西洋用远地点近地点解释背后原理；中原记录段目，西洋用岁轮解释原理；中原记录岁差现象，西洋用恒星东移解释缘由。中原历法记载的是运行的结果，西洋历法讲清楚背后的道理，这是它可取的地方。至于定气、里差，中原本来就有这套方法，只是没有写进官方历书，并不是古代没有，到现在才出现。西洋新增的内容，是五大行星的黄纬。中原历法只有日月计算纬度，五大行星没有相关推演。现在西洋算法，五大行星有升交点、纬度运行，和日月一样完备详细，这正是中原历法重大的缺陷，靠西洋算法补足。对于和中原历法相同的部分，西洋讲清内在原理；对于中原缺失的部分，西洋补上漏洞。于是我们一代代观测积累得到的结论，有西洋理论佐证而更加可信；西洋那些看似难以理解的说法，也被我们历代观测记录证明真实。就算古代圣人复生，也会对两家学问兼容吸收。”
康熙五十年十月，皇帝对大学士等人说：“天文历法我一向留心，西洋历法大体框架没有错误，但是刻度分秒，时间久了一定会产生偏差。今年夏至，钦天监上奏是午正三刻；我亲自测量日影，实际是午初三刻九分。现在这点差错看起来微不足道，只怕几十年之后，偏差会越来越大。就像钱粮账目，一丝一厘看着不多，累计起来数额就很大。这件事有实际观测作为证据，不能像书生空谈，拿虚话搪塞责任。”又下谕礼部，选拔擅长算学的人员，皇帝亲自出题考试，录取顾琮等四十二人。
康熙五十一年五月，皇帝去往避暑山庄，征召梅文鼎的孙子梅瑴成到行宫。在此之前，已经下旨苏州府教授陈厚耀、钦天监五官正何君锡的儿子何国柱、何国宗，官学生明安图，原钦天监监副成德，跟随在皇帝身边待命。皇帝亲自讲授提问，允许他们像师徒一样问难探讨。等到梅瑴成抵达，回答皇帝提问合乎旨意，就和陈厚耀等人一同在内廷值班。
康熙五十二年五月，下令编撰律吕、算学相关书籍。任命诚亲王允祉、皇十五子允烜、皇十六子允禄主持修书；何国宗、梅瑴成担任汇编；陈厚耀、魏廷珍、王兰生、方苞等人担任校对。编撰完成的书稿每天进呈，皇帝亲自修改订正。
康熙五十三年四月，下谕诚亲王允祉等人：“古代历法整体格局很好，只是用到的数值年代久远和天象不合。现在修书，应当沿用古历法的框架，使用当今实测的数据进行计算。”十月，再次下谕：“北极高度、黄赤交角最为关键，安排人员在澹宁居后面每天进行测量。”于是铸造象限仪，仪器直径五尺，用铜铸造；白天测量太阳位置，夜里观测勾陈帝星。另外制作中表、正表、倒表各两座，每座高四尺；中表用来测太阳中心，正表、倒表测量太阳上下边缘的日影。只是六座圭表测出的日影尾数参差不齐，不能统一。
梅瑴成说：“圭表越高，日影就越淡，尾数很难测准，自古以来就是难题。从前郭守敬造铜圭表，两端铸造双龙，把横梁抬高四十尺；因为影子虚淡，创制景符来获取清晰实像。景符用二寸宽的铜片，长度比宽度多出一倍，中间扎一个细小孔；底座是方木，一头装转轴，可以开合倾斜。挪动铜片，让小孔向北抬高、向南压低，在淡淡的虚影当中来回调整。阳光穿过小孔，投影只有黍米大小，横梁的影像会清晰出现在光斑当中。”于是仿照《元史》记载郭守敬的方法，制造六套景符，按照这套办法使用，日影的尾数才做到丝毫不差。测量得到畅春园北极高度三十九度五十九分三十秒，比京城观象台高出四分三十秒；黄赤大距二十三度二十九分，比旧的测量数值减少二分。
十一月，诚亲王允祉等人上奏：“郭守敬编《授时历》，派遣二十七路官员分赴各地测量，所以推算才能贴合天象。现在除畅春园、观象台每日观测之外，福建、广东、云南、四川、陕西、河南、江南、浙江八个省份，经纬度差距表现最明显。请求派人到各地逐日测量，拿到真实数据，这样东西南北的里差、太阳地球半径，都能有实测依据。”朝廷准许。
康熙五十八年二月，推算历法人手不够，命令礼部在蒙养斋组织考试，录取傅明安等二十八人，安排在修书机构任职。康熙六十年，御制算学书籍完成，赐名叫《数理精蕴》。皇帝下谕，赐一套给梅文鼎，命他仔细校对；派遣梅文鼎的孙子梅瑴成把书送过去。
康熙六十一年六月，历法书稿完成，连同律吕、算学，整套叫《律历渊源》，一共一百卷：第一部分《历象考成》上下编；第二部分《律吕精义》上下编加上续编；第三部分《数理精蕴》上下编。雍正元年，把《历象考成》颁发给钦天监，这就是康熙甲子元法。从雍正四年开始，编撰《时宪书》全部遵照《历象考成》的算法。又议定，这部御制书籍不需要钦天监打理管理；在钦天监任职的西洋人，任命为监正。
雍正八年六月，钦天监监正明安图上奏：“日月运行度数，时间久了会和算法出现偏差，历法需要随时修订，才能贴合天象。我们遵照御制《历象考成》推算时宪历，监正西洋人戴进贤、监副徐懋德观测发现有微小误差。这个月初一发生日食，我们集体实地测验，实测结果和推算食分不相吻合。请求下令戴进贤、徐懋德详细校对修订。”皇帝批准。雍正十年四月，编撰完成日躔表、月离表。
乾隆二年四月，协办吏部尚书顾琮上奏：“世宗皇帝听从钦天监官员建议，编撰日躔、月离两套表格，用来推算日月会合、过宫运行、晦朔弦望、昼夜长短，还有星体冲犯，一共三十九页，附在《历象考成》原有表格后面。制作这套表格的是监正西洋人戴进贤；能熟练使用这套表格的，是监副西洋人徐懋德和五官正明安图。提议任命戴进贤为总裁，徐懋德、明安图为副总裁，仔细校验，补充图解说明。《历象考成》当中如果有需要调整修改的地方，也让他们仔细订正。”皇帝下旨，由顾琮专门总管这件事。五月，顾琮再次上奏：“请求任命梅瑴成为总裁，何国宗协同担任总裁。”朝廷准许。十一月，任命庄亲王允禄总理这项修书工程。
乾隆三年四月，庄亲王允禄等人上奏：“《历象考成》这本书，只有黄赤大距减去二分，其余内容还是沿用西洋人第谷的旧算法。康熙年间，西洋学者卡西尼、弗兰斯特等人，补充第谷没有阐发的理论，核心三点：第一，太阳的地半径差，旧算法定为三分，现在实测只有十秒；第二，蒙气差，旧算法认为地平线蒙气差三十四分，地平高度四十五度的时候只剩五秒；现在实测地平线蒙气差三十二分，地平四十五度的时候，蒙气差还有五十九秒；第三，日月五星运行轨道不是正圆形，而是椭圆形，长轴两端距离远，短轴两侧距离近。因为这三点，经纬度推算都会出现细微偏差。戴进贤等人了解这套学说，但是没有经过充分验证，不敢直接拿来使用。
雍正八年六月初一日食，旧法推算食分九分二十二秒，这套新法推算八分十秒，和实际观测对比，新法更加接近天象。所以上奏批准重新编撰日躔、月离新表，附在《历象考成》之后。我们奉命增补表格、图解。用新的日躔表推算，春分比旧算法晚大约十三刻，秋分比旧算法早大约九刻，冬至夏至都晚两刻左右。但是实地测量正午太阳高度，只有冬至比旧算法高出二分多，夏至、秋分只差二三十秒。因为地面做观测，推算却以地心为准；新改的地半径差、蒙气差参数和从前不一样，所以推算时刻会差好几刻，实地测量却差距不大。这套算法把天体轨道定为椭圆，虽然计算更加繁琐，但是修改旧有参数贴合天象，构思精巧。我们阐明数理，写成《日躔》九篇连同表格数据，请陛下裁定，附在《历象考成》之后，书名定为《御制历象考成后编》。前面原书已经讲明白的内容，就不再重复叙述。”这份奏疏上报，皇帝予以认可。乾隆七年，庄亲王允禄等人进呈日躔、月离、交宫一共十卷，就是雍正癸卯元法。
乾隆九年十月，钦天监监正戴进贤等人上奏：“《灵台仪象志》原本记载恒星大约七十年移动一度，到现在时间已经很久，应当重新修订。康熙十三年编撰这本书的时候，测量得到的黄赤大距，和如今实测不一样，书中所有表格，应当逐一修改订正。三垣二十八宿以及记录的各个恒星，古今记录多少数目有出入，也需要整理校订。”皇帝下令庄亲王、鄂尔泰、张照商议回奏。十一月，议定依旧由这几个人兼管。同年重新定名罗睺、计都，又把紫炁加回来，恢复四余星。
乾隆十七年，庄亲王允禄等人上奏，《灵台仪象志》记录的恒星，排序混乱，现在按次序订正，成书三十卷，赐书名《仪象考成》。当月庄亲王允禄又上奏，订正恒星经纬度表，重新调整二十八宿值日，把觜宿放在参宿前面。皇帝下令大学士会同九卿集体商议。十二月，大学士傅恒等人上奏：“请求从乾隆十九年开始，《时宪书》二十八宿值日，改为觜宿在前，参宿在后。”朝廷准许。之后钦天监又因为推算土星运行有偏差，把土星平行数值减去三十分。从乾隆之后到道光初年，推算交食的分秒，渐渐和实际天象出现偏离。
道光十八年八月，管理钦天监事务工部尚书敬徵上奏：“从道光四年我接管钦天监事务，查看观象台仪器。康熙十三年铸造仪器，测得黄赤大距二十三度三十二分。乾隆九年新造玑衡抚辰仪，实测黄赤大距二十三度二十九分。也就是说早年铸造的仪器已经和天象不匹配；距离现在又将近百年，就连玑衡抚辰仪本身，也已经出现偏差。我把玑衡抚辰仪更换轴心，其余仪器也重新调准安放。另外造一座小型象限仪，安排官学生白天观测太阳运行，夜里观测月亮、恒星。每到节气、日月交食，把实测的数据和推算结果对比，凡是两者不符的，仔细考究原因。发现是太阳纬度推算数值有偏差，实测得黄赤大距比从前略小，数值只有二十三度二十七分。通过交节时刻的早晚，可以考订出太阳运行度数有快慢不均的差别。太阳运行度数是推算历法的根本，日月五星都以它为基准。而推算太阳运行，又依据岁实、气应、两心差、本天最卑行度这些数据。拟定以道光十四年甲午作为历算的年根，依据实际观测的数据，对原有数值略微增减调整；推算出来太阳运行、交节时刻，和实际观测结果比较接近。
至于月球运行度数，以日月交食作为检验最重要的标准。近年观测过的月食，比原先推算时刻偏早的居多，偏迟的很少。所以在月球的平行、自行、交行各项数据当中酌情加以增减。按照现在拟定的平行数据，仍然沿用各类均数的旧有数值，推出道光十四年之后的三次月食。除道光十七年三月只观测到月食初亏、九月因阴天没能观测，仅实测到道光十六年九月十五的月食，和新数据推算结果相接近；但仅仅只有一次月食的记录，还不足以作为定论，仍需要随时观测检验。
恰逢本年八月十五将发生月食，臣等谨用新拟定的数据，推算出月食发生时刻、食分、方位；对比旧有推算结果，记录下提前的分秒差数，另外誊写清单进呈朝廷。到月食发生之时，臣等将逐时实地测验，再依据实际情况上奏报告。”朝廷批复：知道了。
道光二十二年六月，敬徵等人又上奏说：“每逢日月交食，用新拟定的数据推算，都和实际观测结果相接近。到本年六月初一日食，用新法推算和实际观测相比，仅仅相差数秒。由此可知这套新拟定的数据，用来推算太阳运行已经没有疑问；推算月球运行也和天象大致吻合。现在计划先测定恒星位置，来契合天体运行法度；接着考订日躔、月离，务必和实际天象相合。请求把道光十四年甲午作为历元，采用新测得的太阳运行、黄赤大距数据，修订恒星、黄赤道经纬度表；就在测算工作的同时，详细考订五星、月球运行，使恒星、五星、日月交食相关的各类书籍，能够依次编纂完成。”皇帝批准了这一请求。
同年七月，任命敬徵担任修历总裁，钦天监监正周馀庆、左监副高煜担任副总裁。
道光二十五年七月，进呈《黄道经纬度表》《赤道经纬度表》各十三卷，《月五星相距表》一卷，《天汉界度表》四卷，《经星汇考》《星首步天歌》《恒星总纪》各一卷，汇编为《仪象考成续编》。至于日月交食、五星运行度分的部分，都还缺漏，没有编纂完备。
当时冬官正司廷栋撰写《凌犯视差新法》，使用弧三角进行运算，凭借限距地高以及恒星距离黄极的度数来求解黄经高弧三角，比旧的算法更加简便快捷。乾隆朝以后，钦天监的历官当中，能够对旧历法加以增删修改的，只有司廷栋一个人。
不是专职历官却通晓历法的，继梅文鼎、薛凤祚、王锡阐之后，江永、戴震、钱大昕、李善兰尤其有名。他们阐发辨析中国、西方的历法原理，见解实际上远远超过徐光启、李之藻等人。
志二十一 时宪二·推步算术
推步新法所用到的数学模型，分为平三角形、弧三角形、椭圆形。现在摘录它的核心要义，考证算法创立的本源，验证所用数值的实际功用，汇总为十六项算法，记述在本篇之中。
平三角形
平三角形，由三条直线相交构成。线段称作边，两条边夹着的空隙称作角。有直角，相当于整圆周的四分之一，就像甲乙丙图形当中的甲角；有锐角，角度不足四分之一，就像乙角、丙角；有钝角，角度大于四分之一，就像丁戊己图形当中的戊角。
角无论度数大小，都有与之对应的八线：正弦、正矢、正割、正切；还有本角度数和九十度相减得到的余度对应的四线（余弦、余矢、余割、余切）。比如甲乙为本度，那么丙乙就是余度；乙戊是正弦，甲戊是正矢，庚丁是正割，庚甲是正切；乙己是余弦，丙己是余矢，辛丁是余割，辛丙是余切。
又如壬癸为本度，丑癸就是余度；癸辰是正弦，壬辰是正矢，癸卯是余弦，丑卯是余矢，子寅是余割，丑寅是余切。如果壬癸大于九十度，就没有正割、正切，借用癸午到子未作为正割，午未作为正切。如果正好九十度，丑壬为本度，就没有余度；丑子半径当作正弦，壬子半径当作正矢，同时没有正割、正切，也没有余弦、余矢、余割、余切。
古代规定完整圆周为三百六十度；四分之一称为一象限，等于九十度。每度分为六十分，每分六十秒，每秒六十微。圆的半径起初定为十万，后来改成一千万。把每一度、每一分对应的八线全部计算出来，列成表格。推算三角的时候，如果角度在九十度以内，需要某度对应的某一线，直接查表取用，就得到该线数值；想要知道某一线对应的角度，就查表对照。
角度超过九十度，要取用正弦、正割、正切以及四项余线时，把该角度和半周（一百八十度）相减得到余数，拿余数查表；要取用正矢，用余弦加上半径得到。已经得到某一线的数值，想求得角度，查表对照得到度数，再用半周减去这个度数，才是原角。
计算平三角形一共有五项算法：
第一项：对边求对角 把已知的一条边作为第一比率项，这条边所对角的正弦作为第二比率项，另外一条已知边作为第三比率项；用第二、第三两项相乘，除以第一比率项，求得第四比率项，就是待求未知角的正弦。
原理是把两次比例运算合并简化成一次。如图，甲乙是已知边，丁角是已知的对角，乙丁是另一条已知边，甲角是待求的未知对角。 原本分步计算：把半径作为一率，丁角正弦作为二率，乙丁作为三率，算出垂线乙丙。得到乙丙之后，再把甲乙作为一率，乙丙作为二率，半径作为三率，算出甲角正弦。 合并演算的时候，中间乙丙、半径会出现乘除互相抵消，因此可以直接简化算法，就是上面的公式。
第二项：对角求对边 把已知角的正弦作为第一比率项，该角的对边作为第二比率项，另外一个已知角的正弦作为第三比率项，算出第四比率项，就是待求未知角的对边。原理和“对边求对角”互为逆运算，反向推导就可以明白。
第三项：两边夹一角，求剩下两个未知角 把已知夹角的两条边相加作为第一比率项，两条边相减的差值作为第二比率项；把已知角和半周相减得到外角，取外角一半的正切作为第三比率项；算出第四比率项，就是半较角的正切。查表得到角度。 把这个角度加上半外角，得到对着两条已知边当中较长那条边的角；用半外角减去这个角度，得到对着较短那条边的角。
原理有两点：第一，平面三角形三个内角相加总和等于半周（一百八十度）；已知其中一个角，那么剩下两个角的总和就可以确定。第二，利用相似三角形的比例关系。作图辅助推演，可以验证加减规则。
第四项：两角夹一边，求剩下的那一个角 把两个已知角相加，用半周减去二者之和，得到的余数就是第三个角。原理可以参考上一条“两边夹一角”。
第五项：三边求角 把最长的边作为底边；中等长度、短的两条边，分别算两者之和、两者之差，两数相乘，除以大边。得到的结果和大边相加再折半，叫作分底大边；拿大边减去这个结果再折半，叫作分底小边。
然后，拿中等长度的边作为一率，分底大边作为二率，半径作为三率，求得四率，就是短边所对角的余弦。或者拿短边作为一率，分底小边作为二率，半径作为三率，求得四率，就是中边所对角的余弦。
原理来自勾股平方运算，以及两个平方数相减的公式。把大底边用垂线分割为两段，利用两个直角三角形共用同一条垂线，弦长平方之差等于勾长平方之差；再利用“两数平方之差等于两数之和乘以两数之差”，推导出分割后的底边长度；之后再换算得到角度的余弦。
以上五项算法，有四种情形不用计算，有一种情形不能唯一确定解：
- 对边求对角，如果已知两条边相等，那么对应的两个角必然相等；
- 对角求对边，如果已知两个角相等，则对应的两条边必然相等；
- 两边夹一角，如果已知两条边相等，则求得两个角正好等于半外角的一半；
- 三边求角，如果两条边相等，可以直接平分底边；三边全部相等，三个角都是六十度； 以上四种都不用演算。
而“对边求对角”有一种无解定情形：已知一条边较短，对应一个锐角；另外一条已知边更长，求解它所对的角，这时无法判断这个角究竟是锐角还是钝角，这种情况不能得到唯一确定结果。其余各类边角问题，可以互相参照上面的算法求解。
弧三角形
弧三角形，由三段大圆弧相交而成；它的边长也用度数计量。九十度称作足，小于九十度叫小，大于九十度叫大。角分锐角、钝角、直角，和平三角形相同。共有七项算法：
第一项：对边求对角 把已知边的正弦作为一率，这条边对角的正弦作为二率，另一条已知边的正弦作为三率，算出四率，就是待求对角的正弦。原理是两次比例运算合并简化。作垂弧分步推导，中间数值乘除抵消之后得到简化公式。
第二项：对角求对边 把已知角的正弦作为一率，该角对边的正弦作为二率，另外一个已知角的正弦作为三率，算出四率，就是待求对边的正弦。反向推导即可明白原理。
第三项：两边夹一角（锐角或者钝角），求未知的那一条边 拿半径作为一率，已知角的余弦作为二率，任选一条已知边的正切作为三率，算出四率，得到一个正切值；查表得到对应度数。用这个度数减去另外一条已知边，得到分边。
再把刚才所得度数的余弦作为一率，第一条已知边的余弦作为二率，分边的余弦作为三率，算出四率，就是未知边的余弦。 如果原来夹角是钝角：分边数值大，则所求边长就小；分边数值小，则所求边长就大。 如果原来夹角是锐角：分边小则所求边小，分边大则所求边大。
这是把三次比例简化成两次。作图作垂弧拆分弧三角形分步演算，中间乘除项抵消，得到简化算法。倘若已知夹角恰好是直角，直接把两条已知边的余弦相乘，除以半径，就得到未知边的余弦。两条已知边都大于九十度，或者都小于九十度，则结果边短小；两条边一条大于、一条小于九十度，则结果边长大。
第四项：两角夹一边，求未知的角 采用互换边角的次形法：把角当作边，把边当作角，反过来求解；算出度数之后，再把结果转换回来；求解、转换的时候都要用半周减去所得数值。
第五项：已知两条边对应两个已知角（锐角或钝角），求剩余的边、角 以半径为一率，任选一个已知角的余弦为二率，另一个已知角的对边正切作为三率，算出四率得到正切，查表得到度数。再拿另一组已知角、已知边重复运算，得到第二个度数。
如果原来两个已知角同为锐角或者同为钝角，就把两次得到的度数相加；如果一锐一钝，就把两个度数相减；相加或相减的结果就是未知的边长。之后再使用第一条“对边求对角”算法，算出未知的角。
判断待求角是锐是钝：如果第二个已知角是钝角，对第一条已知角的那条边大于算出来的度数，则待求角为钝角；小于该度数，则为锐角。如果第二个已知角是锐角，对第一条已知角的那条边小于算出来的度数，待求角是钝角；大于算出来的度数，则是锐角。
原理在于辅助垂弧落在弧三角形内部还是外部，角区分锐角钝角，边区分大小，位置俯仰内外随之对应。两个角同为锐角，垂弧落在图形之内，底边两段度数相加；一锐一钝，垂弧落在图形外面，两段度数相减。如果其中有直角，可以直接得到边长。
第六项：三边求角 把待求角相邻两条边的正弦相乘作为一率，半径的平方作为二率；两条已知边相减得到较弧，取较弧的正矢，减去对边的正矢得到差值，作为三率；算出四率，就是待求角的正矢。原理是两次比例化简为一次，分步演算中间项抵消。
第七项：已知三个角（锐、钝），求边长 使用次形变换：把角当成边，反过来求次形的角；得到度数之后，再转换为本形的边长；求解和转换都用半周减去结果。 原理来自弧三角次形：原图形的角对应次形图形的边，次形图形的角对应原图形的边。如果三角之中有一个直角，除去直角之外，拿一个角的正弦作一率，另一个角的余弦作二率，半径作三率，算出四率，就是第二个角对应边的余弦。
以上七种算法，部分边角问题会出现锐角、钝角无法唯一判定的情形；但是历法推步实际演算当中不会遇到这类题目，就不全部罗列。七类问题没有直接求出来的边角，都可以互相参照求解。
椭圆形
椭圆形，是横向两端直径长、竖向两腰直径短的圆面；必须符合几何标准，才可以用来推算。 绘制椭圆的方法：取两个点分别作为焦点，再取第三个点作为边界；用两枚钉子钉住两个焦点，套上丝线，用笔抵紧丝线边界旋转描画，就画出椭圆。
寅丑、寅巳是大半径，寅午、寅未是小半径；寅甲是两心差，己甲是两倍两心差。椭圆上任意一点到两个焦点距离相加，总和恒定，等于长轴（丑巳）。 甲午等于大半径当作弦，两心差当作勾，小半径当作股；知道其中两项，用勾股算法就可以求出剩下一项。
求椭圆面积：以正方形率四亿作为第一比率项，圆形面积率3.14159265作为第二比率项；长短两径相乘得到长方形面积作为第三比率项，算出第四比率项，就是椭圆面积。
求中率半径：大半径、小半径二者相乘，再开平方就得到。 从一个焦点引出直线，从长轴端点向右旋转，旋转到戌点；焦点 长轴端点和焦点 戌点之间，既有割出来的椭圆面积，又对应一个旋转角度。角度和面积互相推算，共有四项算法：
第一项：以角求积（已知角度求对应椭圆弓形面积） 半径为一率，已知角度的正弦为二率，两倍两心差为三率，算出四率，得到倍两心差对应的垂线。 再以半径为一率，已知角度的余弦为二率，两倍两心差为三率，算出四率，得到界度积线。 用垂线数值平方作勾；界度积线加上大长径，作为股弦之和，以此算出股弦之差。 股弦之和、股弦之差相加折半得到一条弦；拿大长径减去这条弦，得到焦点到动点的距离。
再以半径为一率，已知角正弦为二率，焦点动点距离为三率，算出四率；再用小半径、大半径比例换算，得到对应正弦值；查表换算成角度。 把一百八十度全部化成秒数作一率，圆周率3.1415926作二率，刚才得到角度化成秒数作三率，算出比例弧长。 再换算得到大圆弧长；大圆弧长和大半径相乘折半，得到圆的扇形面积。 再用大、小半径比例换算，得到椭圆扇形面积。 拿椭圆扇形面积，减去“两心差乘以垂线再折半”，得到焦点、长轴端点、动点之间被割取的椭圆面积。这套算法依托平三角、弧三角，计算十分精密。
第二项：以积求角（已知椭圆面积求对应的角度） 拿大半径减去两心差，结果平方作为一率；中率半径平方作为二率；待求的椭圆面积作为三率，算出四率得到等效圆形面积。 把椭圆整体面积均分三百六十份，得到每一度对应的面积；拿等效圆形面积除以一度面积，得到近似角度。 注意这个算法是近似，当动点距离焦点很远，误差变大，这时仍要回到前面“以角求积”先求距离，再迭代修正。
第三项：借积求积 把已知椭圆面积，除以椭圆一度对应的面积，换算成“积度”。把这个积度暂且当作一个角度，代入椭圆中心做初步运算；反复用比例算出垂线、线段长度，查表得到正弦、角度。 先用这个假设角度做“以角求积”，算出对应的面积；和原始已知面积求差值，再用“以积求角”换算出差值对应的角度；两个角度相加，得到真实角度。
第四项：借角求角 把已知椭圆面积换算成积度，暂且当作椭圆中心处的角度。利用大小半径比例变换正切，查表得到辅助角度。 在椭圆的一个焦点处构建三角形，用切线分外角算法算出角度；多次叠加修正，得到焦点视角的真实角度。本算法也是近似，因为积度和真实角度存在微小偏差。
以上四项算法里面，凡是单独提到“半径”，全部指八线表里一千万这个基数。
川公网安备51132102000345号