宋书（白话文）

推朔日算法

用通数乘积分，得到朔积分；除以日法，得到积日，除不尽为小余。积日除以六十，余数为大余，从纪首干支起算，不算大余本身，就是所求年正月朔日。

求下一个月朔日：大余加二十九，小余加三百九十九；小余满日法，进一到大余，就是次月朔。小余在三百五十三以上，这个月是大月。

推弦望算法

在朔的大余上加七，小余加二百八十七，小分加三；小分满四，并入小余；小余满日法，并入大余，按前面规则起算，就是上弦日。继续累加，得到望日；再加，得到下弦日。

推二十四气算法

取入纪年数（不算本年），乘以余数，除以度法三百零四，得到积没，除不尽是小余。积没除以六十，余数为大余，从纪首起算，不算大余本身，就是所求年雨水日。求下一个节气：大余加十五，小余加六十六，小分加十一；小分满气法并入小余，小余满度法并入大余，就是次一气。雨水落在十六日以后的，按规则回减，得到立春。

推闰月算法

用章岁减去闰余，得数乘岁中，除以章闰，得到闰月次序，从正月数起，就是闰月位置。闰月有进退，以没有中气的月份定为闰月。

立春（正月节）：限数一百九十四，间数一百九十雨水（正月中）：限数一百八十六，间数一百八十二惊蛰（二月节）：限数一百七十七，间数一百七十二春分（二月中）：限数一百六十七，间数一百六十二清明（三月节）：限数一百五十八，间数一百五十四谷雨（三月中）：限数一百四十九，间数一百四十五立夏（四月节）：限数一百四十二，间数一百三十九小满（四月中）：限数一百三十六，间数一百三十四芒种（五月节）：限数一百三十三，间数一百三十二夏至（五月中）：限数一百三十一，间数一百三十二小暑（六月节）：限数一百三十三，间数一百三十四大暑（六月中）：限数一百三十六，间数一百三十九立秋（七月节）：限数一百四十二，间数一百四十五处暑（七月中）：限数一百四十九，间数一百五十三白露（八月节）：限数一百五十七，间数一百六十二秋分（八月中）：限数一百六十七，间数一百七十二寒露（九月节）：限数一百七十七，间数一百八十二霜降（九月中）：限数一百八十六，间数一百九十立冬（十月节）：限数一百九十四，间数一百九十七小雪（十月中）：限数二百，间数二百零三大雪（十一月节）：限数二百零五，间数二百零六冬至（十一月中）：限数二百零七，间数二百零六小寒（十二月节）：限数二百零五，间数二百零三大寒（十二月中）：限数二百，间数一百九十七

推没灭算法

承接雨水积没，用没余相乘，除以没法，得到大余，除不尽是小余，按前面规则推算，就是雨水之前的没日。求下一个没日：大余加六十九，小余加一百九十六，满没法进到大余，起算方式同上，就是雨水之后的没日。雨水前的没日大多在上一年，一年通常有五没，官府用没日来校正时日；一年一般五没或者六没。小余恰好除尽，就是灭日。雨水小余三十九以内，雨水六十天之后才会出现没日。

推土用事算法

取立春的大小余、小分，大余减十八，小余减七十九，小分减十八，从纪首起算，不算得数本身，就是立春之前土用事的日子。大余不够减，就加六十；小余不够减，先把大余减一，再加度法之后再减。立夏、立冬求土用事，都用这个办法。

推太阳所在星度算法

用度法乘朔积度，除不尽为分。度数从室宿二度起算，依次遍历各宿，不算起算度，就是正月朔夜半太阳所在度数和分。求次日，太阳每日加一度，经过室宿的时候，减去室分。

推月亮所在星度算法

用月周乘朔积日，减去周天，余数除以度法得到积度，除不尽为分，起算方式同上，就是正月朔夜半月亮所在度数和分。求次月朔月亮位置：小月加二十二度，分一百三十三；大月加三十五度，分二百四十五；分满度法进一度，起算同上，就是次月朔月亮所在度。历先月法：用十六除月行分得到大分，再根据入迟疾历加减，经过室宿减去室分。

推合朔、月食算法

取所求年积月，乘会数一百六十，加上入交会纪差二十二，减去会月，余下的就是当年正月朔距离交点的分。求次月，累加会数，满会月就减去。求望日，加朔望合数。朔、望距离交点的分，小于等于朔望合数，或者大于等于交限数；朔日就会发生日食，望日就会发生月食。

推月亮入迟疾历算法

取所求年朔积分，加上入迟疾差一万五千二百四十五，减去通周，余数除以日法得到日数，除不尽是日余，起算不算首日，就是正月朔入迟疾历的日数。求次月朔，加一日，日余加七百三十四。求望日，加十四日，日余加五百七十五半。日余满日法进一日；日数满二十七就减去。日余大于等于周日日余，减去周日日余；不够减，就减一日，加上周虚。满二十七日后，日余不足周日日余，称为损。满周日，减去周日，算作入历一日。

推合朔、月食定大小余算法

用入历日余，乘入历对应的损益率（入历第一日，增益二十五），用来增减盈缩积分；应当减就减，应当加就加，得到定积分。用入历日余乘列差，除以日法，盈减缩加差法，得到定差法。用定差法去除定积分，所得之数，用来加减原本朔望小余：盈就减，缩就加，得到定小余。相加之后满日法，合朔、月食就进一日；不够减，加上日法再减，就退一日。恰逢周日，用周日定数。

推加时算法

用十二乘定小余，除以日法，得到辰数，从子起算，不算子本身，就是朔望加时对应的时辰。有余分再乘四，除以日法，得一叫少，二叫半，三叫太半。还有剩余，再乘三，除以日法得一叫强；过半算作一分，不足半舍去。强和少合并叫少强，强和半合并叫半强，强和太合并叫太强。得二分叫小弱，和少合并叫半弱，和半合并叫太弱，和太合并叫一辰弱。以所在时辰命名。

推合朔月食加时刻数算法

用一百刻乘定小余，除以日法；余数乘十，求刻下分。先减去夜漏的一半，得到昼漏的时刻分。昼漏结束，再计入夜漏。在节气前后四日之内，参照限数；节气前后五日以上，参照间限数。月食加时定小余，小于限数、间数的，都按上一日算。

小分一百零三，损二百二十四，九万三千四百零八，意差法二千，三百零九。

推合朔度数算法

用章岁乘朔小余，除以通法，得到大分，除不尽是小分。把大分加到朔夜半太阳分上，满度法进一度，起算同上，就是正月朔日月合朔的共同度数。

求次月合朔：加二十九度，大分一百六十一，小分十四；小分满通法并入大分，大分满度法并入度。经过室宿减去室分。求望：加十四度，大分二百三十二，小分三十半。求望月所在度：加一百八十二度，分一百八十九，小分二十三半。

推五星基础参数

木星后元丙戌，晋咸和元年，到元嘉二十年癸未，一百一十八年（计算包含本岁）。火星后元乙亥，元嘉十二年，到元嘉二十年癸未，九年（计算包含本岁）。土星后元甲戌，元嘉十一年，到元嘉二十年癸未，十年（计算包含本岁）。金星后元甲申，晋太元九年，到元嘉二十年癸未，六十年（计算包含本岁）。水星后元乙丑，元嘉二年，到元嘉二十年癸未，十九年（计算包含本岁）。

推五星通用算法

分别取本星后元到所求年份的年数（包含本年），乘以合数，除以合岁，得到积合；除不尽叫合余。合余偏大的，再用合数除合余：商为一，星在上一年会合；商为二，星在前年会合；不足合数，就是本年会合。木星、土星、金星会有上年会合；火星有前年会合；水星一年可以会合三次或者四次。用合数减去合余，得到度分；水星的度分满合岁就减去。用周天十一万一千零三十五乘度分，除以日度法，得到积度，除不尽是度余。度数从室宿二度起算，不算起算度，就是行星会合时所在星度。用合数乘年数，并入雨水小余，再加度余作为日余；日余满日度法进为日，从雨水起算，不算雨水日本身，就是行星会合的日期。

求行星出现日期：用该星伏日、日余（木星是十六日，金星同理），加到会合日、日余之上，满日度法进一日，起算同上，就是行星出现之日。求行星出现的度数：用该星伏度、度余（木星是二度及余分），加到会合度、度余之上，满日度法进一度，起算同上，就是行星出现时的度数。

用行星顺行分母（木星是二十三）乘见度余，除以日度法得到整数分；之后逐日累加行分。木星顺行每日四分，分满分母进一度。逆行和顺行分母不一样（木星逆行分母是七），分别用对应分母换算度余。停留延续之前度数；逆行就减去行分；隐伏阶段不记录度数。经过室宿减去室分；不够减的，拆开整度来减。五星各自室分不同，计算行分的时候，按各自室分扣除。

木星：一开始和太阳会合，隐伏，十六日，日余四万一千七百八十，运行二度，余七万七千八百四十七半，清晨在东方出现，距离太阳十三度半强。顺行，每日运行二十三分之四度，一百一十五日运行二十度；停留不动，二十六日之后逆行。逆行每日运行七分之一度，八十四日退回十二度；再次停留二十六日。之后顺行，一百一十五日运行二十度，傍晚在西方隐伏，日、度余和初伏相同，和太阳会合。一个终周三百九十八日，日余八万三千五百六十，运行三十三度，余五万九千九百三十五。

火星：一开始和太阳会合，隐伏，七十一日，日余二万四千八百一十二半，运行五十四度，度余四万九千四百三十，清晨在东方出现，距离太阳十七度半强。顺行快的时候，每日运行七分之五度，一百零八日半运行七十七度半；稍慢，每日运行七分之四度，一百二十六日运行七十二度；再慢，每日运行七分之二度，四十二日运行十二度；停留不动，十二日后逆行。逆行每日运行十分之三度，六十日退回十八度；再次停留十二日。之后顺行，慢速阶段四十二日运行十二度；稍快，一百二十六日运行七十二度；再快，一百零八日半运行七十七度半，傍晚在西方隐伏，日、度余和初伏相同，和太阳会合。一个终周七百七十九日，日余四万九千六百二十五，运行四百一十四度，度余三万三千五百；减去一周天，实际运行四十九度，度余一万七千三百七十五。

土星：一开始和太阳会合，隐伏，十八日，日余四千四百八十二半，运行二度，度余四万六千八百四十七半，清晨在东方出现，距离太阳十五度半强。顺行，每日运行十二分之一度，八十四日运行七度；停留不动，三十六日后逆行。逆行每日运行十七分之一度，一百零二日退回六度；再次停留三十六日。之后顺行，八十四日运行七度，傍晚在西方隐伏，日、度余和初伏相同，和太阳会合。一个终周三百七十八日，日余八千九百六十五，运行十二度，度余九万三千六百九十五。

金星：一开始和太阳会合，隐伏，四十一日，日余四万九千六百八十四半，运行五十一度，度余四万九千六百八十四半，傍晚在西方出现，距离太阳十度。顺行快速，每日运行一度十三分之三度，九十一日运行一百一十二度；速度转缓，每日运行一度十三分之二度，九十一日运行一百零五度；再慢，每日运行十五分之十一度，四十五日运行三十三度；停留不动，八日之后逆行。逆行每日运行三分之二度，九日退回六度，在西方隐伏。继续隐伏六日，退行四度，和太阳会合。又六日退行四度，清晨在东方出现，逆行九日退回六度；再次停留八日。之后顺行，四十五日运行三十三度；速度转快，九十一日运行一百零五度；再快，九十一日运行一百一十二度，清晨在东方隐伏，日、度余和初伏相同，和太阳会合。一个终周五百八十三日，日余四万八千六百零一；减去一周天，实际运行二百一十八度，度余三万六千零七十六。一次会合二百九十一日，余四万九千六百八十四半，运行度数同上。

水星：一开始和太阳会合，隐伏，十七日，日余七万一千二百一十半，运行三十四度，度余七万一千二百一十半，傍晚在西方出现，距离太阳十七度。顺行快速，每日运行一度三分之一度，十八日运行二十四度；速度转缓，每日运行七分之五度，七日运行五度；停留不动，四日之后，傍晚在西方隐伏。隐伏十一日，退行六度，和太阳会合。又十一日退行六度，清晨在东方出现；停留四日。之后顺行，慢速七日运行五度；快速十八日运行二十四度，清晨在东方隐伏，日、度余和初伏相同，和太阳会合。一个终周一百一十五日，日余六万六千七百二十五，运行度数同上。一次会合五十七日，日余七万一千二百一十半，运行度数同上。计算时盈加缩减，用十六除月行分，用日法除盈缩分，用来减度分，盈加缩减。

推卦算法

承接雨水大小余，大余加六，小余加三百一十九；小余满三千六百四十八进一日。日满二十七，余分不足以加减，就不加周虚。

元嘉二十年，何承天上奏尚书：如今改用《元嘉历》，漏刻标准和旧历不同，应当一并改革。查《景初历》春分昼长、秋分昼短，沿用旧漏刻，冬至之后昼漏反而比冬至之前更长，长短增减变化没有渐变过程，不只是旧历不精密，也有传抄讹误。现在二至二分都依据实测校正，二至前后不再有反常差异。重新增减旧漏刻，参照日影，删定成固定标准，改用二十五支漏箭。请求台府下令漏郎将核验施行。朝廷准许。

前代儒生依据图纬典籍说，月亮运行有九道，画成九条相交的圆环。但是观测月亮运行轨迹，快慢变化，并不沿着这九条轨道整齐运行。刘向论九道：两条青道在黄道以东，两条白道在黄道以西，两条黑道在黄道以北，两条赤道在黄道以南。又说：立春、春分，月亮沿青道；立夏、夏至，沿赤道；秋天行白道，冬天行黑道，各依方位。太阳行走黄道，是阳的轨道；月亮是阴精，不恒定走黄道，时而在黄道内、时而在黄道外，偏离黄道不超过六度。进入黄道一侧十三日多，穿出；穿出之后又是十三日多再入黄道，一共二十七日，一出一入。月亮运行到黄道交点，和太阳重合遮挡，就发生日食。汉代刘洪核验月行，创立阴阳历术。元嘉二十年，宋太祖让著作令史吴癸依照刘洪的方法，制作新术，交给太史使用。

《元嘉历》月行阴阳法

阴阳历，损益率，兼数一日：益十七，初二日前限余六百六十五微分一千七百三十八：益十六，十七初三，增益十五，总数三十三初四，增益十二，总数四十八初五，增益八，总数六十初六，增益四，总数六十八初七，增益一，总数七十二初八，减损二，总数七十三初九，减损六，总数七十一初十，减损十，总数六十五十一日，减损十三，总数五十五十二日，减损十五，总数四十二十三日以后，上限余二千零一十九微分、一千零七十九，减损十六，总数二十七分日二千六百八十五又二分之一，减损十六，大数是五千三百七十一分之三千四百七十二，总数十一

历周：五万五千五百一十七又二分之一。差率：一万零一百九十。微分法：一千八百七十八。

推算阴阳历的算法：用会月除去入纪积月，余下的数乘以会数，再加上所入纪的交会差，再乘以周天；所得数值满微分法就记作大分，余下不够的部分为微分。大分满周天就舍去，余下数值如果不到历周，就是入阳历。其余的余数，每满一个月周算作一日，算外，就是所求年份正月合朔入历的数值；余下不足一日的，就是日余。

求下一个月入历：加二日，日余一千三百三十一，微分一千五百九十八；按上面的法度积满一日就进一日，日数满十三日就舍去，日余按分日的规则折算。阴阳历一轮结束，就重新从历端起算；入历数值在前限余之前、后限余之后的，代表月亮运行在黄道正中。

求朔、弦、望的定数：各自取迟疾历的盈缩定积分，乘以章岁，除以差法；所得结果满通法记作大分，余下不足的部分乘以微分法，再除以法度得到微分。盈就减去、缩就加上阴阳历的日余；如果减加之后超出或者不足，就用月周进退日数来确定。再用定日余乘以损益兼数，得到加时定数。

推算夜半入历：用差率乘以朔小余，除以微分法，每满一单位得一；用这个数值减去入历余，如果不够减，就加上月周再减，同时退回一日，退回的部分折算成分日加到余数之中，半个微分记作小分，这就是朔日夜半入历的历余、小分。

求次日夜半入历：加一日，日余十六，小分三百二十；小分满会数就并入日余，日余满了月周就舍去，再另外加一日。一轮历走完，下一日的日余满分日就舍去，回到入历初始位置。如果日余不满分日，就保留这个余数，再加余一千二百九十四、小分七百八十九又二分之一，作为进入下一轮历的数值。

求夜半定日：用朔小余减去入迟疾历的日余；如果不够减一日，就退回一个周日，加上余四百一十七，就是月亮夜半入历的日数和余分。用日余乘损益率，得到盈缩积分，就是定积分。定积分满通法记作大分，余下部分乘以会月，除以法度得到小分；盈就加上、缩就减去阴阳历的日余，加减之后超出或者不足，就进退日数确定。再用定日余乘损益率，除以月周，以此来损益兼数，得到夜半定数。

求昏明数：用损益率乘临近节气的夜漏刻数，除以二百，得到明数；用损益率减去明数，得到昏数；再用昏、明的数值损益夜半半数，得到昏明定数。

求月亮距离黄道的度数：取加时或者昏明定数，除以十二，得到度数；余数除以三，一份叫“少”，余下不足一份叫“强”，两份叫“少弱”。算出来的结果，就是月亮距离黄道的度数。

大明六年，南徐州从事史祖冲之上表说：

古代历法粗疏舛误，不够精密，各家说法纷乱，没人能把握其中要领。何承天上奏的《元嘉历》，本意想要改革旧法，但是设置的术法简略，到如今已经和天象偏离很远。臣核验之后，发现三处明显谬误：日月运行的位置，误差达到三度；冬至、夏至的日影，几乎差上一天；五星的出现与隐伏，误差最多可达四十天，五星留、逆、进、退的位置，甚至会偏移两个星宿。二分、二至一旦偏差，节气、闰月就不能摆正；星宿度数和天象不符，观测推算就没有标准。臣生在圣明的时代，赶上太平国运，冒昧献上浅陋的见解，重新创制新历。一共拟定两项改动内容，三项新设法度。

要改动的地方，第一：旧的章法，十九年设置七个闰月，闰数偏多，经过二百年，就会差一天。节气闰月一旦偏移，就必须改历法，历纪多次变更，根源就在这里。现在修改章法，三百九十一年设置一百四十四个闰月。让它回溯契合周代、汉代的天象，往后长久使用，不会再出现偏差。第二：《尧典》记载：“白昼最短，昴星黄昏中天，用来确定仲冬。”以此推算，唐尧时代冬至，太阳位置在当今星宿的东边五十度左右。汉代初年沿用秦代历法，冬至太阳在牵牛六度。汉武帝改立《太初历》，冬至太阳在牵牛初度。后汉《四分历》，冬至太阳在斗宿二十二度。晋代姜岌用月食校验太阳位置，得知冬至太阳在斗宿十七度。如今综合中星观测、月食望日来核验，冬至太阳在斗宿十一度。合计来看，不到一百年，就差了二度。旧历法全都固定冬至太阳位置不变，天度既然慢慢偏移，日月五星的宿度就渐渐和历法不合。谬误明显之后，又要改制，只能勉强贴合一时，不能长久通用，历法不停改易，根源就在这里。现在设置冬至所在宿度每年微微推移，回溯核验汉代注记，全都精密吻合，将来长久使用，不必频繁改动。

另外新设的法度，第一：子是十二辰之首，方位正北，爻对应初九，是元气开端；虚宿在北方七宿正中，元气起始，上元日度应当从虚宿一度起算。前代儒者虞喜，已经详细阐发这个道理。本历上元的日度起点，从虚宿一度开始。第二：干支名号，甲子排在首位，历法设定上元，应当取甲子之年。但是从黄帝以来，历代所用的十一种历法，上元年份都没有恰逢甲子。本历上元，年份定为甲子。第三：上元之年，历法里所有推算条目，都以这一年作为起始；而《景初历》推算交会、月行迟疾，另外设置纪差，只能勉强贴合朔日、节气，条目杂乱，不符合古法本意。现在新法，日月五星、交会、月行迟疾，全部以上元岁首作为起点。日月合璧的天象，推算有凭据；五星连珠的辉光，也可以准确推算，所有推算源头统一，真正契合古法。

至于依靠观测确定形制，凭据实效检验，天上星象昭然，用圭表测量就能推求；节气气运幽微，用律管候气不会出错。臣所创立的历法，容易取信于人。只是深究历法首尾，务求整体周密；革新旧法，条目有简有繁。简约的条目，道理上没有疑问；繁复的设置，也不是凭空错设。为什么？纪法、闰法参差不一，每一个数都带有余分，余分的特性，不精细就不能严密。臣所以珍惜毫厘之差，保全精密的准则，不怕繁复计算，来造就永久可用的历法。不是思虑不通、明知有错而不改。只是担心评议之人，或是厚古薄今，或是轻信传闻、无视实测。所以竭尽浅陋所知，消解各方异同的非议，诚心推究日月运行，盼望得到君主体察。如果臣上奏的历法，万一有可取之处，恳请颁下各官署，让大家仔细研讨，希望这微薄的贡献，能稍稍增益典章制度。

历法

从上元甲子年，到刘宋大明七年癸卯年，一共五万一千九百三十九年，算外。

元法：五十九万二千三百六十五。纪法：三万九千四百九十一。章岁：三百九十一。章月：四千八百三十六。章闰：一百四十四。闰法：十二。月法：十一万六千三百二十一。日法：三千九百三十九。余数：二十万七千零四十四。岁余：九千五百八十九。没分：三百六十万五千九百五十一。没法：五万一千七百六十一。周天：一千四百四十二万四千六百六十四。虚分：一万零四百四十九。行分法：二十三。小分法：一千七百一十七。通周：七十二万六千八百一十。会周：七十一万七千七百七十七。通法：二万六千三百七十七。差率：三十九。

推算朔日算法：取上元以来的年数，算外，乘以章月，满章岁得到积月，余下的是闰余。闰余大于等于二百四十七，这一年就有闰月。用月法乘以积月，满日法得到积日，余下的是小余。积日除以六十，舍去整轮，余下的是大余。从甲子起数大余，算外，就是所求年份天正十一月朔日。小余大于等于一千八百四十九，这个月是大月。求次月朔：大余加二十九，小余加二千零九十；小余满日法就并入大余，大余满六十就舍去，按前面的方法起干支，就是次月朔日。求弦、望：朔日大余加七，小余加一千五百零七，小分加一；小分满四并入小余，小余满日法并入大余，依前起干支，就是上弦日。继续累加得到望日，再加得到下弦，再加得到后月朔日。

推算闰月算法：用章岁减去闰余，余数满闰法就得到一个闰月，从天正起数，算外，就是闰月所在。闰月位置有进退，以没有中气的月份定为闰月。

推算二十四节气算法：取上元以来年数，算外，乘以余数，满纪法得到积日，余下的是小余。积日舍去六十的整倍数，余下为大余。从甲子起数大余，算外，就是天正十一月冬至日。求下一个节气：大余加十五，小余加八千六百二十六，小分加五；小分满六并入小余，小余满纪法并入大余，依前起干支，就是下一个节气。求土用事：冬至大余加二十七，小余加一万五千五百二十八，是季冬土用事日；再加大余九十一，小余一万二千二百七十，是下一次土用事日。

推算没日算法：用九十乘冬至小余，用没分减去这个得数，满没法得到日数，余下是日余；从冬至起数，算外，就是没日。

求下一个没日：日数加六十九，日余加三万四千四百四十二；日余满没法就进一日，就是下一个没日。日余刚好耗尽，称为灭。

推算太阳所在星宿度数算法：纪法乘朔积日，得到度实，减去周天，余数满纪法得到积度，余下是度余；从虚宿一度起数，依次扣除各宿度数，算外，就是天正十一月朔夜半太阳所在度数。求次月太阳位置：大月加三十度，小月加二十九度，进入虚宿区域时，减去虚分。求行分：度余除以小分法，得数是行分，余下是小分；小分满小分法并入行分，行分满行分法并入度数。求次日太阳位置：加一度；进入虚宿，减去行分六，小分一百四十七。

推算月亮所在星宿度数算法：朔小余乘一百二十四，得到度余；朔小余乘八百六十，得到微分。微分满月法并入度余，度余满纪法化为度数；用这个度数减去朔夜半太阳所在度数，就是月亮所在度数。

求次月月亮位置：大月加三十五度，度余三万一千八百三十四，微分七万七千九百六十七；小月加二十二度，度余一万七千二百六十一，微分六万三千七百三十六；进入虚宿，减去虚分。

迟疾历

推算入迟疾历算法：通法乘朔积日，得到通实；减去通周，余数满通法得日数，余下是日余。从日数起算，算外，就是天正十一月朔夜半入迟疾历的日数。

求次月入迟疾历：大月加二日，小月加一日，日余都是一万一千七百四十六。历满二十七日、日余满一万四千六百三十一，就舍去一轮。

求次日入历：加一日。求太阳所在定度：用夜半入历日余乘损益率，以此增减盈缩积分，除以差率；得数满纪法化为度数，余下是度余。盈就加上、缩就减去平行度以及度余，得到定度。增益之后满法度、减损之后不足，都用纪法进退。求行分，和前面方法一样。求次日定度，按所入迟疾历增减；进入虚宿，减去虚分，规则同上。

阴阳历

推算入阴阳历算法：取通实，减去会周；余数不足交数三十五万八千八百八十八又二分之一，就是朔入阳历分；超过交数，减去交数，余下是朔入阴历分。阳历分、阴历分各自满通法得一日，余下是日余，从日数起算，算外，就是天正十一月朔夜半入阴阳历的日数。

求次月入阴阳历：大月加二日，小月加一日，日余都是二万零七百七十九。历满十三日、日余满一万五千九百八十七又二分之一，就舍去一轮。阳历结束转入阴历，阴历结束转入阳历。求次日入历：加一日。求朔望差：二千零二十九乘朔小余，除以三百零三，得到日余；余数加倍，记作小分，就是朔差数。朔差再加十四日，日余二万零一百八十六，小分一百二十五；小分满六百零六并入日余，日余满通法化为一日，就是望差数。继续累加，得到后月朔差。

推算合朔、月食：取朔、望夜半入阴阳历的日数和余分，如果有半分就去掉；设置小分三百零三，加上差数；小分满六百零六并入日余，日余满通法化为一日，日数满一轮历就舍去。从日数起算，算外，就是朔望加时入历。朔望加时入历，在一日、日余四千一百九十八、小分四百二十八以下，或是十二日、日余一万一千七百八十八、小分四百八十一以上，朔就会发生交会，望就会发生月食。

求合朔、月食的定大小余：用差数的日余加上夜半入迟疾历余；日余满通法进一日，得到朔望加时入历。用入历余乘损益率，增减盈缩积分，除以差法；盈就减去、缩就加上原本的朔望小余，得到定小余。加之后满法度、减之后不足，就进退日法，调整日数。

求合朔、月食的加时：定小余乘以十二，满日法得一辰，从子起数，算外，就是加时所在时辰。有余数，乘以四，满日法一份叫少，两份叫半，三份叫太；还有余数，乘以三，满日法一份叫强；强搭配少叫少强，搭配半叫半强，搭配太叫太强。余数二份叫少弱，和太合并，算作上一个时辰的弱，用前一个时辰命名。

求月亮距离日道度数：取阴阳历余乘损益率，除以通法，以此增减兼数得到定数；定数除以十二为度，余数除以三，分少、半、太；还有剩余，一份叫强，两份叫少弱。这就是月亮距离日道的度数。阳历代表月亮在黄道外侧，阴历代表在内侧。

（表略）

求昏明中星：各自用度数加上夜半太阳所在度数，就是昏明中星度数。

推算五星算法：木星速率：一千五百七十五万三千零八十二；火星速率：三千零八十万四千一百九十六；土星速率：一千四百九十三万零三百五十四；金星速率：二千三百零六万零一十四；水星速率：四百五十七万六千二百零四。

推算五星：取度实，各自减去五星速率；余数再用速率减去它，得数除以纪法，得到入岁日，余下是日余。从天正朔日起数，算外，就是行星和太阳会合的日子。

求行星会合度数：入岁日以及日余，加上天正朔日积度以及度余；满纪法化为度数，满三百六十度连同度分就舍去，从虚宿一度起数，算外，就是行星会合所在度数。求行星出现日子：伏日和伏日余，加上会合日和日余；余满纪法进一日，依前起算，就是行星晨见或者夕见之日。求行星出现度数：伏度和伏度余，加上会合度和度余；余满纪法进度，进入虚宿减去虚分，依前起算，就是行星出现度数。

推算五星运行：度余除以小分法，得数是行分，余下是小分；每日加上当日行分，行分满法度化为度数。留，就保持原有度数；逆行，就减去行分；伏，不计算度数。顺行进入虚宿，减去行分六、小分一百四十七；逆行走出虚宿，就加上这部分。

木星：最初和太阳会合，隐伏，十六日，日余一万七千八百三十二，运行二度，度余三万七千五百四，清晨在东方出现。顺行，每日行四分，一百一十二日，运行十九度十一分。留二十八日。逆行，每日行三分，八十六日，退行十一度五分。再留二十八日。顺行，每日行四分，一百一十二日，傍晚在西方隐伏，日、度余和最初隐伏时一样。一终周期：三百九十八日，日余三万五千六百六十四，运行三十三度，度余二万五千二百一十五。

火星：最初和太阳会合，隐伏，七十二日，日余六百零八，运行五十五度，度余二万八千八百六十五，清晨在东方出现。顺行，快行，每日行十七分，九十二日，运行六十八度。稍慢，每日行十四分，九十二日，运行五十六度。很慢，每日行九分，九十二日，运行三十六度。留十日。逆行，每日行六分，六十四日，退行十六度十六分。再留十日。顺行，慢行，每日行九分，九十二日。稍快，每日行十四分，九十二日。很快，每日行十七分，九十二日，傍晚在西方隐伏，日、度余和最初一样。一终周期：七百八十日，日余一千二百一十六，运行四百一十四度，度余三万零二百五十八。扣除一周天，实际运行四十九度，度余一万九千八百零九。

土星：最初和太阳会合，隐伏，十七日，日余一千三百七十八，运行一度，度余一万九千三百三十三，清晨在东方出现。顺行，每日行二分，八十四日，运行七度七分。留三十三日。逆行，每日行一分，一百一十日，退行四度十八分。再留三十三日。顺行，每日行二分，八十四日，傍晚在西方隐伏，日、度余如初。一终周期：三百七十八日，日余二千七百五十六，运行十二度，度余三万一千七百九十八。

金星：最初和太阳会合，隐伏，三十九日，余三万八千一百二十六，运行四十九度，度余三万八千一百二十六，傍晚在西方出现。顺行，快行，每日行一度五分，九十二日，运行一百一十二度。稍慢，每日行一度四分，九十二日，运行一百零八度。很慢，每日行十七分，四十五日，运行三十三度六分。留九日。慢行，每日行十六分，退行六度六分，傍晚在西方隐伏。隐伏五日，退行五度，和太阳会合。又五日，退行五度，清晨在东方出现。逆行，每日行十六分，九日。留九日。顺行，慢行，每日行十七分，四十五日。稍快，每日行一度四分，九十二日。很快，每日行一度五分，九十二日，清晨在东方隐伏，日、度余如初。一终周期：五百八十三日，日余三万六千七百六十一，行星运行度数和日数相同。扣除一周天，实际运行二百一十八度，度余二万六千三百一十二。一合周期：二百九十一日，日余三万八千一百二十六，行星运行度数也相同。

水星：最初和太阳会合，隐伏，十四日，日余三万七千一百一十五，运行三十度，度余三万七千一百一十五，傍晚在西方出现。顺行，快行，每日行一度六分，二十三日，运行二十九度。慢行，每日行二十分，八日，运行六度二十二分。留二日。慢行，每日行十一分，二日，退行二十二分，傍晚在西方隐伏。隐伏八日，退行八度，和太阳会合。又八日，退行八度，清晨在东方出现。逆行，每日行十一分，二日。留二日。顺行，慢行，每日行二十分，八日。快行，每日行一度六分，二十三日，清晨在东方隐伏，日、度余如初。一终周期：一百一十五日，日余三万四千七百三十九，行星运行度数和日数相同。一合周期：五十七日，日余三万七千一百一十五，行星运行度数也相同。

上元之年，岁在甲子，天正甲子朔夜半冬至，日月五星汇聚在虚宿一度之初；阴阳历、迟疾历，全部从这一刻起算。

宋世祖把这份历法下发给主管官署，让朝廷内外广泛评议。当时懂得历数的人很少，最终没有提出不同意见。只有太子旅贲中郎将戴法兴提出异议，他认为：

日月星三光的术数精微，五星会合的起始，除非深入推究测算，穷尽日影变化，哪里能够刊改古法、变革今历，校正圭表星宿位置？核查祖冲之的论述，多处违背常理，我凭着浅陋见识，逐条辨析诘问。祖冲之新推历法说：“如今冬至所在宿度，每年微微偏移。”戴法兴评议：冬至、夏至，是阳气收敛、阴气生发的极点，太阳有固定轨道，星宿位置不会更改。古代历法冬至，全都在建星。战国战乱纷起，史官荒废本职；到汉初，观测法度没有定论；后来粗略观测，知道冬至在南斗二十二度，元和年间所用历法，就和古历相合。到《景初历》，始终没有丝毫差错。《尚书》说：“白昼最短，昴星黄昏中天，用来确定仲冬。”只是依靠四星掌管四季，所以中星固定在卫阳方位，羲和用来校正时节，取它万世不变。祖冲之认为唐尧时代冬至太阳在当今星宿东边五十度左右，凭空增设度分，扰乱天道。他的历法设置，离标准差半次，大约四十五年九个月，太阳就偏移一度。《诗经》“七月流火”，这是夏正申月时节；“定之方中”，又是小雪节气。如果冬至确实逐年偏移，那么豳公说大火西流的时候，日影一尺五寸；修建楚宫的时候，白昼漏刻五十三刻，这就十分荒诞了。孔子说：“我听说，大火星隐伏之后，蛰伏的虫类才全部销声。如今大火还向西流动，是掌管历法官员的过失。”如果像祖冲之所说，那么星宿没有固定星次，卦位也有偏差；名号的定义，古今一定不一样，典籍记载，后世就不能通用。尧时的开、闭，到今天变成建、除；现在的寿星次，在周代就是鹑尾次；如今的东壁，不再属于玄武，轸星反倒归苍龙，歪曲天道、违背经籍，到了这种地步。

祖冲之又修改章法，三百九十一年设一百四十四闰。戴法兴评议：太阳运行有快有慢，所以斗宿间距有宽有窄；古人设立章法，作为折中标准，十九年七个闰，就算日影有盈有亏，这个制度不能改动。祖冲之削减闰数、破坏旧章，大幅改动余数，一百三十九年二月，对比四分历的标准，一下子少一天；七千四百二十九年，就少一个闰月。日数少，推算就早于实际天时；闰月缺失，农事时序就错乱。按时令安排农事，农事用来养育百姓，这是民生根本，历数第一要务。我担心这不是祖冲之浅陋思虑可以随意穿凿改动的。

祖冲之又规定上元日度从虚宿一度起算，说虚宿是北方七宿正中。戴法兴评议：祖冲之一边说冬至岁差，一边又说虚宿是北方正中，舍弃本体追逐影子，实在迷惑。为什么？天上没有太阳就不能明亮，地上依靠斗星辨别方位。假如冬至太阳在虚宿，黄道就很远，东北就该是黄钟对应的方位，室、壁应当属于玄枵星次，虚宿怎么还能算作北方正中？如果强行让二分二至不断迁移，星次却不变，招摇斗柄方向改换，律吕却沿用旧名，那么日月五星就不能用璇玑玉衡校准，时节也不能依靠摄提来纪，不知道五行归属于哪里，六气依托何处？

祖冲之又设定上元年份是甲子。戴法兴评议：设立上元、纪法，各有取法，有的依据图谶文字，有的贴合当时天象。祖冲之说：“各家说法纷乱，找不到统一的本源。”从前《黄帝历》上元辛卯，日月运行没有差错；《颛顼历》上元乙卯，四季没有偏差；《景初历》上元壬辰，晦朔没有差错；《元嘉历》上元庚辰，朔日没有偏差，这些难道不是顺应天道吗？祖冲之只求凑甲子，是强行迎合干支，强求贴合天道。

祖冲之又让日月五星、交会、月行迟疾，全都以上元为起点。戴法兴评议：交会的上元，只要能推算日食月食就可以；月行迟疾的奥妙，不是普通人能测知的。从前贾逵粗略发现偏差，刘洪初步写下术法，至于精密的数值，没有人探究到底。而且五星位置，时常有盈缩，就比如岁星在轸宿，出现的时候超前七辰；历算家只能倒推来贴合当下，过去和未来，哪里能全部确定。《景初历》在纪首另外设置差数，《元嘉历》又单独设立后元，都是为了实用简化，不做无用的遥远推算。祖冲之既在历法改动上违背天道，又新设法度满足自己的想法，我认为这是治历重大过失。

戴法兴又说：太阳运行有八条轨道，各自成一道；月亮只有一条轨道，分化成九行，左交右疾，倍半相反，月亮一个周期的总日数应当相同。祖冲之的通周与会周相差九千零四十，阴阳历七十九周有余，迟疾历还走不满一轮。也就是该减的时候反而增加，该损的时候反而增益。

祖冲之针对戴法兴的诘难逐条辩驳：

臣年少时偏爱历算，专心钻研术数，搜集研读古今典籍，广泛吸取深奥义理；唐尧、夏代的典籍，全部加以核验；周代正朔、汉代朔日，都逐条考证。用尽筹算思考，辨析历法疏密。像球体体积旧算法有误，张衡沿袭而不改正；汉代斛的铭文，刘歆伪造数值，这些都是算学里重大的弊病。《乾象历》的弦望定数，《景初历》的交度周日，不是观测不精细，而是乘除运算出错，这又是历家很大的失误。至于郑玄、阚泽、王蕃、刘徽，都通晓数术，但是著作里也常有疏漏错讹。臣从前闲暇之时，订正众多谬误，证据清晰，容易核验周密，这是臣依据实测，不盲目遵从古人的原因。考察何承天的《元嘉历》，二分二至推算早于实际天象，闰月偏移一月，五星出现隐伏，误差有的超过四十天，差数胡乱设置，该增益反而减损，都是旧术的巨大偏差，也是臣新历所要订正的。顺着源流探求病根，删去滞碍，阐发要领，能让星宿运行和上天相合，圭表、律管观测和地下实测吻合，反而遭到讥讽诋毁，实在可惜。戴法兴提出的六条诘难，都没有抓住历法原理的关键。臣逐条陈述：

第一，太阳岁差，旧历忽略，臣依据经史订正这个数值，戴法兴发难，引用《诗经》《尚书》，三处证据全都错了。第二，臣核验日影，修改旧章法，戴法兴提出质疑，拿不出实质反驳，只说恐怕不是浅陋之人可以随意穿凿。第三，星次、方位迁移，臣历法并没有这个说法，是他误解术意，凭空贬斥。第四，历以上元甲子，术法整齐清晰，他却说刻意凑甲子值得怀疑。第五，臣历法七曜推算，全部从上元起算，严密无隙，他却说不是凡人可以测知。第六，迟疾历、阴阳历的道理，戴法兴没能理解，错误认为两套周期的总日数应当相等。以上这些，有的引用错误论据指责，有的凭空否定，没有公允的辨析、让人信服的论证。臣顺着诘难逐条解释，依照本源回应，仰仗君主明察，倾尽浅陋所知。

戴法兴说：“冬至夏至，是阴气阳气收敛生发的极点，太阳有固定轨道，星宿位置不会更改。所以古历冬至，全都在建星。”祖冲之答：周汉之际，历官荒废学业，旁门术数纷纷兴起，图谶纬书繁多，有的假借帝王名号抬高自己，有的托名圣贤神化说法。所以谶记大多虚妄，桓谭早就知道它伪诈；古历错杂，杜预怀疑它不实。查《五纪论》，《黄帝历》就有四种算法，《颛顼历》《夏历》《周历》又各有两种版本，诡异纷乱，谁能确定哪个是真？这是古历可疑的第一条证据。夏历说七曜向西运行，和别的历法都不一样，刘向认为是后人伪造，这是第二条。殷历日法九百四十，但是《乾凿度》说殷历以八十一为日法。如果《易纬》没错，殷历就一定虚假，这是第三条。《颛顼历》上元乙卯，《命历序》却说这个术法上元甲寅，这是第四条。《春秋》记载日食写明朔日一共二十六次，所用历法不是周历就是鲁历。用周历核验，朔日错了二十五次；用鲁历核验，错了十三次。两套历法都不合，必然有一套是假的，这是第五条。古代六家历法，都和《四分历》相近，《四分历》用久了，推算就晚于天象。用日食检验，三百年就差一天。拿古历对照现在，粗疏的版本，朔日推算晚于天象两天多。由此推断，古历的成书，大多在周末汉初，不可能是三代之前的原作。再回头核验《春秋》，古历朔日全都推早于天象，这足以证明不是三代流传的准确历法，这是第六条。查《律历志》，前汉冬至太阳在斗、牛之间，度数靠近建星，二者位置相近；除非上古圣王精心制作，不然仪器漏刻不完备，怎么能做到丝毫不差？所以“建星”这个说法，不足以作为凭据。

戴法兴说：“战国纷乱，史官荒废本职；到汉初，观测法度没有定论；后来粗略观测，知道冬至在南斗二十二度，元和年间所用历法，就和古历相合。到《景初历》，始终没有丝毫差错。”祖冲之答：古术讹乱，详细情况已经无从考证；乙卯年的《颛顼历》，秦代使用，在当时有效，所以说法可以拿来参考。汉武帝改创《太初历》，核验完备，校正仪器、审度漏刻，事迹记载在前代史书，观测星宿、分辨度数，道理不会偏差太远。现在评议者所推崇的，没有亲眼实测；所否定的，只是凭空猜测。用这个否定那个，算不上通达的言论；厚古薄今，歪曲事实的地方很多，只采信一家说法，不如兼顾古今、以实测为准。《景初历》实际上五星推算有错，如今验证，偏差已经很明显。它只是粗略整理朔望，不去仔细观测校验，所以日影、漏刻、昏明时刻，直接沿用元和旧法，二分日影已经有偏差，也不修订，太阳宿度的细微误差，自然就错了。

戴法兴说：“《尚书》说‘白昼最短，昴星黄昏中天，用来确定仲冬’。只是依靠四星掌管四季，所以中星固定在卫阳方位，羲和用来校正时节，取它万世不变。祖冲之认为唐尧时代冬至太阳在当今星宿东边五十度左右，凭空增设度分，扰乱天道。”祖冲之答：《尚书》依靠四颗黄昏中天的星来审定二分二至，是君主面向南方观测而言。而且南北方位的标准，容易校准；星体东升西落，中天是观测基准。前代儒者注解，意思都一致。戴法兴却说《尚书》里四星都在卫阳、巳位，既偏离观测方向，又不是星体刚升起的位置，牵强曲解经文，迁就自己的主张，违背经文本义，实在过分。舍弃正午方位，硬说巳位，正午天空并不是没有星。如果只凭中星定时，别的星宿难道就不能定时？如果说举中星就包含全部七宿，那觜、参还隐没在地平下，就不能说；昴星就算出现，也该说隐伏；奎、娄已经升起，又不能说是隐伏，这个说法站不住脚，名号依托在哪里？如果中星的道理说不通，随便编造说辞，那么曾泉、桑野，全都能当作证据，二分二至到底在哪一天？反复思考，实在叹息。

戴法兴说：“他的历法设置，离标准差半次，大约四十五年九个月，太阳就偏移一度。”祖冲之答：《元和历》的日度，戴法兴所推崇，还说古历冬至在建星。用现在天象核验，臣的历法冬至也在这个宿，斗二十二度没有确凿证据，他却凭空贬斥臣的历法偏差半次，让我十分诧异。而且岁余是十一月，他说成九月，推算数字屡屡出错，都是这类。月食一定发生在和太阳对冲的位置，用月食反推太阳宿度，就能分辨对错，请用实测效验来评判疏密。查太史注记：元嘉十三年十二月十六日半夜月全食，月亮在鬼宿四度，对冲推算太阳应当在牛宿六度；按照戴法兴的说法，太阳在女宿七度。元嘉十四年五月十五丁夜月全食，月亮在斗宿二十六度，对冲推算太阳应当在井宿三十度；戴法兴说太阳在柳宿二度。元嘉二十八年八月十五丁夜月食，月亮在奎宿十一度，对冲推算太阳应当在角宿二度；戴法兴说太阳在角宿十二度。大明三年九月十五乙夜月全食，月亮在胃宿末尾，对冲推算太阳应当在氐宿十二度；戴法兴说太阳在心宿二度。这四次月食，全都和臣历法吻合，丝毫不差，戴法兴的推算一下子差十度，对冲位置、星宿明显错位，一眼就能看清。所以知道天度慢慢偏移，应当遵从实测来定典章；天象证据清晰，怎么能信古而疑今。

戴法兴说：“《诗经》‘七月流火’，这是夏正申月时节；‘定之方中’，又是小雪节气。如果冬至确实逐年偏移，那么豳公说大火西流的时候，日影一尺五寸；修建楚宫的时候，白昼漏刻五十三刻，这就十分荒诞了。”祖冲之答：臣核查这三条说法全都错误。《诗经》说大火西流，只是粗略举大火向西移动，作为寒气将至的征候。“流”，不是才开始移动的意思。就算按他的理解，冬至太阳在斗二十二度，大火星中天，应当在大暑之前，哪里靠近申月？这是他自己自相矛盾，不是我的历法有错。《夏小正》：五月黄昏，大火星中天。这难道也是卫阳方位？又说臣历法推算楚宫营建在九月初。查《诗经》的传、笺都说，“定之方中”是室宿、壁宿黄昏中天，用来端正四方。那么中天的标准时刻，应当在室宿八度。用臣历推算，元年立冬后四日，这个度数黄昏中天，是十月初，也不是寒露。评议者的错误，是把周代当成尧时，忽略五十度的岁差，才生出这个谬误。小雪这个说法，只是他自己的臆断，没有明文依据。

戴法兴说：“孔子说：‘我听说，大火星隐伏之后，蛰伏的虫类才全部销声。如今大火还向西流动，是掌管历法官员的过失。’如果像祖冲之所说，那么星宿没有固定星次，卦位也有偏差；名号的定义，古今一定不一样，典籍记载，后世就不能通用。尧时的开、闭，到今天变成建、除；现在的寿星次，在周代就是鹑尾次；如今的东壁，不再属于玄武，轸星反倒归苍龙，歪曲天道、违背经籍，到了这种地步。”祖冲之答：臣认为北极居中，众星有序；天体形态不同，阴阳界限分明。所以羽虫、鳞虫各有归属，水火方位固定；苍龙、白虎分列，东西方位可以确定，不是靠太阳所在位置来定星宿名号。怎么证明？阳爻初九，元气起于正北；玄武七宿，虚宿对应子位。如果用浑仪辨方位，以太阳为主，冬至太阳所在，应当属于玄枵；而如今冬至太阳的位置，偏向东方，和本体方位不合，道理怎么说得通？如果南北凭冬夏命名，东西凭生杀定名，难道春天太阳跑到义方，秋天跑到仁域，名号和事实颠倒？由此可知，上天用星宿划分方位，不由四时决定；日月循环运行，太阳不会永远守在旧位置。至于黄昏中星出没，典籍用来定时，是因为历数深奥，天象观测容易看见，只是取一代贴合的天象，作为简易的政令依据。就像夏代礼乐不能沿用商代典章，《濩》乐不能照搬《韶》乐，天道本身有差移，术法自然随时代变化。月建的名号，是依托节气本源，名号随实际而定，不是斗柄指向决定。近一点核验汉代，斗建已经差半次，靠斗柄定时，哪里还准？有的说法没有经文依据，只是附会成论，纬候之书很多虚假，夹杂伪辞。星次跟着方位命名，和星宿本体相合。二分二至就算迁移，星宿方位不变，哪里谈得上苍龙、朱雀换位，金水星宿错乱？指责名号错乱，是没有仔细考究。至于壁宿不属于玄武、轸属于苍龙，观测度数、核对日影，实测都是这样。《元嘉历》寿星次起点，也在翼宿范围，对照晋代注记，证据很多。天度偏移，一百多年就很明显；评议者就算能言善辩，除非能证明冬至不在南极、望日不在对冲，他的说法才站得住。如果太阳位置推移、星次方位不变，这不正是臣历法的证据，不是诘难者可以用来攻击的。臣立论一定依据经史，远考唐尧典籍，近证汉代记载，谶纬零碎说法，不敢采信，算是遵从经义的议论。月食反推日度，证据昭然，史书注记详细，藏在秘府，这又是核验天道的依据。《尧典》四星，全都在卫阳，当今太阳宿度，和元和旧历差距很远，说我歪曲经典，恰恰是他自己的问题。

戴法兴说：“太阳运行有快有慢，所以斗宿间距有宽有窄；古人设立章法，作为折中标准，十九年七个闰，就算日影有盈有亏，这个制度不能改动。祖冲之削减闰数、破坏旧章，大幅改动余数，一百三十九年二月，对比四分历的标准，一下子少一天；七千四百二十九年，就少一个闰月。日数少，推算就早于实际天时；闰月缺失，农事时序就错乱。按时令安排农事，农事用来养育百姓，这是民生根本，历数第一要务。我担心这不是祖冲之浅陋思虑可以随意穿凿改动的。”祖冲之答：查《后汉书》和《乾象历》的解说，《四分历》的章篰制度，虽然元和年间创设，但是日影、仪器的数值，在嘉平三年才最终确定。《四分志》记载，立冬正午影长一丈，立春正午影长九尺六寸。冬至太阳在最南，日影最长；立冬、立春距离冬至天数相等，日影应当一样长，但是一长一短，相差四寸，这就是旧历冬至推算晚于天象的证据。立冬、立春的日影差，每天差九分半弱，变化均匀，没有忽多忽少。按比例推算，两个节气各自往前推二日十二刻，日影就会持平，立冬影更短、立春影更长，都是九尺八寸，这才是立冬、立春的正日。由此推算，旧历冬至，比真实天象晚二日十二刻。嘉平三年，当时历法推算丁丑冬至，加时在正午；减去二日十二刻，真实天象是乙亥冬至，加时在夜半之后三十八刻。另外臣常年观测日影，亲自分辨分寸；铜圭表坚固，风吹日晒不受影响，光影清晰，毫厘分明。据大明五年十月十日，影长一丈七寸七分半；十一月二十五日，一丈八寸一分太；二十六日，一丈七寸五分强。取中间值，中天冬至应当在十一月三日。推算早晚，用后两天影长相减，得到一天影差；加倍作为除数，前两日影长减去中间值，乘以一百刻作为被除数，相除得到冬至加时在夜半后三十一刻，比《元嘉历》早一天，这才是天道实数。全年核验，差值均匀；不同年份比对，远近符合比例。臣凭借这个实测，订正章法。用臣历推算，刻数和前面一致，我认为足够精密，可以作为永久定式。考究古历法和《四分历》相同，《四分历》的历数时间久了就会落后于天象，每过三百年，朔日就会相差一天。所以汉代四百年间，日食大多发生在晦日。魏代以来，就革除了这套历法，当时世人没有非议它的，确实是因为它和天象相合。章岁取十九年，粗疏的毛病尤其突出，这和前代旧术一样，并不是出自经典。可是有人议论说这套历法自古沿用，历数不能改动。如果古法虽然粗疏，却要永远遵照使用，这个说法要是成立，那戴法兴就可以在当今重新推行《四分历》了，道理上说得通吗？这是我所不能理解的。如果说我如今革新创立的历法违背天道、失于中正，也没有看到确凿的证据可以驳倒我的历法。《元嘉历》的算法，减了闰余二分，只是沿袭旧的分数，粗略估算，所以进退不能和天象吻合。至于舍弃多余的余分以求准确，并不违背事理。就按照议论者的意思，历数一概不能改动，那么分数就不能增减，何承天当初制定历法，反倒成了错谬。节气的早晚，应当遵从《景初历》，冬至夏至相差三天，他们却看不出这是错误，反倒无端指责我的历法有失。只知道太阳运行偏快会提前，却不明白增加闰月造成的混乱，实在是没有用天象来检验，怎么能懂得历数的要领。关乎生民日用的根本大事，本来就不是随意臆断所能裁定的。另外戴法兴一开始说自己通晓日影变化，可以订正旧法、变革现行历法，后来又说日影的盈缩变化，不能作为标准，前后自相矛盾，不知道该以哪一个说法为准。如果推步测算都不能取准，天象规律完全无法观测把握，那就不知道历法纪元是凭什么建立的。考察自《春秋》以来一千多年，用日食来核验朔日，从来没有差错，这正是太阳运行有恒定规律的明证。况且我连续多年观测日影，仔细体察毫厘之间的细微变化，用以往的天象来核验，相合如同符契。孟子说千年之后的冬至，可以坐着推知，这话确实不假。说太阳运行有快有慢，没有见到可靠证据，空洞的言辞来贬斥，我并不畏惧。

戴法兴议论说：“祖冲之既然说冬至有岁差，又说虚宿是正北之中，抛开天体本体，只去追究日影，这样的迷惑还不算轻。为什么呢？天上没有太阳就不能显现方位，地上依靠斗星辨别方向。假如冬至太阳在虚宿，黄道就会更远，东北方向就该对应黄钟之宫，室、壁二宿应当属于玄枵星次，虚宿又怎么能是正北之中呢？强行让分至点不断迁移，但是星次却不改变，招摇星的指向变了，律吕却照旧不变，那么日月五星就不能靠玑衡仪器校准，确定时节也不再依靠摄提星来纪时，不知道五行该依附何处，六属又依托什么？”祖冲之说：这一条所质疑的内容，在前次奏牒里已经详细说明。星次改换、方位迁移，虚宿本就不是正中位置，对方铺陈大量言辞举证，只是自己制造纷乱迷惑，都是议论者本身的谬误，并不是我的历法设置有问题。日月五星能够校准齐一，本来依靠浑天仪，郑玄、王肃都阐发过这个道理，训释清晰公允，虽然有不同说法，都不是符合实情的正解。

戴法兴议论说：“设立历元、划分纪段，各有侧重，有的依据图谶文字，有的取效于当下时用。祖冲之说‘各家历法纷乱，没人能把握其中关键。’从前《黄帝历》以辛卯为历元，日月运行没有偏差；《颛顼历》以乙卯为历元，四时没有差错；《景初历》以壬辰为历元，晦日没有失度的日食；《元嘉历》以庚辰为历元，朔日没有错乱的日影，这些难道不是顺应天道的历法吗？祖冲之执意选取甲子为历元，可以说是为了凑合甲子而去迁就天象。”祖冲之说：历法贵在精密有效，不能强求别的名目，迎合图谶的怪异说法，本就不是义理所取，就算在当时能够应验，也不能通用于久远，这也是我不能认同的。历元选取干支起始，道理明白正当。不知道辛卯历元的说法依据是什么，古代术数诡僻错谬，之前的文书里已经写明，拘泥名号而丢掉实质，算不上探求隐微的学问。如果说历法只能适合一时，不能长久使用，历元只要是日月交会之时，没有固定年份，我现在用实效来证明。夏、商以前，典籍散失，《春秋》和汉代史书，都记载日食，正朔记载详审清楚，可以核验。用我的历法去检核，全都相互吻合，确实不是虚设，遵循精密的算法推求，千年之后也不会有出入，那么久远的天象也可以推知。遍览前代历法，粗疏之处很多，有的朔日相差三天，节气偏移七天，没听说这样的历法可以一直沿用至今。之前有人说乙丑历元不合正道，现在我取甲子为历元，议论者又怀疑是刻意凑数，要是干支起始的年份都不能当作历元，那么推求前代历法的人，又该从哪里入手？历法的编撰，几乎就要断绝了。刻意求合，必然会有不能相合之处，希望拿出确凿证据，来核验事理真伪。

戴法兴说：“交会的历元，如果确定，日食月食就可以推求；日月运行的迟速变化，不是普通人能够测知的。从前贾逵粗略发现其中的差度，刘洪粗略写下相关算法，至于精密的数值，没有人推究到底。而且五星运行的位置，时常有盈缩，就好比岁星运行到轸宿，观测到它超前七个辰次。历法家既然能够回溯推算，让古历和今天天象相合，那么往古与未来的天象，也完全可以推知。《景初历》在纪首设置差度，《元嘉历》另外设置后元，都是为了在实际使用中省去繁复计算，不做无谓的推演，徒增烦难。祖冲之修改历法，既违背天道，又自设算法迁就自己的想法，我认为这是治历最大的过失。”祖冲之说：日月迟速的比率，不是什么神异玄妙之事，有形迹可以观测，有数字可以推求，贾逵、刘洪能够记述，后人就可以在前人基础上不断求精。议论又说“五星所处位置，时常有盈缩”，“岁星在轸宿，超前七辰”，意思是岁星本该每年移动一个辰次。考察岁星运行，每年都会越过星次，在天上运行七圈，就会超前一个位次。历代推算，一共十家历法，都和这一规律在一时相合，史书的记载，也和天象检验相符。这说明岁星超次的运行，本就是固定规律，不是无端乱行，骤然越过对冲位置。如果真的是因为运行快慢不定，怎么会一直偏快而没有减慢的时候。观测天象、推求星象的人，一定要分辨度数，考校过往、验证将来，以实测天象为准，依据经史记载。那些牵强的辩说、细碎的言论，大多虚浮诡诈，甘德、石申的著作，本身就互相矛盾。现在拿着一句经文，就指责一字的错处，固执片面的论调，蒙蔽正理，这是我不能信服的。测算从近处开始，各家算法本可以相通，只是《景初历》的两种差度，何承天的后元，是因为奇偶之数不能契合，所以数值不能完全相同，才预留前元、另设后元，以求简便。提出观点阐发道理，哪里是刻意标新立异，只是要让实情通过文字显明，道理能够说透。稽考历元起始，所有历数都从这里开端，这本是历法的根本，按理不该被非议；非议的人却当成过失，这是极大的谬误。那么《元嘉历》设置历元，虽然各项历数参差，却还能让纪首契合甲子，节气朔日一同终尽，这又算是小的过失。难道一定要凭空设立上元，假称历法开端，年份和干支起始不相配，日期避开辰首，闰余、朔分、月行、五星各项历数，全都不能有尽头，才算公允妥当的制度？设置历法，是为了贴合实情，满足测算的需要；说我修改历法违背天道，我看不到这样指责的道理。

戴法兴说：“太阳有八条轨道，合为一道；月亮本来只有一条轨道，分化成九条轨道。左交右疾，倍数半数互相矛盾，那么一个周期之内，日数应当相同。祖冲之的历法里，交会周和会周相差九千零四十，阴阳七十九周有余，迟疾周期还不到一圈，这就是该收缩反而盈余，该减损反而增益。”祖冲之说：这一段议论虽然空洞没有依据，但是说法可以核验。拿太阳八条轨道比喻月亮九条轨道，意思是月亮运行的轨道，应当固定不变，在天上循环，按理不会有差变。若是这样，交会的时候，就该有固定位置，怎么会有时在斗宿、有时在牛宿，同在一个经度。距离北极的度数应当相等，怎么会南北没有定准。如果日月的运行不是这样，那八行之说就是多余的空话？所谓左交右疾，语意模糊不清，是说交点和疾行相对？还是离开交点就进入疾行段？如果离开交点就进入疾行段，那么交点在平均历日入历第七日和第二十一日。遇到交点发生日食月食，就应当在盈缩的极点，怎么会有或多或少的增减。如果交点和疾行相对，那么交点的对冲位置，就是迟疾变化的起点，入历的深浅怎么会没有定数。倍数半数互相矛盾，新旧历法都有这个情况，又特意标出这一句，想要证明什么？我阅览古今历书，大致完备，却从来没有听过这样的说法，远不符合古制，近违背天象历数，我私下十分疑惑。推究迟疾、阴阳本不是互相生成的，所以交会的时刻，进退没有定准，从前的历法早就记载，前代儒者也说得很详尽。戴法兴却说周期日数应当相同。我认为议论者并不明白这个道理，谬误自现，不需要过多辩驳。既然说盈缩失中，又不写明具体数值，或许是自己也知道所持论点站不住脚，才说得笼统简略？另外用整数作为比率，应当互相折算分数，戴法兴列出的两个数字全都有误，有的把八十写成七十九，所谓该收缩反而盈余，该减损反而增益，就是指这一条。总的来看他的议论，不只是说我的历法不精密，还说何承天的历法错谬更严重。如果我的历法应当废弃，那么何承天的历法更加不能使用。戴法兴既然看得这么清楚，那就应当革新历法。不是夏至正午，不是望月对冲，这些新说法，想必有精妙的辩词吧？

当时戴法兴深受宋世祖宠信，天下人都畏惧他的权势，他提出异议之后，议论的人全都附和他。只有中书舍人巢尚之认可祖冲之的历法，坚持认为应当采用。宋世祖喜爱新奇、仰慕古制，打算施行祖冲之的新历，当时是大明八年。打算等到第二年改元，借着改元的机会改用新历。还没来得及施行，宋世祖就驾崩了。

志第四　礼一

凡是有封国、有家室的君主，礼仪的功用向来重大。但是历代对礼仪有所增减变革，常常各不相同，并不是刻意要互相改动，只是顺应时宜罢了。汉文帝觉得人情日渐浅薄，国丧就革除了三年服丧的制度；汉光武帝中兴之后崇尚节俭，七庙就采用同堂供奉的制度；魏太祖认为奢侈惑乱应当矫正，临终殓葬去掉了袭衣重称的繁复礼数；晋武帝认为圜丘祭天和南郊祭天没有区别，夏至、冬至一并在南北两处祭祀。这些制度互相承袭沿用，一直到今天，难道是三代的典制不存在了吗？只是选取适合时代变化的做法而已。闵子骞非议古礼，随后辞官；叔孙通创制汉代礼制，教化流传后世。由此来说，一意孤行而不效法古制，秦朝因此灭亡；一味效法古制而不合时宜，王莽因此败亡。所以汉、魏以来，各家都斟酌古今的折中之道，来制定一代的礼仪。司马彪汇集后汉各家注记，写成《礼仪志》，核对当时施行的礼制，已经和前汉差别很大。更何况三国鼎立，历经晋代到刘宋，时代变迁，各项制度都随事设立。自从汉末战乱，旧有的典章败坏松弛，魏初由王粲、卫觊主持议定各项礼仪；蜀国由孟光、许慈创立制度；晋初由荀顗、郑冲详细修订晋代礼制；江东东晋由荀崧、刁协整理紊乱的礼仪。这期间有名的儒者、博学之士，论述记载的内容，常常有新的见解，不能全部记载。现在摘录魏代以后治国的重大典章，来充实这篇礼志。

魏文帝虽然从汉朝接受禅让，却认为夏代的历法合乎天道，所以黄初元年下诏说：“孔子说‘奉行夏代的历法，乘坐殷代的大车，戴周代的冠冕，乐舞用《韶舞》。’这是圣人汇集各代的美善制度，为后世君王订立法则。《传》说‘夏代的历法合乎天道’。我继承唐尧、虞舜的美统，至于正朔，应当依照虞、夏的旧例。至于徽号、器物、礼乐、服色、祭祀用的牲币，自然依照土德的数度。每一季的末月，穿黄色衣服十八天，腊祭定在丑日，祭祀牲畜用白色，旌旗的装饰依旧用赤色，只是旗幡用黄色。其余郊祀天地、朝会四时的服饰，沿用汉制。宗庙祭祀的服饰，完全依照《周礼》。”尚书令桓阶等人上奏：“依据三正循环的道理，本朝承接汉代人正之后，应当采用地正，祭祀牲畜应当用白色，如今沿用汉代以十三月为岁首，那么牺牲不能单独更改。现在新建皇统，应当稽考前代古典，顺从天命，但是告朔的牺牲全都不改，不能彰显改朝换代的大义。”诏书答复：“服色按照奏议施行。其余依照虞舜承接唐尧的旧例，只是腊祭放在丑日，这也是圣人定下的制度。”

魏明帝即位，就有更改正朔的想法，朝堂议论意见不一，所以迟疑不决。很久之后才下诏：“黄初以来，众儒一起讨论正朔，有的认为应当改，有的认为不改才对，意见分歧，到现在没有定论。我在东宫的时候听说这件事，常常认为孔子作《春秋》，贯通三统，作为后世君王的法则。正朔和服色各随本统，不必沿袭前朝。自从五帝、三王之后，有的父子相继，一脉相承而德运不同；有的受禅于大麓，在文祖庙接受帝位；有的起兵征伐，奉行天命诛伐。虽然所处时代不同，途径不一样，但是没有不更改正朔、变换服色，彰显文物制度，用来表明承受天命符瑞的。这么说来，何必认定不改才是正确的！”