黄钟笛，正声对应黄钟，下徵对应林钟，长二尺八寸四分四厘有余。《周语》说：黄钟用来宣通滋养六气、九德。定调的方法，以黄钟为宫，姑洗为角。笛管本身的共鸣音对应姑洗，所以用四倍姑洗律的长度作为黄钟笛总长。宫声是正声，不加倍。所以叫正声。正声调法：黄钟为宫，第一孔。应钟为变宫，第二孔。南吕为羽，第三孔。林钟为徵，第四孔。蕤宾为变徵，第五附孔。姑洗为角，是笛管本身的音。太蔟为商，是笛后端的出孔。商声比角声浊，应当在角声下方，但是角声已经在笛管本体之中，所以把商孔往上移，放在宫孔之上，比宫声清。这样宫、商是正声，其余音都是倍声。所以从宫孔往下，孔位越低，音调越浊。这一段说明笛孔上下次序对应的音名。下一段讲律吕相生、笛子的制作方法。正声调法，黄钟为宫，制作黄钟笛，要定宫孔，拿姑洗律、黄钟律，从笛首往下量，量完两支律的长度，开孔，就是宫声。宫生徵，黄钟生林钟。拿林钟律，从宫孔往下量，量完律长开孔，就是徵声。徵生商，林钟生太蔟。拿太蔟律，从徵孔往上量，量完律长开孔，就是商声。商生羽，太蔟生南吕。拿南吕律，从角孔往下量，量完律长开孔，就是羽声。羽生角，南吕生姑洗。拿姑洗律，从羽孔往上量，量完律长开孔，角孔就会在商孔之上，吹笛的左手够不到。从羽孔往下量，量完律长开孔，角孔就在附商孔之下，吹笛的右手也够不到，所以不单独开角孔。继续往下推演，再加倍音高，所以角音就在笛管本体之中，这是古制。乐工旧法，就算一支笛内两次倍声，只要音调一致就可以，足够用来唱和，不损害曲调和谐。《周语》说：匏竹乐器便于因地制宜，就是说方便使用，依从适宜。角生变宫，姑洗生应钟。前面说应当开角孔的位置，用墨点标记，对应律。从这个标记往下量，开孔，就是变宫之声。变宫生变徵，应钟生蕤宾。拿蕤宾律，从变宫孔往下量，量完律长开孔，就是变徵之声。十二支笛的制作，都以本律为宫。相生的方法，有的加倍、有的减半，方便演奏，体例全都一样。下徵调法：林钟为宫，第四孔，原本是黄钟正声的徵。徵声本应当清，放在宫上，为了笛子好用，加倍让它变浊下移，所以叫下徵。下徵重新以林钟为宫，就是典籍所说“五声十二律循环为宫”。正声调清，下徵调浊。南吕为商，第三孔，原本是黄钟正声的羽，现在作为下徵的商。应钟为角，第二孔，原本是黄钟正声的变宫，现在作为下徵的角。黄钟为变徵：下徵调，林钟为宫，大吕应当是变徵。但是黄钟笛本来没有大吕音，所以借用黄钟充当变徵。借用方法：吹奏变徵的时候，同时打开黄钟、太蔟、应钟三孔。黄钟偏浊，太蔟偏清，大吕律在二者中间，三孔同开，稍微控气调节，就能得到大吕变徵的音。所有笛子下徵调求变徵，都是这个办法。太蔟为徵，笛后端孔，原本是正声的商，现在作为下徵的徵。姑洗为羽，笛管本体共鸣音，原本是正声的角，现在作为下徵的羽。蕤宾为变宫，附孔，原本是正声的变徵，现在作为下徵的变宫。正声调，孔越往下越浊；下徵调，孔越往上越清。清角调：以姑洗为宫，就是笛管本体的共鸣音，在正声里是角，在下徵调里是羽。清角调拿它做宫，用力急吹，让音调变清，所以叫清角。这个调只适合民间歌谣小曲，不能用于雅乐。蕤宾为商，正声。林钟为角，非正声。南吕为变徵，非正声。应钟为徵，正声。黄钟为羽，非正声。太蔟为变宫，非正声。清角调，只有宫、商、徵和律对应，其余四声都偏浊，靠急吹使音调变清，借音使用，体例相同。

所有笛子本体都用角律为基准，长笛取八倍，蕤宾笛、林钟笛就是；短笛取四倍，其余十支笛，都是四倍角律。笛管内腔容积，长笛容纳十六份黍，短笛容纳八份黍。如果长短大小不合这个标准，或者不好吹奏，就以音调和谐为标准。竹笛大多上粗下细，很难均匀，实在无法兼顾形制，就只求音调相合。三宫：一叫正声，二叫下徵，三叫清角。一共二十一变。每宫七声，交错使用，所以二十一变，所有笛子都遵循这个体例。伏孔四个，为了方便演奏。一叫正角，位置在商孔之上；二叫倍角，靠近笛下端；三叫变宫，靠近宫孔，位置下移加倍；四叫变徵，距离徵孔较远，位置抬高加倍。有的加倍，有的减半，有的取四分之一，仿照琴的徵位。这四个音都不开实孔，只标记位置，用来对应音高进退，调和音调，方便演奏。对应的孔位隐而不现，所以叫伏孔。

大吕笛：正声对应大吕，下徵对应夷则，长二尺六寸六分三厘有余。《周语》说：元间大吕，辅助万物生长。

太蔟笛：正声对应太蔟，下徵对应南吕，长二尺五寸三分一厘有余。《周语》说：太蔟用来金奏发声，振奋阳气，疏通滞塞。

夹钟笛：正声对应夹钟，下徵对应无射，长二尺四寸。《周语》说：二间夹钟，疏导细微间隙之气。

姑洗笛：正声对应姑洗，下徵对应应钟，长二尺二寸三分三厘有余。《周语》说：三间中吕，宣发中气。

蕤宾笛：正声对应蕤宾，下徵对应大吕，长三尺九寸九分五厘有余。《周语》说：蕤宾用来安定神人，主宴饮酬酢。变宫靠近孔位，所以加倍减半下移，方便使用。林钟笛也是这样。

林钟笛：正声对应林钟，下徵对应太蔟，长三尺七寸九分二厘有余。《周语》说：四间林钟，调和万事，让万物庄重诚敬。

夷则笛：正声对应夷则，下徵对应夹钟，长三尺六寸。《周语》说：夷则用来歌咏九州，使百姓没有二心。变宫的方法，和蕤宾笛一样，本体用四倍角律，再加四分之一。

南吕笛：正声对应南吕，下徵对应姑洗，长三尺三寸七分。《周语》说：五间南吕，助长阳气，促成万物秀实。

无射笛：正声对应无射，下徵对应中吕，长三尺二寸。《周语》说：无射用来宣扬贤人的美德，给百姓树立准则。

应钟笛：正声对应应钟，下徵对应蕤宾，长五尺九寸九分六厘有余。《周语》说：六间应钟，调和器物功用，使时序循环往复。

荀勖又拿魏杜夔制作的律吕，校验太乐、总章、鼓吹的八音，发现音调不和律吕相合。才知道后汉到魏，尺度比古制长出四分之一有余。杜夔依照当时的尺度造律，所以音律失准。于是派佐著作郎刘恭依照《周礼》，重新积黍定尺度，铸造新律。新律铸成之后，寻访古器，找到周代玉律，比对不差毫厘。又拿汉代古钟用新律校准，钟不敲自鸣，和律相应。当初荀勖在路上，遇见赵郡商人把铎挂在牛身上，铎声十分和谐。这时寻访找到这支铎，用来调定律吕。

晋武帝认为荀勖的律器和周汉古器相合，下令推行。散骑侍郎阮咸批评这套律声音偏高，不是兴国的乐音。阮咸死后，地下挖出古铜尺，果然比荀勖的尺长四分，当时人都佩服阮咸高明。元康年间，裴頠认为医药关系人命，称量的标准和古制不一样，危害很大，建议趁这个机会修订衡器度量，没有被采纳。

黄钟箱笛，晋代长三尺八寸。元嘉九年，太乐令钟宗之减为三尺七寸。十四年，治书令史奚纵又减五分，定为三尺六寸五分。列和说：东厢长笛四尺二寸。太蔟箱笛，晋代三尺七寸，钟宗之减为三尺三寸七分，奚纵又减一寸一分，定为三尺二寸六分。姑洗箱笛，晋代三尺五寸，钟宗之减为二尺九寸七分，奚纵又减五分，定为二尺九寸二分。蕤宾箱笛，晋代二尺九寸，钟宗之减为二尺六寸，奚纵又减二分，定为二尺五寸八分。

志第二　历中

天地之中最可贵的是生命，万物之中最尊贵的是人。人竭尽智慧，探求幽微，所以一举一动，都和天地天象相应。上古圣明的哲人，模拟北极星，制造浑仪。阴阳二气，孕育万物，精气凝聚显现，就是日月。万物本性，显现为五材，五材之中最灵秀的，就是五星。历法用来模拟天体运行，排定七曜次序，统御万国，授予百姓农时。黄帝命令大挠创制六甲，容成制定历象，羲和观测太阳，常仪观测月亮。少昊氏有凤鸟的祥瑞，用鸟名任命官职，凤鸟氏主管历法。颛顼时代，南正重掌管天事，北正黎掌管地事。尧又起用重、黎的后人，让他们恢复旧职，分别命令羲和，恭敬顺应上天。所以《虞书》说：“一年三百六十六日，用闰月调整，确定四季，构成岁。”后来尧禅位给舜，说：“上天的历数，落在你身上。”舜也用这句话嘱咐禹。到殷、周两代，开国改制，服色跟着历法更改。顺应时节之气，契合天道，万物生灵，蒙受恩泽。三王之后，史官的职责荒废，所以孔子修订《春秋》，指明历法官员的过失。秦统一天下，自认水德，以十月为岁首，服色崇尚黑色。

汉朝兴起，沿用秦的正朔，北平侯张苍最先讨论律历，认为《颛顼历》在六种古历之中误差最小。一直用到汉武帝元封七年，太中大夫公孙卿、壶遂、太史令司马迁等人上书，说历法已经错乱，应当改定正朔，更换服色，以此表明天命来自上天。武帝下诏，让壶遂等人制定汉历。选拔邓平、长乐司马可以及民间懂历法的二十多人。方士唐都划分天区，落下闳演算历法。算法以八十一寸为一日的分数，落下闳和邓平的算法一致。众人观测星度、日月运行，反复推算，采用落下闳、邓平的方法，一月是二十九日八十一分之四十三。武帝下诏，让司马迁使用邓平创制的八十一分律历，任命邓平为太史丞。到元凤三年，太史令张寿王上书，说武帝初年应该用黄帝《调历》，“现在阴阳失调，是改换历法的过错”。皇帝下诏，派主管历法的使者鲜于妄人，和治历的大司农中丞麻光等二十多人，一同观测晦朔弦望、二十四节气。又下诏丞相、御史、大将军、右将军府各派一名属官，一同在上林清台观测，考核十一家历法的疏密，从元凤三年一直测到五年。核验结果，张寿王的历法误差很大。而且汉元年本来就没有用黄帝《调历》，官员弹劾张寿王违背天道，大不敬，武帝下诏不予治罪。继续观测，直到元凤六年，《太初历》最为精准。张寿王所用的历法，其实是太史官的《殷历》。张寿王两次被弹劾，不肯服罪，最终被送交司法官。汉成帝时，刘向汇总六家古历，辨析是非，写成《五纪论》。刘向之子刘歆作《三统历》，用来解说《春秋》，文辞精巧，但是和实际天象不符。班固认为它精密扼要，所以《汉书·历志》记载它。拿它和何承天等六家历法对比，虽然历元不同，章岁划分有差异，和天象的误差有的差三天，有的差两天多时辰，推究源流，大多是六国、秦代之人所作。这类历法斗分偏大，往上不能核验《春秋》天象，往下不能契合汉魏实测，就算假托上古帝王，只能迷惑当时之人。

光武帝建武八年，太仆朱浮上书，说历法不正，应当修订，当时误差还很小，没有来得及考校改定。明帝永平年间，待诏杨岑、张盛、景防等人掌管历法，只修改弦望的加时，没有重新核定历元。到元和二年，《太初历》和天象偏差越来越大，星宿度数误差越来越明显，观测的人都知道太阳宿度差了五度，冬至太阳在斗宿二十一度，晦朔弦望，比实际天象提前一天。章帝召集治历的编欣、李梵等人核查情况。下诏书说：“《春秋保乾图》说：三百年斗历改宪。史官使用邓平《太初历》，有余分一，已经接近三百年，运行度数渐渐错谬，璇玑仪不准，天象没法核验。冬至之日，太阳在斗宿二十二度，比立春早一天，这是《四分历》的立春。用这个历法断案行刑，已经违背节气；想要调和阴阳，差得很远。如今改用《四分历》，遵从尧、孔子的法度，奉行上天的文命，同心敬授农时，或许能天下太平。”于是《四分历》施行。从黄帝以来所有以冬至在牵牛初度为历元的古历，全部废弃不用。

和帝永元十四年，待诏太史霍融上书：“官方漏刻，一般每九天增减一刻，和天象不对应，时差最多二刻半，不如夏历精密。”当年十一月甲寅，下诏说：“漏刻用来区分时辰，确定昏明。昏明长短，取决于太阳距离北极的远近，太阳轨道是圆周，不能用固定比率划分。官方漏刻九天增减一刻，不符合实情，依照日影定刻，精密有验，现在颁布依照日影的四十八箭漏刻。”二十四节气太阳位置、黄道去极度数、日影长度、漏刻、昏明中星，全都记载在《续汉律历志》。安帝延光三年，中谒者亶诵上书，主张用甲寅元历，河南梁丰说应当复用《太初历》。尚书郎张衡、周兴都精通历法，多次诘难亶诵、梁丰，二人有的答不上，有的承认有误。张衡等人核对仪注，考证古今，认为《九道法》最精密。皇帝下诏公卿详细商议。太尉刘恺等人商议：“《太初历》比天象超前一度，月亮在晦日还出现在西方。元和改用《四分历》，《四分历》虽然比《太初历》精密，依旧有偏差，二者都不可用。甲寅元契合天象，符合图谶，可以施行。”议论的人意见不一。尚书令忠上奏：“上天的历数，不能依从虚妄可疑的说法，用错误替换正确。”亶诵等人的提议就此搁置。

灵帝熹平四年，五官郎中冯光、沛相上计掾陈晃等人上书：“历元不正，所以盗贼作乱。历法应当以甲寅为元，不该用庚申，请求恢复庚申元的正统经文。”皇帝下诏三府，和通晓术数的儒生详细商议。群臣在司徒府集会讨论。议郎蔡邕说：“历数精微，术法没有永远不变的。汉承秦制，用《颛顼历》，历元乙卯；一百零二年之后，孝武帝改《太初历》，历元丁丑。用了一百八十九年，孝章帝改《四分历》，历元庚申。如今冯光等人认为庚申不对，甲寅才对。考察古历，黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁，各自有历元。冯光、陈晃所依据的，是殷历的历元。从前刚用丁丑元《太初历》之后，六家古历纷争，争论是非。张寿王拿甲寅元非议汉历，在清台观测考核，结果排在末等。《太初历》有实效，没有明显差错。所以就算不是图谶所说的历元，前代已经验证有效。自从改用《四分历》以来，比对日月运行，比《太初历》精密，这个新历元在当今有效。延光年间，亶诵也非议《四分历》，主张甲寅元，公卿商议，最终没有施行。日月星辰运行，快慢进退，本来就不会完全一致。所以有古今不同的历法。现在的历法不能契合古天象，就如同古历不能契合今天的天象。另外冯光、陈晃以《考灵耀》为依据，二十八宿度数、太阳位置，互相矛盾，没法核验。元和二年用到现在已经九十二年，冯光、陈晃却说阴阳不和、奸臣盗贼，都是历元的过错。元和诏书，文义完备明确，不是群臣议论就能更改的。”三公采纳蔡邕的意见，判定冯光、陈晃不敬，本该判处鬼薪刑，皇帝下诏免予治罪。

何承天评论：历法术数，如果内心不能通晓，就算承袭前人的见解，也没法弥补弊病。所以历经很多年，始终没有定论。《四分历》和天象相比，三百年就多出一天。历代人没有醒悟，只说造历必先定历元，依托谶纬，把历法和治乱绑定，这个弊病已经很深。刘歆《三统历》尤其粗疏，对比《四分历》，六千多年又多出一天。扬雄被这套说法迷惑，采入《太玄》，班固说它最精密，写进《汉志》；司马彪跟着说从太初元年开始用《三统历》，施行一百多年。竟然忘了刘歆出生，远在太初之后，这几位学者谈论历法，几乎是不懂而妄言！

光和年间，谷城门候刘洪才察觉《四分历》和天象疏阔，重新定纪法五百八十九，斗分一百四十五，造出《乾象历》。又创立迟疾历，推算月亮运行。对比《太初历》《四分历》，更加精细。魏文帝黄初年间，太史丞韩翊认为《乾象历》斗分减得太多，以后会比天象超前，造《黄初历》，纪法四千八百八十三，斗分一千二百零五。后来尚书令陈群上奏：“历数难懂，前代大儒常常争论不休。《黄初历》的历元，是因为《四分历》年代久远、误差变大，大魏受命，应当订正历法，明确时节。韩翊最先创制《黄初历》，还怕不够精准，拿《乾象历》互相参校。历时三年，互相非议，舍本逐末，争论细枝末节，迟迟不能决断。按照三公商议，都穷尽事理，殊途同归，希望用璇玑仪实测，检验各自的历法，一年之内，得失就能判定，合乎事理。”奏书获准。明帝的时候，尚书郎杨伟创制《景初历》，一直用到晋、宋。古代造历的人，邓平修订旧法、创立新历；刘洪最先削减《四分历》斗分，确定月亮迟疾；杨伟斟酌二者，取适中的数值，依照朔日积分设置差数，推算日月会合，朔月会发生日食。这三个人，都是汉、魏时期精通历法的学者。然而刘洪所推求的月行迟疾算法，不能用来核验《春秋》的记载；杨伟推算五星运行，和后世实测结果相差很大。这是因为刘洪思考尚有疏漏，杨伟又被“上元壬辰”这个共同起算的历元所束缚。

魏明帝景初元年，重新修订历法，把建丑之月作为岁首，将当年三月改为孟夏四月。各个孟、仲、季月份的名称，虽然和以建寅为正的常岁不一样，但是郊祀、迎气、宗庙烝尝祭祀、巡狩、狩猎、二分二至、启闭节气、颁布时令，全都依旧以建寅之月为正月。景初三年正月，魏明帝驾崩，朝廷又恢复使用夏正（建寅为岁首）。

杨伟上表说：“臣查阅典籍，考核推求历法。时序用来安排农事，月份用来记载事务，这套制度由来已久，十分久远。早在少昊之时，就由玄鸟之官掌管春分、秋分；颛顼、帝喾时代，由重、黎主管天象；唐尧、虞舜之时，由羲氏、和氏掌管日月运行。夏商周三代沿袭此制，每一代都设有日官。日官掌管历法，把历法颁给诸侯，诸侯接受之后，再在本国境内颁布。夏代后期，羲氏、和氏沉湎酒色，荒废时序、扰乱纪日，所以《尚书》记载了《胤征》这篇讨伐之文。由此看来，审慎把握农时、重视人事，历代都是如此。等到周王室衰微，战国纷争，告朔的羊礼废弃不再延续，登台颁朔的古礼消亡而无人遵行。闰月安排错乱却不能察觉，岁首正月失序而不能醒悟，大火星尚且向西流转，人们却责怪蛰伏的虫兽没有按时藏起来。那个时候，天子不能协调时序，掌历官员不正规记载日期，诸侯不接受天子颁下的历日，主掌日月的官员不能确定朔日，当权者不体恤人事，荒废农时。孔子在《春秋》之中拨乱反正，依托褒贬来纠正历法乱象：掌历官员失置闰月，就加以讥刺记载；诸侯登台接受朔历，就称其合乎礼。从这以后，直到秦、汉，又以孟冬十月作为岁首，闰月放在九月之后，称为后九月。中气、节气错乱，月份、时节乖谬，推算时刻滞后于天象，日食不在朔日，连年沿袭这套错法，很久都没有革除。到汉武帝元封七年，才发觉其中的谬误。于是改定岁首正朔，重新修订历法，召集博学通达之人，创制《太初历》。校核朔日与中气的差误，校正闰月分配；观测中星的位置，检验历法的疏密，以建寅之月为正月，以黄钟对应的月份作为历算的开端。这部历法的斗分数值太大，到后来推算就渐渐粗疏不准。到元和二年，又改用《四分历》，推行使用，一直到当下。查验日食，大多发生在晦日，这就是斗分过大，所以起初还算精密，日久便粗疏，不能长久使用。因此臣之前利用编撰典章的余暇时日，推究天象运行的规律，稽考前代典籍，用日食、朔日的天象来校验，反复精细推演，重新编制精密的历法，使推算不超前、不滞后，契合古今天象。从前唐尧之时，协调日月、校正时序，使百官各司其职，各项事业都兴盛起来。臣希望当今国家的典礼、各项制度，都契合古制，完备兴盛，于是改定正朔、重造历数，以大吕之月为岁首，以建子之月为历元开端。臣认为上古帝王之时，有《颛顼历》；轩辕黄帝之时，有《黄帝历》。到汉孝武帝改革正朔、变更历法，改年号为太初，历法便命名为《太初历》。如今改元为景初，这部历法应当叫做《景初历》。臣所创制的《景初历》，算法简约扼要，施行起来精密贴近天象，演算省力，学习也容易明白。就算让研桑那样善于心算的商贾、隶首那样的算数高手，重、黎掌管日晷，羲、和氏观测日影，来考究天象，推步日月，穷尽精微，达到术数的极致，也比不上臣这部历法精妙。所以历代历法，大多粗疏而不精密，自黄帝以来，历法的改革从未停止。”

从壬辰历元算起，直到景初元年丁巳年，累计四千零四十六年，算上历元本身。这个历元以天正建子、对应黄钟的月份作为历法起算点，历元起始之年，夜半甲子朔旦，恰逢冬至。

元法：一万一千零五十八。 纪法：一千八百四十三。 纪月：二万二千七百九十五。 章岁：十九。 章月：二百三十五。 章闰：七。 通数：十三万四千六百三十。 日法：四千五百五十九。 余数：九千六百七十。 周天：六十七万三千一百五十。 纪日岁中：十二。 气法：十二。 没分：六万七千三百一十五。 没法：九百六十七。 月周：二万四千六百三十八。 通法：四十七。 会通：七十九万零一百二十。 朔望合数：六万七千三百一十五。 入交限数：七十二万二千七百九十五。 通周：十二万五千六百二十一。 周日日余：二千五百二十八。 周虚：二千零三十一。 斗分：四百五十五。

甲子纪第一： 纪首合朔之时，月亮在黄道内侧。 交会差率：四十一万二千九百一十九。 迟疾差率：十万三千九百四十七。

甲戌纪第二： 纪首合朔之时，月亮在黄道内侧。 交会差率：五十一万六千五百二十九。 迟疾差率：七万三千七百六十七。

甲申纪第三： 纪首合朔之时，月亮在黄道内侧。 交会差率：六十二万零一百三十九。 迟疾差率：四万三千五百八十七。

甲午纪第四： 纪首合朔之时，月亮在黄道内侧。 交会差率：七十二万三千七百四十九。 迟疾差率：一万三千四百七。

甲辰纪第五： 纪首合朔之时，月亮在黄道内侧。 交会差率：三万七千二百四十九。 迟疾差率：十万八千八百四十八。

甲寅纪第六： 纪首合朔之时，月亮在黄道内侧。 交会差率：十四万零八百五十九。 迟疾差率：七万八千六百六十八。

交会纪差：十万三千六百一十。求这个数值的方法：取一纪之内的总月数，乘以通数，再除以会通，除去整数倍，余下的数值，就是交会纪差。用这个数值依次累加前一纪的交会差率，就得到后一纪的差率。累加之后，数值还不满会通，那么该纪首之年天正合朔，月亮就在黄道内侧；累加满会通则减去会通，月亮就在黄道外侧。在内侧累加至满，则转到外侧；在外侧累加至满，则转到内侧。

迟疾纪差：三万零一百八十。求这个数值的方法：取一纪之内的总月数，乘以通数，除以通周，除去整数倍，用通周减去余数，所得之差，就是迟疾纪差。用这个数值依次递减前一纪的迟疾差率，得到后一纪的差率。不够减的时候，加上通周再减。求下一个元的纪差率：递减前一元甲寅纪的差率，余下数值就是下一元甲子纪的差率。求其余各纪，都依照上面的算法。

推算朔积月的算法：取壬辰元以来，到所求年份，不算所求本年，用纪法去除，商数之外，就是该年所属纪的序号，余数就是入该纪的年数。年数乘以章月，除以章岁，商为积月，余数是闰余。闰余在十二及以上，这一年就设置闰月。闰月以没有中气的月份为准。

推算朔日算法：用通数乘以积月，得到朔积分，除以日法，商是积日，余数是小余。积日除去六十的整数倍，余数为大余。大余从该纪首日起算，算外一日，就是所求年天正十一月朔日。求次月朔日：大余加二十九，小余加二千四百一十九；小余满日法，就进一到大余，再按前面方法起算，就是次月朔日。小余在二千一百四十以上，这个月是大月。

推算上弦、望、下弦：在朔日大余上加七，小余上加一千七百四十四，再加小分一；小分满二，进一到小余；小余满日法，进一到大余；大余满六十就减去六十，余数从纪首日起算，算外一日，就是上弦日。继续累加，依次得到望、下弦、再下一月朔日。当月发生月食在望日的，定小余，如果小于临近中气的限数，就以上一日作为月食之日。望日在中气前后四日之内，参照限数；望日在中气前后五日以上，参照间限。

推算二十四气算法：取入该纪的年数，不算所求本年，乘以余数，满纪法为大余，余下为小余。大余满六十就减去六十，余数从纪首日起算，算外一日，就是天正十一月冬至日。求下一个节气：大余加十五，小余加四百零二，再加小分十一；小分满气法，进一到小余；小余满纪法，进一到大余，依前法起算，就是下一个节气。

推算闰月算法：用章岁减去闰余，得数乘以岁中十二，除以章闰，商为一个月；余数超过半数，也计为一个闰月。从天正十一月开始数，算外一月，就是闰月。闰月位置可以前后微调，以没有中气的月份作为标准。

大雪，十一月节。限数一千二百四十二。间限一千二百四十八。 冬至，十一月中。限数一千二百五十四。间限一千二百四十五。 小寒，十二月节。限数一千二百三十五。间限一千二百二十四。 大寒，十二月中。限数一千二百一十三。间限一千一百九十二。 立春，正月节。限数一千一百七十二。间限一千一百三十七。 雨水，正月中。限数一千一百一十二。间限一千零九十三。 惊蛰，二月节。限数一千零六十五。间限一千零二十六。 春分，二月中。限数一千零八。间限九百七十九。 清明，三月节。限数九百五十一。间限九百二十五。 谷雨，三月中。限数九百。间限八百七十九。 立夏，四月节。限数八百五十七。间限八百四十。 小满，四月中。限数八百二十二。间限八百一十三。 芒种，五月节。限数八百。间限七百九十九。 夏至，五月中。限数七百九十八。间限八百。 小暑，六月节。限数八百零五。间限八百一十五。 大暑，六月中。限数八百二十五。间限八百四十二。 立秋，七月节。限数八百五十九。间限八百八十三。 处暑，七月中。限数九百零七。间限九百三十五。 白露，八月节。限数九百六十二。间限九百九十二。 秋分，八月中。限数一千零二十一。间限一千零五十一。 寒露，九月节。限数一千零八十。间限一千一百零七。 霜降，九月中。限数一千一百三十三。间限一千一百五十七。 立冬，十月节。限数一千一百八十一。间限一千一百九十八。 小雪，十月中。限数一千二百一十五。间限一千二百二十九。

推算没日、灭日算法：冬至积日如果带有小余，积日再加一，乘以没分，除以没法，商为大余，余数为小余。大余满六十就减去六十，余数从纪首日起算，算外一日，就是去年冬至之后的没日。

求下一个没日：大余加六十九，小余加五百九十二；小余满没法，进一到大余，起算方法同上。小余恰好除尽，就是灭日。

推算五行主事之日：立春、立夏、立秋、立冬，就是木、火、金、水开始主事的日子。各自在四立的大余上减去十八，小余减去四百八十三，小分减去六，余数从纪首日起算，算外一日，就是四立之前土开始主事的日子。大余不够减，加六十；小余不够减，大余减一，加上纪法；小分不够减，小余减一，加上气法。

推算卦气主事之日：取用冬至的大余，小余乘以六，就是坎卦主事之日。再加小余一万零九十一，满元法就进到大余，就是中孚卦主事之日。求下一卦，各加大余六，小余九百六十七。四正卦，各自取对应中气之日，小余乘以六。

推算太阳所在度数算法：纪法乘以朔积日，减去周天的整数倍，余数除以纪法，商是度数，余数是分。度数从牛宿前五度开始起算，依次扣除各宿度数，不足一宿，就是天正十一月朔夜半太阳所在的度数与分。

求次日太阳位置：每日加一度，分不变；行经斗宿之时，减去斗分；分不够减，就退回一度。

推算月亮所在度数算法：月周乘以朔积日，减去周天的整数倍，余数除以纪法，商是度数，余数是分，起算方式同上，就是天正十一月朔夜半月亮所在度数与分。求次月朔夜半月亮位置：小月加二十二度、八百零六分；大月再多加一日，再加十三度、六百七十九分；分满纪法就进一度，得到次月朔夜半月亮度数。冬月下旬，黄昏时月亮在张宿、心宿，要专门标注。

推算合朔日月重合度数算法：章岁乘以朔小余，除以通法，商是大分，余数是小分。把大分加到朔夜半太阳的度分之上，分满纪法进一度，起算同上，就是天正十一月合朔之时日月共同重合的度数。

求次月合朔：加二十九度、九百七十七大分、四十二小分；小分满通法进到大分，大分满纪法进一度；行经斗宿时减去斗分，就是次月合朔日月重合度数。

推算弦望太阳所在度数：在合朔度数上加七度、七百零五大分、十小分、一微分；微分满二进为小分，小分满通法进为大分，大分满纪法进一度，起算同上，就是上弦太阳所在度数。继续累加，得到望、下弦、下月合朔太阳度数。

推算弦望月亮所在度数：在合朔度数上加九十八度、一千二百七十九大分、三十四小分，满数就进位，起算同上，就是上弦月亮所在度数。继续累加，依次得到望、下弦、下月合朔月亮度数。

推算日月昏、明时刻度数算法：太阳用纪法、月亮用月周，各自乘以临近节气的夜漏刻数，除以二百，得到明分。用纪法减去太阳明分、月周减去月亮明分，余下就是昏分。昏分、明分分别加到夜半度分之上，按法度换算，得到昏、明时日月度数。

推算合朔交会、月食算法：取入该纪的朔积分，加上本纪交会差率，减去会通整数倍，余数就是所求年天正十一月合朔距离黄白交点的度分。再加通数，满会通就减去，余数是次月合朔去交度分。用朔望合数加到当月合朔去交度分上，满会通减去，余数就是当月望日去交度分。朔、望的去交分，小于等于朔望合数、大于等于入交限数的，朔日就发生交会日食，望日就发生月食。

推算合朔交会、月食时月亮在黄道内侧还是外侧：取入该纪朔积分，加上本纪交会差率，减去两倍会通的整数倍；余数不满会通，如果纪首月亮在黄道外侧，那么天正合朔月亮就在外侧；纪首在内侧，天正合朔月亮就在内侧。余数满会通则减去，外侧转为内侧，内侧转为外侧。

求次月：加上通数，满会通减去；原本在内侧，累加至满就转到外侧；原本在外侧，累加至满就转到内侧。先交会日食、后月食的：朔在外侧，望也在外侧；朔在内侧，望也在内侧。先月食、后交会日食的：看发生月食那一月的朔，朔在内侧则望在外侧，朔在外侧则望在内侧。交会、月食去交分小于朔望合数，就是先交后会；大于等于入交限数，就是先会后交。若是先交后会、数值靠近限数，就提前观测前一月；先会后交、靠近限数，就延后观测后一月。

推算去交度：属于先交后会的，当前去交度分除以日法，所得就是已经越过交点的度数；属于先会后交的，用会通减去去交度分，余数除以日法，所得就是距离交点还有多少度，余下的就是度分。去交十五度以上，即便交会，也不会发生食；十度以内，一定有食；十度以上，亏食很轻微，只是光影略微相触。食分多少，以十五为最大限度。

推算日食亏起方位：月亮运行在黄道外道，先交后会的，日食从西南角开始亏缺；先会后交的，日食从东南角开始亏缺。月亮在内道，先交后会的，日食从西北角起亏；先会后交的，日食从东北角起亏。食分多少，同样以十五为限度。交会正在交点中心，就是全食。月食发生在太阳对冲位置，亏起方位和日食相反。

月行迟疾表： 一日，十四度十四分，益二十六，盈初，二百八十二 二日，十四度十一分，益二十三，盈积分一十一万八千五百三十四，二百七十七 三日，十四度八分，益二十，盈积分二十二万三千三百九十一，二百七十四 四日，十四度五分，益十七，盈积分三十一万四千五百七十一，二百七十一 五日，十四度一分，益十三，盈积分三十九万二千零七十四，二百六十七 六日，十三度十四分，益七，盈积分四十五万一千三百四十一，二百六十一 七日，十三度七分，损，盈积分四十八万三千二百五十四，二百五十四 八日，十三度一分，损六，盈积分四十八万三千二百五十四，二百四十八 九日，十二度十六分，损十，盈积分四十五万五千九百，二百四十四 十日，十二度十三分，损十三，盈积分四十一万零三百一十，二百四十一 十一日，十二度十一分，损十五，盈积分三十五万一千零四十三，二百三十九 十二日，十二度八分，损十八，盈积分二十八万二千六百五十八，二百三十六 十三日，十二度五分，损二十一，盈积分二十万零五百九十六，二百三十三 十四日，十二度三分，损二十三，盈积分十万四千八百五十七，二百三十一 十五日，十二度五分，益二十一，缩初，二百三十三 十六日，十二度七分，益十九，缩积分九万五千七百三十九，二百三十五 十七日，十二度九分，益十七，缩积分十八万二千三百六十，二百三十七 十八日，十二度十二分，益十四，缩积分二十五万九千八百六十三，二百四十 十九日，十二度十五分，益十一，缩积分三十二万三千六百八十九，二百四十三 二十日，十二度十八分，益八，缩积分三十七万三千八百三十八，二百四十六 二十一日，十三度三分，益四，缩积分四十一万零三百一十，二百五十 二十二日，十三度七分，损，缩积分四十二万八千五百四十六，二百五十四 二十三日，十三度十二分，损五，缩积分四十二万八千五百四十六，二百五十九 二十四日，十三度十八分，损十一，缩积分四十万五千七百五十一，二百六十五 二十五日，十四度五分，损十七，缩积分三十五万五千六百零二，二百七十一 二十六日，十四度十一分，损二十三，缩积分二十七万八千零九十九，二百七十七 二十七日，十四度十一分，损二十四，缩积分十七万三千二百四十二，二百七十八 周日，十四度十三分，损二十五，缩积分六万三千八百二十六，二百七十九

（附带小分六百零二；附带小分二百一十六、二十六）

推算合朔交会、月食入迟疾历算法：取入该纪朔积分，加上本纪迟疾差率，减去通周的整数倍；余数除以日法，商为日数，余数是日余，日数从一算起，算外一日，就是所求年天正十一月合朔入迟疾历的日子。

求次月合朔入历：加一日，日余加四千四百五十。求望日入历：加十四日，日余加三千四百八十九。日余满日法就进一日；日数满二十七就减去二十七。再拿日余和周日日余比较，日余不够减，就减去一日，加上周虚。

推算合朔、交会、月食的定大小余：用入历的日余，乘该日的损益率，用来增减盈缩积分，得到定积分。用章岁减去该日的月行分，用所得之数去除定积分；得数若是盈，就从本小余减去；若是缩，就加到本小余之上。相加之后满日法，交会发生的时刻就在后一日；相减不够减，交会时刻在前一日。月食就依照这个定大小余确定日期与时刻。入历刚好到周日的，用周日日余乘以缩积分，得到定积分；用损益率乘入历日余，再乘以周日日余，加上周日日度小分，以此减去定积分，余下为后定积分；用章岁减去周日月行分，得数乘以周日日余，加上周日度小分，去除后定积分，得数加到本小余上，规则同上。

推算加时：用十二乘以定小余，满日法就是一辰，从子辰起算，算外一辰，就是朔望交会的时辰。还有剩余，再乘以四，除以日法，得一为少，得二为半，得三为太。仍有余数，再乘以三，除以日法，得一为强；余数过半法算作强，不足半法舍去。强和少合并叫少强，强和半合并叫半强，强和太合并叫太强。两个强合并，称为少弱；少弱再加少，叫半弱；再加半，叫太弱；再加太，叫一辰弱。以所在辰来称呼，就能分出少、太、半、强、弱。月食望日在中气前后四日之内，参照限数；五日以上，参照间限。定小余小于间限、限数的，取上一日作为食日。

二十八宿度数： 斗二十六分四百五十五，牛八，女十二，虚十，危十七，室十六，壁九。北方一共九十八度四百五十五分。 奎十六，娄十二，胃十四，昴十一，毕十六，觜二，参九。西方一共八十度。 井三十三，鬼四，柳十五，星七，张十八，翼十八，轸十七。南方一共一百一十二度。 角十二，亢九，氐十五，房五，心五，尾十八，箕十一。东方一共七十五度。

二十四气、太阳位置、黄道去极、日中晷长： 冬至，十一月中，太阳在斗宿二十一少，距离北极一百一十五度，日中影长一丈三尺。 小寒，十二月节，太阳在女宿二少，距离北极一百一十三强，影长一丈二尺三寸。 大寒，十二月中，太阳在虚宿五半弱，距离北极一百一十太弱，影长一丈一尺。 立春，正月节，太阳在危宿十太弱，距离北极一百零六少弱，影长九尺六寸。 雨水，正月中，太阳在室宿八太强，距离北极一百零一强，影长七尺九寸五分。 惊蛰，二月节，太阳在壁宿八强，距离北极九十五强，影长六尺五寸。 春分，二月中，太阳在奎宿十四少强，距离北极八十九少强，影长五尺二寸五分。 清明，三月节，太阳在胃宿一半，距离北极八十三少弱，影长四尺一寸五分。 谷雨，三月中，太阳在昴宿二太，距离北极七十七太强，影长三尺二寸。 立夏，四月节，太阳在毕宿六太，距离北极七十三少弱，影长二尺五寸二分。 小满，四月中，太阳在参宿四少弱，距离北极六十九太，影长一尺九寸八分。 芒种，五月节，太阳在井宿十半弱，距离北极六十七少弱，影长一尺六寸八分。 夏至，五月中，太阳在井宿二十五半强，距离北极六十七强，影长一尺五寸。 小暑，六月节，太阳在柳宿三太强，距离北极六十七太强，影长一尺七寸。 大暑，六月中，太阳在星宿四强，距离北极七十度，影长二尺。 立秋，七月节，太阳在张宿十二少，距离北极七十三半强，影长二尺五寸五分。 处暑，七月中，太阳在翼宿九半，距离北极七十八半强，影长三尺三寸三分。 白露，八月节，太阳在轸宿六太，距离北极八十四少强，影长四尺三寸五分。 秋分，八月中，太阳在角宿五弱，距离北极九十半强，影长五尺五寸。 寒露，九月节，太阳在亢宿八半弱，距离北极九十六太强，影长六尺八寸五分。 霜降，九月中，太阳在氐宿十四少强，距离北极一百零二少强，影长八尺四寸。 立冬，十月节，太阳在尾宿四半强，距离北极一百零七少强，影长一丈。 小雪，十月中，太阳在箕宿一太强，距离北极一百一十一弱，影长一丈一尺四寸。 大雪，十一月节，太阳在斗宿六，距离北极一百一十三太强，影长一丈二尺五寸六分。

二十四气昼夜漏刻、昏中星、明中星： 冬至：昼四十五刻，夜五十五刻；昏中星奎六弱，明中星亢二少强。 小寒：昼四十五刻八分，夜五十四刻二分；昏中星娄六半强，明中星氐七强。 大寒：昼四十六刻八分，夜五十三刻二分；昏中星胃十一太强，明中星心半。 立春：昼四十八刻六分，夜五十一刻四分；昏中星毕五少弱，明中星尾七半弱。 雨水：昼五十刻八分，夜四十九刻二分；昏中星参六半弱，明中星箕半弱。 惊蛰：昼五十三刻三分，夜四十六刻七分；昏中星井十七少弱，明中星斗初少。 春分：昼五十五刻八分，夜四十四刻二分；昏中星鬼四，明中星斗十一弱。 清明：昼五十八刻三分，夜四十一刻七分；昏中星星四太，明中星斗二十一半。 谷雨：昼六十五刻五分，夜三十九刻五分；昏中星张十七，明中星牛六半。 立夏：昼六十二刻四分，夜三十七刻六分；昏中星翼十七太，明中星女十少弱。 小满：昼六十三刻九分，夜三十六刻一分；昏中星角太弱，明中星危太弱。 芒种：昼六十四刻九分，夜三十五刻一分；昏中星亢五太，明中星危十四强。 夏至：昼六十五刻，夜三十五刻；昏中星氐十二少弱，明中星室十二强。 小暑：昼六十四刻七分，夜三十五刻三分；昏中星尾一太强，明中星奎二太强。 大暑：昼六十三刻八分，夜三十六刻二分；昏中星尾十五半强，明中星娄三太。 立秋：昼六十二刻三分，夜三十七刻七分；昏中星箕九太强，明中星胃九太弱。 处暑：昼六十二刻，夜三十九刻八分；昏中星斗十少，明中星毕三太。 白露：昼五十八刻七分，夜四十二刻二分；昏中星斗二十一强，明中星参五少强。 秋分：昼五十五刻二分，夜四十四刻八分；昏中星牛五少，明中星井十六少强。 寒露：昼五十二刻六分，夜四十七刻四分；昏中星女七太，明中星鬼三少强。 霜降：昼五十三刻，夜四十九刻七分；昏中星虚六太，明中星星三太。 立冬：昼四十八刻二分，夜五十一刻八分；昏中星危八强，明中星张十五太强。 小雪：昼四十六刻七分，夜五十三刻三分；昏中星室三半强，明中星翼十五太。 大雪：昼四十五刻五分，夜五十四刻五分；昏中星壁半强，明中星轸十五少强。

以上二十四节气，按算法推算，以冬至十一月中气为起点。依次累加，得到次月节气，节气再加，得到当月中气。昏明中星以太阳所在位置为准。取所求年二十四气的小余乘以四，除以法度，商为少；有余数再乘以三，除以法度，得数为强。用这个来校正各节气昏明中星，得到确定数值。

推算五星算法：五星，木叫岁星，火叫荧惑，土叫填星，金叫太白，水叫辰星。五星运行，有快有慢，有停留、有逆行。自从天地开辟，清浊分开，日月五星最初汇聚在星纪。从星纪出发，一同在天运行，快慢、停留、逆行，彼此互相追上。行星和太阳会合，同宿共度，就称为合。从一次会合到下一次会合的时间，称为一终。分别用一终的日数和一岁的日数，通分约分，得到两组比率：一终所对应的年数，叫合终岁数；一终对应的会合次数，叫合终合数。两组比率确定之后，各项法数由此生成。章岁乘以合数，得到合月法；纪法乘以合数，得到日度法；章月乘以岁数，得到合月分；合月分除以合月法，商为合月数，余数为月余。通数乘以合月数，除以日法，商为大余，减去六十的整数倍，余数是行星会合对应的朔大余；大余余下的零头，是朔小余。通数乘以月余，合月法乘以朔小余，两项相加，除以日法与合月法的乘积，得数就是行星会合在月内的日数；余数用通法约简，得到入月日。日法减去朔小余，得到朔虚分。历斗分乘以合数，得到星度斗分。木星、火星、土星，各自用合数减岁数，余数乘以周天，除以日度法，商是行星在一终之内向前运行的度数，余数是度余。金星、水星，直接用周天乘以岁数，除以日度法，商是行星度数，余数是度余。

木星： 合终岁数，一千二百五十五。 合终合数，一千一百四十九。 合月法，二万一千八百三十一。 日度法，二百一十一万七千六百零七。 合月数，十三。 月余，一万一千一百二十二。 朔大余，二十三。 朔小余，四千零九十三。 入月日，十五。 日余，一百九十九万五千六百六十四。 朔虚分，四百六十六。 斗分，五十二万二千七百九十五。 行星度，三十三。 度余，一百四十七万二千八百。

火星： 合终岁数，五千一百零五。 合终合数，二千三百八十八。 合月法，四万五千三百七十二。 日度法，四百四十万一千零八十四。 合月数，二十六。 月余，二万零三。 朔大余，四十七。 朔小余，三千六百二十七。 入月日，十三。 日余，三百五十八万五千二百三十。 朔虚分，九百三十二。 斗分，一百零八万六千五百四十。 行星度，五十。 度余，一百四十一万二千一百五十。

土星： 合终岁数，三千九百四十三。 合终合数，三千八百零九。 合月法，七万二千三百七十一。 日度法，七百零一万九千九百八十七。 合月数，十二。 月余，五万八千一百五十三。 朔大余，五十四。 朔小余，一千六百七十四。 入月日，二十四。 日余，六十七万五千三百六十四。 朔虚分，二千八百八十五。 斗分，一百七十三万三千零九十五。 行星度，十二。 度余，五百九十六万二千二百五十六。

金星： 合终岁数，一千九百零七。 合终合数，二千三百八十五。 合月法，四万五千三百一十五。 日度法，四百三十九万五千五百五十五。 合月数，九。 月余，四万零三百一十。 朔大余，二十五。 朔小余，三千五百三十五。 入月日，二十七。 日余，十九万四千九百九十。 朔虚分，一千零二十四。 斗分，一百零八万五千一百七十五。 行星度，二百九十二。 度余，十九万四千九百九十。

水星： 合终岁数，一千八百七十。 合终合数，一万一千七百八十九。 合月法，二十二万三千九百九十一。 日度法，二千一百七十二万七千一百二十七。 合月数，一。 月余，二十一万五千四百五十九。 朔大余，二十九。 朔小余，二千四百一十九。 入月日，二十八。 日余，二千零三十四万四千二百六十一。 朔虚分，二千一百四十。 斗分，五百三十六万三千九百九十五。 行星度，五十七。 度余，二千零三十四万四千二百六十一。

推算五星会合：取壬辰元以来到所求年份，乘以合终合数，除以合终岁数，商叫积合，余数叫合余。用合终合数减去合余：得数为一，行星会合在上一年；得数为二，会合在前两年；没有余数，会合就在本年。合余减去合终合数得到的差，是度分。金星、水星，积合是偶数，为晨见；奇数，为夕见。

推算五星会合月份：月数、月余分别乘以积合，月余满合月法就进为一月，得到积月，余下为月余。积月除以纪月，商之外，得到所属纪，余数是入纪月。另拿积月乘以章闰，除以章月，商是闰月数，用入纪月减去闰月数；再减去岁中十二的整数倍，余数就是入岁月，从天正十一月起算，算外一月，就是行星会合的月份。如果刚好在闰月交接之处，以朔日为准。

推算会合月朔日：通数乘以入纪月，除以日法，商是积日，余数是小余。积日减去六十整数倍，余数为大余，从该纪首日起算，算外一日，就是行星会合的朔日。

推算入月日：通数乘以月余，合月法乘以朔小余，两项相加，除以通法；得数满日度法进一日，就是行星会合在月内的日数，不满的是日余。从朔日起算，算外一日，就是入月日。

推算会合度数：周天乘以度分，除以日度法，商是度数，余数是度余；度数从牛宿前五度起算，算外一度，就是行星会合的位置。

求下一次会合月份：把合月数加到入岁月，月余加上月余；月余满合月法进一月。月份不满岁中十二，就在本年；满十二就减去，有闰月则计入，余下的归入下一年；再满十二，归入后二年。金星、水星，晨合之后再算就是夕合，夕合之后再算就是晨合。

求下一次会合朔日：用会合朔的大小余，加上合月大小余；如果前面月余进位成月，还要再加二十九大余、二千四百一十九小余；小余满日法进到大余，起算同上。

求下一次入月日：用入月日、日余，加到本次入月日与日余之上；日余满日度法进一日。前一次会合朔小余超过朔虚分，减去一日；后一次朔小余大于等于二千四百一十九，减去二十九日；不足，减去三十日，剩下的就是后一次会合入月日，从朔日起算。

求下一次会合度数：度数、度分，依照前面的宿次起算。

木星：早晨和太阳会合，隐伏，顺行，历经十六日九十九万七千八百三十二分，运行二度一百七十九万五千二百三十八分，然后清晨在东方出现，位置在太阳之后。顺行，速度快，每日行十一/五十七度，五十七日运行十一度。顺行，速度放缓，每日行九分，五十七日运行九度，然后停留不动。停留二十七日之后转向逆行。逆行，每日行七分之一度，八十四日退回十二度，再停留二十七日。再转为顺行慢走，每日行九分，五十七日运行九度，之后再顺行快走，每日行十一分，五十七日运行十一度，走到太阳前面，黄昏隐伏在西方。顺行，历经十六日九十九万七千八百三十二分，运行二度一百七十九万五千二百三十八分，然后再次和太阳会合。木星一终总共三百九十八日一百九十九万五千六百六十四分，向前运行三十三度一百四十七万二千八百六十九分。

火星：早晨和太阳会合，隐伏，历经七十二日一百七十九万二千六百一十五分，运行五十六度一百二十四万九千三百四十五分，清晨在东方出现，在太阳之后。顺行，每日行十四/二十三度，一百八十四日运行一百一十二度。继续顺行，速度变慢，每日行十二分，九十二日运行四十八度，然后停留。停留十一日之后转向逆行。逆行，每日行十七/六十二度，六十二日退回十七度，再停留十一日。再顺行慢走，每日行十二分，九十二日运行四十八度，之后转为快走，每日行十四分，一百八十四日运行一百一十二度，走到太阳前面，黄昏隐伏西方。顺行，历经七十二日一百七十九万二千六百一十五分，运行五十六度一百二十四万九千三百四十五分，然后和太阳会合。火星一终总共七百八十日三百五十八万五千二百三十分，向前运行四百一十五度二百四十九万八千六百九十分。

土星：清晨与太阳会合，隐伏，历时十九日，又三百八十四万七千六百七十五又二分之一分，在这段时间里运行二度，又六百四十九万一千一百二十一又二分之一分，之后清晨在东方出现，位置在太阳之后。土星顺行，每日运行一百七十二分之十三度，八十六日一共运行六度半，然后停留不动。停留三十二日半之后，开始反向逆行。逆行时每日运行十七分之一度，一百零二日退回六度，之后再次停留不动。又停留三十二日半，重新顺行，每日运行十三分之一度，八十六日运行六度半，位置跑到太阳之前，傍晚在西方隐伏。继续顺行，历时十九日，又三百八十四万七千六百七十五又二分之一分，运行二度，又六百四十九万一千一百二十一又二分之一分，再次和太阳会合。土星一个会合周期，一共三百七十八日，又六十七万五千三百六十四分，总共运行十二度，又五百九十六万二千二百五十六分。

金星：清晨与太阳会合，隐伏，六日之内退行四度，之后清晨在东方出现，位置在太阳之后，并且逆行。速度缓慢时，每日退行五分之三度，十日一共退回六度。之后停留不动，七日之后转为顺行。顺行缓慢阶段，每日运行四十五分之三十三度，四十五日运行三十三度；继而速度加快，每日运行一度九十一分之十四度，九十一日运行一百零五度；速度进一步加快，每日运行一度九十一分之二十一度，九十一日运行一百一十二度，位置在太阳之后，随后清晨在东方隐伏。顺行四十二日，又十九万四千九百九十分，运行五十二度，又十九万四千九百九十分，而后和太阳会合。这一次会合周期，一共二百九十二日，又十九万四千九百九十分，金星运行的度数和上面的度数相同。

金星：傍晚和太阳会合，隐伏，顺行四十二日，又十九万四千九百九十分，运行五十二度，又十九万四千九百九十分，之后傍晚在西方出现，位置在太阳之前。顺行，速度较快，每日运行一度九十一分之二十一度，九十一日运行一百一十二度；之后速度转慢，每日运行一度九十一分之十四度，九十一日运行一百零五度；速度进一步放缓，每日运行四十五分之三十三度，四十五日运行三十三度，然后停留不动。停留七日之后，转为逆行。逆行时每日退行五分之三度，十日退回六度，位置在太阳之前，傍晚在西方隐伏。继续逆行六日，退行四度，而后和太阳会合。金星两次会合为一个完整周期，一共五百八十四日，又三十八万九千九百八十分，运行度数和上面的度数相同。

水星：清晨和太阳会合，隐伏，十一日之内退行七度，之后清晨在东方出现，位置在太阳之后。逆行速度很快，一日退行一度，然后停留不动。停留一日之后，转为顺行。顺行缓慢阶段，每日运行八分之七度，八日运行七度；速度加快之后，每日运行一度十八分之四度，十八日运行二十二度，位置在太阳之后，清晨在东方隐伏。顺行十八日，又二千三十四万四千二百六十一分，运行三十六度，又二千三十四万四千二百六十一分，而后和太阳会合。这一次会合周期，一共五十七日，又二千三十四万四千二百六十一分，运行度数和上面度数相同。

水星：傍晚和太阳会合，隐伏，顺行十八日，又二千三十四万四千二百六十一分，运行三十六度，又二千三十四万四千二百六十一分，之后傍晚在西方出现，位置在太阳之前。顺行速度较快，每日运行一度十八分之四度，十八日运行二十二度；之后速度放缓，每日运行八分之七度，八日运行七度，然后停留不动。停留一日之后，转为逆行，一日退行一度，位置在太阳之前，傍晚在西方隐伏。继续逆行十一日，退行七度，而后和太阳会合。水星两次会合为一个完整周期，一共一百一十五日，又一千八百九十六万一千三百九十五分，运行度数和上面度数相同。

五星推步算法

用隐伏的日数、度数以及余分，加上行星和太阳会合的日数、度数以及余分；余分满日度法就进一，并入整数，依照前面的规则推算，就能得到行星出现的日期、度数以及余分。用行星行度的分母，乘所见度数的余分，所得之数除以日度法，得到整数；分除不尽的，如果过半，也算作一分。之后逐日累加当日行分，分满分母就进一度。逆行、顺行的分母不一样，要用当下行度的分母，去乘原有分，再除以原来的分母，换算成当下对应的行分。停留不动的阶段，延续之前的度数；逆行的时候，度数减去行分；隐伏阶段不记录度数。计算时除去斗分，以行度分母作为换算标准。分有增减损益，前后互相制衡抵消。

五大行星在天上运行，有快、慢、停留、逆行，大体上有固定规律；但是至于行星相犯、留守、逆行、顺行这类精细天象，很难只用算法完全推求。月亮在天上运行尚且有快慢变化，更何况五星呢？只有太阳运行恒定，进退有固定节律，不快不慢，轨道不偏内也不偏外，正如人君的德行。

推算木星会合终周的年数方法：用木星的日度法，乘木星一个终周的总日数，纳入余分，再用周天度数去除，就能得到结果。推算木星会合终周的合数方法：用木星日度法乘周天，所得之数满纪法就舍去，余下的数再用周天去除，就得到结果。其余四星都仿照这个办法。

魏黄初元年十一月是小月，己卯为蔀首，这一年是己亥年，十一月己卯朔日清晨为冬至，杨伟上奏献上这部历法。

刘备割据蜀汉的时候，没有改订历法，应当是沿用汉代《四分历》。吴国中书令阚泽，向东莱人徐岳（字公河）学习刘洪的《乾象历》。所以孙吴政权使用《乾象历》，一直用到吴国灭亡。

晋武帝泰始元年，主管官员上奏：帝王要祭祀本朝对应的祖气，奉守本朝德运终始。晋在五行次序里应当崇尚金德；金生于巳，兴盛于酉，终结于丑。应当在酉日举行祖祭，丑日举行腊祭。把《景初历》改名为《泰始历》。奏疏得到批准。

史臣评议：邹衍的五德学说，认为周朝是火德。邹衍生活在周代，不可能不知道周朝的德运。况且周朝享国八百年，秦朝承接周朝的天下。周属火德、秦属水德，这件事很容易理清。五德更替称王，只有两种主流说法：邹衍以五行相胜为体系，刘向以五行相生为义理。讨论这件事，跳不出这两家。如果依从刘向的说法，周朝是木德，秦朝取代周朝，改换德运。若是相胜之说，克制木的是金；若是相生之说，木生火。可是秦朝自称水德，从这个角度看，刘向的说法就站不住脚。我认为张苍虽然是汉朝臣子，生在周秦相接之时，曾经在秦朝担任柱下史，饱览图籍文书。秦朝虽然焚书禁学，却没有废弃术数；周代遗留文献虽然没有全部留存，但是张苍认定汉朝为水德，不是凭空捏造。贾谊《取秦篇》说汉朝是土德，意思是汉取代秦。细究两种说法，各有道理。张苍认为汉水德胜周火德，不把秦朝算作独立一德，摒除秦代；贾谊认为汉土德胜秦水德，承认秦是独立一代。二人对秦定位不同，但都认定周朝是火德。两相比较，五行相胜的说法更贴合事理。如果依从张苍，摒除秦朝，就是汉水德、魏土德、晋木德、宋金德；如果依从贾谊《取秦》的说法，就是汉土德、魏木德、晋金德、宋火德。有人诘难：汉高祖斩白蛇，夜里有神母哭泣，说赤帝之子斩杀白帝之子，那汉朝难道不是火德吗？这个说法不对。汉如果是火德，就应当直接说赤帝，不该说赤帝之子；白帝之子又该怎么解释？其实汉朝是土德，土由火而生；秦朝是水德，水由金而生。所以汉为土德，称为赤帝之子；秦为水德，称为白帝之子。诘难者又问：刚才说五德相胜，现在又说土是赤帝之子，这是什么道理？答：五行本来就有相胜的道理，也有相生的道理，不能因为讲相胜就抛弃相生，也不能因为讲相生就抛弃相胜。相胜，指土可以胜水；相生，指土由火生出，两件事理并不冲突。

崔寔《四民月令》记载：祖，就是道路之神。黄帝的儿子叫累祖，喜好远游，死在路上，所以后人祭祀他作为道路神。《祖赋序》说：汉代用丙午日祖祭，魏用丁未日祖祭，晋用正月的酉日祖祭。都说不清祖祭的由来。解释的人说，向道路之神祈祷，叫做祖祭。出行之人，在道路中间设祭；丧葬迁棺，在庭前向神祷告。还有一种说法：远代先祖，名号谥号早已湮没，坟墓碑铭不复存在，游魂没有宗庙可以依托，所以在岁首吉日，张华盖、树彩旗，用来招引先祖灵魂，盼望诸位先祖前来依附。

东晋时期，侍中平原人刘智推算，认为三百年斗历就要改历，提出《四分历》每三百年就会差一天，以一百五十为度法，三十七为斗分。用虚浮的文辞修饰，来支撑自己的理论。东晋中领军琅邪人王朔之，推崇他这套上元起于甲子的算法，想要以九万七千岁的甲子作为天地开辟的开端，何承天评价他立意荒唐。《景初历》正午测日影的标准，沿用汉代《四分历》，所以时间久了误差越来越明显。它推算五星运行，也十分粗疏。东晋以后，改用《乾象历》的五星推法替代它，依然有前后偏差。

宋太祖十分喜爱历数，太子率更令何承天私下编撰新历法。元嘉二十年，他上表说：

臣天性愚钝懒散，年少时很少钻研学问。但是自幼喜爱历数，潜心钻研，直到白头。我已故舅父、前秘书监徐广，向来精通历法，留有过往《七曜历》，常常记录历法的得失，从太和年间一直到泰元末年，前后四十多年。我接着逐年考订核验，到现在又四十年。所以历法的疏密、天象的差合，我都能够知晓。

天体永远运转，日月五星运行，离合远近，虽然有固定趋势，但是新旧推算体系互相衔接，自然会产生微小的误差；日积月累，细微偏差就会变得明显。所以《虞书》记载恭敬顺天的典章，《周易》写明修订历法的训诫，意思是历法应当顺应天象去贴合天道，而不是强行改动天道，来迎合历法的推算。汉代在清台观测天象，用昏明时节的中星，校验太阳所在星次；太阳位置虽然不能直接看见，但是月食发生的时候，月亮一定正对太阳，凭借月食就可以反推太阳的位置。简单可行的办法不去用，却费心去钻研艰难的推算，这是我不能理解的。

《尧典》说：“白昼最长，大火星在中天，用来确定仲夏。”现在夏季末尾，大火星才在中天。又说：“昼夜均分，虚星在中天，用来确定仲秋。”现在秋季末尾，虚星才在中天。从尧时到现在两千七百多年，用中星核验，已经差了二十七八度。那么尧时冬至，太阳大约在须女十度附近。汉代《太初历》冬至在牵牛初度，后汉《四分历》、魏《景初历》冬至都在斗宿二十一度。我用月食核验，按照现在的《景初历》，冬至太阳应当在斗宿十七度。另外史官奉命，用土圭测日影，校验二至，已经相差三天有余。历年记录以及交州上报的观测数据，核对增减变化，也互相印证。也就是说现在历法标注的冬至夏至，并不是天象实际的冬至夏至。天象上的冬至，太阳在斗宿十三、四度。这就是十九年七闰的古法，数值精微，久用多误差。如果重新修改章法，计算会更加繁复，应当随时代修订，贴合天象。查《后汉书·律历志》，春分白昼长，秋分白昼短，相差超过半刻。二分在二至之间，却有昼长昼短的差别，是因为春分靠近夏至，所以白昼更长；秋分靠近冬至，所以白昼更短。杨伟没有明白这个道理，直接沿用这个旧数据，他在上历表中说：从古至今所有历法，都比不上他这部精妙。连这个道理都不懂，又怎么称得上精妙。所以我重新制定《元嘉历》，以六百零八为一纪，半数作为度法，七十五为室分，以建寅之月作为岁首，雨水作为节气开端，以闰余满一的年份作为章首。冬至比旧历上移三天五时。太阳所在星次，比旧历前移四度。月亮运行有快慢，合朔、月食不一定正好在朔望，这不符合历法本意。所以《元嘉历》全部根据月亮盈缩来定小余，校正朔望日期。

陛下圣明通达，行事顺应天道，勤于政务，光大基业，深入研读古籍，探求前人未曾阐明的历法妙理，通晓万物变化，无不博览。所以愚臣有幸生在盛世，献上浅陋的见解。恳请把我呈上的《元嘉历》下发史官，检验疏密。如果有可取之处，或许可以补正旧历的疏漏，以备选用。

皇帝下诏说：何承天的奏陈，很有道理。可以交付外朝详细讨论。太史令钱乐之、兼太史丞严粲上奏说：

太子率更令兼国子博士何承天上表请求改定《元嘉历》，他凭借月食核验，得出如今冬至太阳在斗宿十七度；用土圭测影，知道冬至已经差了三天。诏书下令交付外官核验。我们从元嘉十一年奉敕，核验月食、土圭测影，原先沿用杨伟《景初历》，冬至太阳在斗宿二十一度少。核验元嘉十一年七月十六日望月食，发生在卯时，十五日四更二唱丑初开始亏食，到四更食尽，月亮在营室十五度末。按《景初历》推算这天太阳在轸宿三度。以月食对冲位置反推，这天太阳应当在翼宿十五度半。又元嘉十三年十二月十六日望月食，发生在酉时，亥初开始亏食，一更三唱食尽，月亮在鬼宿四度。《景初历》推这天太阳在女宿三度。对冲反推，太阳应当在牛宿六度半。又元嘉十四年十二月十六日望月食，发生在戌时过半，二更四唱亥末开始亏食，三更一唱食尽，月亮在井宿三十八度。《景初历》推这天太阳在斗宿二十五度。对冲反推，太阳应当在斗宿二十二度半。元嘉十五年五月十五日望月食，发生在戌时，月亮刚圆就发生食，已经亏了四分之一，月亮在斗宿十六度左右。《景初历》推这天太阳在井宿二十四度。对冲反推，太阳应当在井宿二十度。元嘉十七年九月十六日望月食，发生在子时稍早，十五日未到二更一唱开始亏食，三唱亏食十五分之十二，月亮在昴宿一度半。《景初历》推这天太阳在房宿二度。对冲反推，太阳应当在氐宿十三度半。一共五次月食，用月食对冲一百八十二度半核验，冬至太阳都不在斗宿二十一度少，全都在斗宿十七度半附近，和何承天所说一致。

另外从元嘉十一年起，我们用土圭测日影。这一年《景初历》记载十一月七日冬至，前后阴天，看不到日影。十二年《景初历》十一月十八日冬至，十五日影长达到最长。十三年《景初历》十一月二十九日冬至，二十六日影最长。十四年《景初历》十一月十一日冬至，前后阴天不见影。十五年《景初历》十一月二十一日冬至，十八日影最长。十六年《景初历》十一月二日冬至，十月二十九日影最长。十七年《景初历》十一月十三日冬至，十日影最长。十八年《景初历》十一月二十五日冬至，二十一日影最长。十九年《景初历》十一月六日冬至，三日影最长。二十年《景初历》十一月十六日冬至，前后阴天不见影。综合前后观测，以影最长之日作为真正冬至，全都比旧历标注日期早三天。用月食核验太阳位置，已经差四度；土圭测影，冬至又差三天。真正的冬至，太阳在斗宿十四度附近，同样和何承天所说一致。

但是何承天的新法，每月朔望、上下弦，都重新确定大小余，虽然推算交会时刻精准，但是全部使用月亮盈缩，会出现连续三个大月、连续两个小月，和旧历差别很大。旧历日食不一定只在朔日，也会发生在晦日、初二。《公羊传》所说“有的提前，有的延后”。我们认为这一条应当照旧。

员外散骑郎皮延宗又诘难何承天：如果晦朔强行固定大小余，纪首恰逢盈分，就要退一日，就会把旧岁的晦日，当成新纪第一天。何承天于是修改新法，依从旧术，不再每月定大小余，采纳皮延宗的诘难、太史的意见。

主管官员上奏：修订历法、改定宪度，是治国大典。汉魏以来，多次更改。正是因为历法算法没有永久不变的，只求贴合当时天象。如今皇朝教化光大，疆域安定，确实应当核查日影星度，推行新历。何承天的历法，可以施行。宋文帝元嘉二十二年，全国正式使用《元嘉历》。皇帝下诏批准。

志第三　历下

《元嘉历法》

从上元庚辰甲子纪首，到太甲元年癸亥，一共三千五百二十三年；到元嘉二十年癸未，五千七百零三年，计算的时候不计入上元本身这一年。

元法：三千六百四十八 章岁：十九 纪法：六百零八 章月：二百三十五 纪月：七千五百二十 章闰：七 纪日：二十二万二千零七十 度分：七十五 度法：三百零四 气法：二十四 余数：一千五百九十五 岁中：十二 日法：七百五十二 没余：三十六 通数：二万二千二百零七 通法：四十七 没法：三百一十九 月周：四千零六十四 周天：十一万一千零二十五 通周：二万零七百二十一 周日日余：四百一十七 周虚：三百三十五 会数：一百六十 交限数：八百五十九 会月：九百二十九 朔望合数：八十

甲子纪第一：迟疾差一万七千六百六十三，交会差八百七十七 甲戌纪第二：迟疾差三千零四十三，交会差二百七十九 甲申纪第三：迟疾差九千一百四十四，交会差六百二十 甲午纪第四：迟疾差一万五千二百四十五，交会差二十二 甲辰纪第五：迟疾差六百二十五，交会差三百六十三 甲寅纪第六：迟疾差六千七百二十六，交会差七百零四

推求入纪方法

取上元庚辰年到所求年份的总年数，除以元法；余数不满元法，再除以纪法；余下的数不满纪法，就是入纪之后的年数。满纪法就减去，归入下一纪。从甲午纪壬辰年，到元嘉二十年癸未，一共二百三十一年，计算不计入壬辰本岁。

推积月算法

取入纪年数（不算本年），用章月相乘，除以章岁，得到积月；除不尽的是闰余。闰余大于等于十二，这一年置闰。