求上弦、望、下弦 在平朔的基础上加七日、余四百七十五小，就是上弦的平日及余。继续累加，依次得到望、下弦、下一月平朔。如果直接求望，加十四日、余九百五十半；求下弦，加二十二日、余一百八十三大；求次月平朔，加二十九日、余六百五十九。每月加闰衰二十大，就是当月的闰衰。

凡是月建在子，叫作天正；建丑，叫作地正；建寅，叫作人正。本历法以人正之月为正月，整套推算的源头，依旧本于天正。如果历法以正月作为岁首，节气、物候、月序、星次对应的节度，即便有先后偏移，全都跟着正月起算。正月之前，地正之月为十二月，天正之月为十一月，这些月份的节气度数，都归属上一年。一日的起始，也从星纪起点算起，夜半之前的时刻，全都归属于前一日。如果节气交在夜半之后，就以日影测定后的次日为本日。凡是用加法推算的，都用定余减去法数，剩下的就是全余。如果用来相加的余数大于等于全余，就先加整日，再减去全余；如果原有的余数小于全余，不用加整日，直接相加，就能得到所求之数。分度的算法也是如此。 不满一日的部分叫作余；累积而成的微小余数叫作秒；不满一度的部分叫作分；累积而成的微小分叫作篾；比秒更小、不足以成为一秒的叫作麽；比篾更小、不足以成为一篾的叫作幺。分、余、秒、篾的记法：一为小，二为半，三为大，四为全，满全就进一。三分的记法：一为少，二为太。做加法的时候，秒、篾积满法数就进为分、余；分、余积满法数就进一日、一度；日、度积满规定的周期，就扣除周期之数。纪日用干支辰次，满旬周六十也要扣除；干支连带分、余、秒、篾一同记述的，也跟着整数扣除。日、度虽然满数，但分、秒没有满法的，不能扣除，依旧保留原数。 做减法的时候，秒、篾不够减，就从分、余借一，加上法数再减；分、余不够减，就从前面的日、度借一，再减。如果名目是总数，整数日度和分余合在一起，加减的时候整数和零余要一并运算。如果需要相乘，而数字带有分余，先要把整数通分并入分子，乘完之后再做除法。多个分余相加，分母不同的，交叉相乘统一分子；分母相乘作为公分母；相加之后满分母就进一为整数，这就是齐同术。做完除法得到分余，如果还有剩余、需要拆成秒、篾的，先用法数相乘，再用原法相除，得到秒、篾。已经算出秒、篾，或是本身只有分余，零碎部分不需要再细分的，过半就进一，不足一半就舍弃。分余分母不一样，需要换算的，用目标分母乘当前分余，除以原有分母，得到新分母下的分子。秒、篾、麽、幺的换算同理。 运算扣除之后还有剩余整数，叫作不尽，也叫不如；达不到整数、不满分、余、秒、篾的，叫作不成。凡是数字相减，里面有小、半、太这类名目需要加减，和分余算法一致的，都用分母三、四去除日度法数，用半、太、本率二、三相乘；少、小就根据除得的结果，跟着分余增减。秋分之后、春分之前用盈泛；春分之后、秋分之前用亏总，取用对应的数值。盈泛、亏总的命名，对应使用时节，以春分为界，亏总用于春分之后，盈泛用于春分之前。后文凡是没有另行说明的同类算法，都仿照这条规则。

气日法：四万六千六百四十四 岁数：一千七百零三万六千四百六十六半 度准：三百三十八 约率：九 气辰：三千八百八十七 余通：八百九十七 秒法：四十八 麽法：五

推气术（推算节气算法） 用闰衰的一半乘朔实，再用度准乘朔余，两项相加，除以约率；得数满气日法，就是距离平朔的日数，不满气日法的是气余。用这个距平朔日数，得到天正十一月冬至恒日和恒余。如果要加上夜半的半数，就减一日，本数不够减的，沿用前一日，得到定日。以甲子起算，不算甲子日本身，就是冬至定日。 气余如果小于等于半气辰一千九百四十三半，说明节气交在子半之后；如果超过这个数，先减去半气辰，再除以气辰，从子起算、不计子，得到节气所在的辰。超出十二辰，就是子初之后的余数。辰余再乘以十二： 四，叫作小太，也叫少； 五，叫作半步； 六，叫作半； 七，叫作半太； 八，叫作大少，也叫太； 九，叫作太； 十，叫作大太； 十一，叫作穷辰少。 零碎不够一法的部分，过半就进一位，不足就退一位。退一位，依附前一辰叫作强；进一位，依附后一辰叫作弱。本来不足一、又有退数的，叫作沾辰；本来到十一、又有进数的，叫作穷辰。天亮之前，名目有重叠的，可以在中间进位；确定辰位统一使用余数，分辨日分、辰次，判别日期。其余推算都依照这个准则。如果冬至推算时有减日的情况，后续推算要补回。 每次加十五日、余一万一百九十二、秒三十七，依次得到各个节气的恒日及余。各个月份对齐闰衰，仿照求冬至的办法，就能求出当月中气距离平朔的恒日数。求下一月节气恒日，反向用减法，和求上一节气一致。

推每日迟速数术（推算太阳每日运行迟速算法） 取所求节气的陟降率，加上后一节气的陟降率，取平均值；乘以日限，除以盈泛或亏总，得到本节气末率。再用日限乘前后两率之差，除以盈泛、亏总，得到总差。总差再乘日限、除以盈泛亏总，得到别差。 如果前一节气率小，就用总差减去末率作为初率，逐日累加别差；如果前一节气率大，直接用总差加上末率作为初率，这就是节气首日的陟降数。之后，前大则每日减去别差，前小则每日加上别差，得到每日陟降数。在所求的定气日期上跟着演算，陟就加迟速数、降就减迟速数，得到当日太阳迟速定数。 后一节气没有同型比率，或是比率相同的，就承接前一个末数作为初率，加总差得到末率，用别差依次累加初率，算出每日数值，统合秒数，调算使用。

求月朔弦望应平会日所入迟速 把平朔、弦、望的平余换算成辰数，减去入气辰；再用日限乘日，日内辰作为入限。入限乘本气前大的末率，或是前小的初率，除以日限，得到总率。 前大的情况：用盈泛减去入限的余数，乘总差，除以盈泛得到入差；并入总差，乘入限，除以两倍日限，加到总率之上。 前小的情况：入限自乘两次，乘别差，除以日限平方的两倍，加到总率之上。两项相加得到总数。陟加、降减本气迟速数作为定数；速则加、迟则减平余，得到朔弦望平交会日的迟速定日及余。

求每日所入先后 取本气躔衰、衰总，都乘以余通；躔衰对应陟降率，衰总对应迟速数，算法和求迟速一样，得到每日先后定数。

求定气 每日先后数就是气余。遍历日子，先加后减，逐日核算，累计余数；满一个恒气长度，就是二至之后下一个定气。叠加推算，依次命名日期，得到各个定气日及余。也可以用已经算出的先后通数，先减后加恒气，得到下一节气定日。同样以甲子纪日，得到所求。

求土王日 距离四立各四个节气之外，累计先后加减数，满二十二日、余八千一百五十四、秒十、麽二。除去满的整日，余下的就是土开始主事之日。

求候日 定气首日就是初候。恒气三等分，得到平候长度。余同样用先后数作为气余，遍历日子先加后减，逐日核算余数；每积满一个平候长度，就叠加候日，得到次候日。依次推算，得到末候以及下一节气日。

夜半漏刻翻倍，就是夜刻。用一百刻减去夜刻，剩下的是昼刻。昼刻每减五刻，夜刻就加五刻，此时昼刻是太阳可见时段，夜刻是太阳不可见时段。刻分以一百为分母。

求日出入辰刻 一百刻除以十二，得到每辰刻数，作为法数。半不可见刻加上半辰，为日出实数；再加昼刻，为日入实数。除以法数，从子起算不计子，得到所在辰；除不尽的，就是刻和刻分。

求辰前余数 气日法或者朔日法乘夜半刻，除以一百，得到余数。

求每日刻差 一个节气按十五日核算，二百二十五全刻为法。冬至、夏至向二分前后排布，数值互相加减，中间各六个节气；到四立为止，各三个节气。冬至、夏至和前一日合为一段，每日增太；再往后两个节气，每日增少；最后一个节气，每日增少之小，末尾六日不再增加，持平。 两个望日到前一气末日，刻差到十少；气首日渐增到十二半，末尾二十太；三气首日二十一，末尾三十少；四立首日三十一，末尾三十五太；第五气小幅递增，首日三十六太，末尾四十一少；末气首日四十一少，末尾四十二。 逐气累计得数，乘以一百八十作为实，乘对应盈泛、亏总，除以法，得到刻差。用刻差对半增减夜刻，得到入气夜定刻。春分之后十五日之外，累计整日另外存放，乘以一百八十，除以亏总，得到基数，用基数减去前面得数，剩下的是加量。不足整日的，依照辰率折算。

求晨去中星 周天度数加一，减去昏去中星度，剩下的就是晨去中星度。

求每日度差 依照前面增减裁取的规则累计得数，乘以一百四十三，除以四百；又乘以一百八十，除以盈泛亏总，得到度差。满转法进一度，逐日加减，得到结果。春分之后的节气区间，也要核算基准之外的数值，反向推算到二分，加减依照日数。也可以以二至为中心：冬至附近刻减度加，夏至附近刻加度减。在二至之前的，用气总长度减去入气日数，剩余的依托后气反向运算，用剩余日数乘除定数，从后往前反向加减。这里只是大略汇总，精细记载在《稽极》之中。

转终日：二十七，余一千二百五十五 终法：二千二百六十三 终实：六万二千三百五十六 终全余：一千零八 转法：五十二 篾法：八百九十七 闰限：六百七十六

推入转术（推算月亮入转算法） 用终实去除积日，剩下的余数；再乘终法，再减去终实，不够减终实的部分，满终法得一日，不满为余，就是所求年天正平朔夜半月亮入转日及余。

求次日 加一日，积满转终就扣除。到第二十八日的时候，加上终全余，作为次日夜半入转初余。

求弦望 都在平朔基础上加平日，得到夜半入转日余。

求次月 大月加二日，小月加一日，一并加上终全余，得到次月平朔夜半入转。

求经辰所入朔弦望 把平余换算转入秒，加到夜半入转数上，得到该时辰入转日及余。从朔辰入转起算，每次加七日、余八百六十五、秒一千一百六十大，秒满日法化为余，得到上弦。直接求望、下弦、次月平朔辰入转：望加十四日、余一千七百三十一、秒一千七十九半；下弦加二十二日、余三百三十四、秒九百九十八小；次朔加一日、余二千二百零八、秒九百一十七。朔、望另一种算法：各加一日，减去终全余，望减五百三十一、秒一百六十二半，朔减五十四、秒三百二十五。

求月平应会日所入 把朔弦望平交会日的迟速定数，换算成转余；速加、迟减经辰入转余，得到平交会入转日余。

推朔弦望定日术（推算朔弦望定日算法） 取月亮平交会入转的加减限，本限和后限取平均，叫作通率；两限相减得到限衰。 前大的情况：终法减去入余，余数乘限衰，除以终法，并入限衰再取半；前小的情况：入余一半乘限衰，除以终法，从限衰减去。结果都加上通率，乘入余，除以日法，得到平会加减限数。 限数另外把转余换算成变余：朓减、朒加原本入余。前大：朓的减前减后、朒的加前加后，都用终法减去，合并取半，乘限衰；前小：朓、朒两种入余分别合并取半，乘限衰；都除以终法，加到通率，乘变余，除以日法。得数朓减、朒加限数，加减朓朒积，定出朓朒。朓减、朒加平会入转余，满或不足就进退日期，得到朔弦望定日及余。 如果余数小于晨前数，借一日来减，从甲子起算不计甲子，得到日期。借减与否，朔日立算和下月一致。如果两月都没有立算，大月的定朔在算外，补上借减的日数。闰衰满闰限，定朔当月没有中气，就是闰月；临界前后，在二分附近，有的月份会出现两个中气，酌情安排朔日，不必死守这条规则。后面没有同型限数的，沿用前大的格式，通率减半衰来减；前小的，直接沿用通率。加减变余造成日期进退的，拆分在一日之内，依照余的初末位置核算，结果一并加减限数。 分、余、秒、篾，古籍没有标注分母、不是沿袭旧法的，都以十为分母。数值微小、推算不影响大局的，可以略去不算。入转第七日余二千一十一、十四日余一千七百五十九、二十一日余一千五百七、二十八日到终余以下，叫作初数；用终法减去以上余数，叫作末数。初、末数加减相反，一共九分：初段，七日八分、十四日七分、二十一日六分、二十八日五分；末段，七日一分、十四日二分、二十一日三分、二十八日四分。初略弱、末稍强，差值只有一，道理兼顾，就是现今的转差，各依本数。常规算法，七日、二十一日只有初衰，末衰隐而不显，和平行历数一样；十四、二十八日兼有初末，虚衰显现，应当剔除，常规历法不载。

求朔弦望之辰所加 定余小于等于半朔辰五十一大，就是交在子时之后；大于这个数，先减去五十一大，再除以朔辰，从子起算不计子，满十二再从子初起。之后求入辰强弱，和节气算法相同。

求入辰法度 度法：四万六千六百四十四 周数：一千七百零三万七千七十六 周分：一万二千一十六 转：十三 篾：三百五十五 周差：六百九半 在日名余通，在度名篾法；气用日法、度用度法，名称随用途变化，数值原本相同。女宿末尾衔接虚宿，多出的零头叫周分。周天换算成转分，叫作转。晨昏太阳在黄道上的位置，折算以赤道度数计量。

斗二十六度，牛八度，女十二度，虚十度，危十七度，室十六度，壁九度。北方玄武七宿，合计九十八度。 奎十六度，娄十二度，胃十四度，昴十一度，毕十六度，觜二度，参九度。西方白虎七宿，合计八十度。 井三十三度，鬼四度，柳十五度，星七度，张十八度，翼十八度，轸十七度。南方朱雀七宿，合计一百一十二度。 角十二度，亢九度，氐十五度，房五度，心五度，尾十八度，箕十一度。东方苍龙七宿，合计七十五度。 以上都是赤道度数，数值恒定，环绕天心，是浑仪的基准。

推黄道术 以冬至所在赤道度为基准，每四度设为一限。起始系数九十七，每往后一限增一，到一百零七为止；中间三度略弱，持平。之后起限一百零九，每限增一，到一百一十九，对应春分。从一百一十九开始每限减一，回到一百零九；中间三度略弱，持平。再起限一百零七，每限减一，到九十七，对应夏至。复用冬至之后的算法，推得秋分、冬至系数。 各系数乘限度，除以一百零八，累加起来，就是黄道度数。度有零分，前后接续；宿度有进退，黄道跟着形变，差数不断迁移，黄道不是固定不变的。以此立度，推天行，年代久远差值变大，依照术法调整。

斗二十四度，牛七度，女十一半度，虚十度，危十七度，室十七度，壁十度。北方九十六度半。 奎十七度，娄十三度，胃十五度，昴十一度，毕十五半度，觜二度，参九度。西方八十二度半。 井三十度，鬼四度，柳十四半度，星七度，张十七度，翼十九度，轸十八度。南方一百零九度半。 角十三度，亢十度，氐十六度，房五度，心五度，尾十七度，箕十半度。东方七十六度半。 以上都是黄道度数，是太阳运行轨道。月亮和五星出入，都沿着黄道测算。

推月道所行度术 取交定前后位置度数折半，同样每赤道四度为一限。初限十一，每限减一，到一为止；中间三度偏强，持平。再起限一，每限增一，到十一，对应交点。再从十一每限减一到一；三度偏强持平。再起限一，每限增一回到十一，回到半交，表里翻转。继续依照十一增减，推后交、半交系数。累加系数，除以一百八十，得到月道和黄道每限的差值。 月亮在黄道外：半交之后、交之前，差值用减改增；交之后、半交之前，差值用增改减。月亮在黄道内，全部反过来，得到月行道度。限度不足四度的，用直行系数折算，除以四。月亮黄纬不正好在极处的，可以逐日记录去黄道度数，在黄道上增减，换算距离赤道远近，沿用上面黄道比率推算；隐伏互相抵消，朓朒互补，就可以推求。交差积累多了，以交点为准。五星先观测出入黄道表里的趋势，用黄道仪核定限度；无法明确推求的，依旧按黄道起度。

推日度术 用上元到所求年的积岁数乘周数，减去周数的倍数；剩下的余数，满度法得积度，不满为分。用冬至余减去分。积度从虚宿起算，依次除去各宿宿度，剩下不满一宿的，不计宿，就是所求年天正冬至夜半太阳所在宿度及分。

求年天正定朔度 定朔到冬至之间，每日先后余作为分，日为度；叠加分，减去冬至度，得到天正定朔夜半日度分。另一种算法：用朔日乘已经通算的衰总，除以冬至前定气，求出差数叠加，再减去冬至度，同样得到。都是日为度，余为分。先后、衰总的增减规则：分前加、分后减平日度。

求次日 每日先后分增减度数，叠加定朔夜半度，得到次日夜半日度。

求弦望 累加定朔到弦望各日先后分，增减度数，叠加定朔夜半度，得到弦望夜半日度。

求次月 大月三十日，小月二十九日，累加当月每日先后分增减度数，叠加前朔夜半度，得到次月朔夜半日度，到虚宿扣除周分。

求朔弦望辰所加 度准乘定余，除以约率，得到平分。定余乘当日先后分，除以日法，增减平分，叠加夜半度，得到交辰日度。分用篾法折算成转分，不足的为篾。朔辰交度，就是日月合朔同度。

推月而与日同度术 用平会加减限数加减朓朒，得到平会朓朒。以此加减定朔，度准乘、约率除，加减定朔辰日度，得到平会辰日所在。平会余乘度准，除以约率，减去辰所在度，得到平会夜半日度。四百六十四半乘平会余，加上周差乘平会余除以朔实的得数，减去夜半日度，得到月亮平会夜半度。三十七半乘平会余，修正减数，对半加减，得到月亮平会辰平行度。五百零二乘朓朒，加上周差乘朓朒除以朔实，朓减、朒加平行度，得到定朔辰月亮度，和太阳同度。也可以直接用平会朓朒分加减平会辰日度，得到日月同度。

求月弦望定辰度 取弦望辰加日度分：上弦加九十一度、转分十六、篾三百一十三；望加一百八十二度、转分三十二、篾六百二十六；下弦加二百七十三度、转分四十九、篾四十二；都从虚宿起算，扣除转周。

定朔夜半入转 平朔夜半入转，如果定朔和平朔有一日之差，就加减一日；没有差别，直接沿用平朔入转。 由定朔推算次日、弦望、次月夜半入转，和平朔算法一样。

推月转日定分术 夜半入转余乘逡差，除以终法，得到见差。息加、消减当日逡分，得到月亮每日运行逡定分。

求次日 逡定分累加转分，满转法进一度，得到次日夜半月度。逐日累加定分，得到朔弦望夜半月定度。 由交辰度反推夜半度：半逡差减去逡分；消的情况，定余乘差除以终法，和半差合并；息的情况，定余一半乘差除以终法；两项都加到前面减数。定余相乘，除以日法，减去辰加度，得到夜半度。由夜半加逡分，也能求辰加度。转分运算，可以先把逡分、差换算成篾推算，全部算完再换回转分。由平朔夜半推算定辰度：算出定辰和平朔夜半的差数，求出增减量，换算逡定分，加减夜半度，得到定辰度。

求月晨昏度 取当日夜半漏刻的一半，乘逡定分，除以一百，得到晨分；逡定分减去晨分是昏分。换算成转度。望前用昏分、望后用晨分，叠加夜半定度，得到晨昏月亮度。

求晨昏中星 度数叠加夜半定度，就是中星度。朔弦望，一百刻乘定余，满日法得一刻，就是交辰近刻数。减去夜半漏刻，剩下的是晨刻；初刻不满的，归属前一日。

复月：五千四百五十八 交月：二千七百二十九 交率：四百六十五 交数：五千九百二十三 交法：七百三十五万六千三百六十六 会法：五十七万七千五百三十 交复日：二十七，余二百六十三，秒三千四百三十五 交日：十三，余七百五十二，秒四千六百七十九 交限：十二日，余五百五十五，秒四百七十三半 望差：一日，余一百九十七，秒四千二百五半 朔差：二日，余三百九十五，秒二千四百八十八 会限：一百五十八，余六百七十六，秒五十半 会日：一百七十三，余三百八十四，秒二百八十三

推月行入交表里术 上元积月，减去复月倍数，剩下余数。乘交率，再减去复月；不够减复月的，减去交月倍数，得数在里，不够减的在表，就是所求年天正平朔月入交表里。

求次月 加交率，满交月扣除，前表变里、前里变表。

推月入交日术 朔实乘表里数，为交实；满交法为日，不满除以交数为余，零碎为秒，不计起算日，就是平朔月平入交日余。

求望 加望差，满交日扣除，表里和朔相同；不满交日，表里相反。月食：先交和当月朔表里一致，后交也和朔表里一致。

求次月 朔差加朔入交数，满交日扣除，表里反转；不满交日，表里不变。

求经朔望入交常日 月亮入气朔望平会迟速定数，速加、迟减平入交日余，得到平交常日余。

求定朔望入交定日 交率乘定朓朒，除以交数，朓减、朒加常日余，得到定朔望入交定日余。去交距离小于等于望差、大于交限，发生月食；月亮在黄道内，发生日食。

推日入会日术 交实除以会法为日，不满除以交率为余，零碎为秒，不计起算日，就是平朔入平会日余。

求望 加望日及余；次月加平朔，表里参照入交。

求入会常日 交数乘月平会迟速定数，除以交率，速加、迟减平会日余，得到常日余。再用定朓朒，朓减、朒加常日余，得到定朔望入会日余。满会日扣除。朔望去会小于等于望差、大于会限，也会发生月食；月亮在黄道外、太阳黄道内，发生日食。

求月定朔望入交定日夜半 交率乘定余，除以交数，减去定朔望入交定日余，得到夜半入交定数。

求次日 逐日迟速数，分前增、分后减定朔入交余，叠加日数，得到逐日入交定日余。

求次月 定朔叠加：大月加二日，小月加一日，都加余九百七十八，秒二千四百八十八。用当月迟速数，分前增、分后减，作为定数。入交第七日余九百九十七、秒二千三百三十九半以内，进；超过这个数，直到余二百四十四、秒三千五百八十三半，退。入交第十四日，小于交余秒，退；大于这个数直到余四百八十九、秒一千二百四十四，进而复归。整体五分：初段七日四分、十四日三分；末段七日后一分、十四日后二分。初强末弱，衰率有规。

求月入交去日道 算法统一，交余为秒积，前后交衰合并取半为通数。进：秒积减去衰法，乘衰，除以交法，加半衰；退：秒积一半乘衰，除以交法；两项都并入通数。秒积乘衰，除以交法，用来进退衰积，除以十为度，不足判别强弱，得到月亮去日道距离。朔望去交大于限，减去交日，剩余是去后交数；小于等于望差，是去先交数。有整日的，用朔辰除，得到去交辰。月亮在黄道内，应当日食却不食；月亮在黄道外，本不该食却有食。

推应食不食术 朔在夏至前后十日之内，去交十二辰少；二十日内，十二辰半；一月之内，十二辰大；闰四月、六月，十三辰以上，再加南方三辰。朔在夏至二十日内，去交十三辰，再加申半以南四辰；闰四月、六月，也加四辰；谷雨后、处暑前，加三辰；清明后、白露前，加巳半以西、未半以东二辰；春分后秋分前，加午一辰。以上情况，去交十三辰半以上，都有可能不发生食。

推不应食而食术 朔在夏至前后一月之内，去交二辰；四十六日内，一辰半，再加二辰；再一月内，一辰半，加三辰或四辰，和四十六日内加三辰同；谷雨后、处暑前，加巳少之后、未太之前；清明后、白露前，加二辰；春分后秋分前，加一辰。以上情况，去交半辰以内，会发生食。

推月食多少术 望在二分之后，用距离夏至的节气数乘三；望在二分之前，两倍二分前节气数，再加二分后的节气数；再用十加去交辰，两倍并入，减去去交余，得到不食定余。用望差减去不食定余，余数除以九十六，不足判别强弱，以十五为上限起算，得到月食食分。

推日食多少术 月在内（黄道内）：朔在夏至前后二气，加南二辰，增去交余一辰太；加三辰，增一辰少；加四辰，增太。三气之内，加二辰增一辰；加三辰增太；加四辰增少。四气之内，加二辰增太；三气、五气之内加二辰增少。其余南方辰：立夏后立秋前，四气内加四辰，五气内加三辰，六气内加二辰；六气内加二辰，按平数。其余北方辰，依照距离立夏、立秋、清明、白露节气数：每向北一辰，用三分减去交余；雨水后霜降前，再用距离二分的日数折半，叠加二分距离四立的日数，减去交余；冬至前后，距离霜降、雨水日数除以三，叠加霜降雨水本气得数，减去交余，得到定不食余。望差减去定不食余，算法同月食。 月在外（黄道外）：去交辰，如果对应节气限只有一等不分段，加去交辰一，就是食分；限有多等，反向取用衰数，少改多、多改少，再加一，作为食分。一律以十五为上限，得到日食食分。

凡是日食，月亮运行在黄道，遮蔽太阳，大致正交如同两块璧玉重合，偏移之后就有差别；在内食分大，在外遮蔽有限。即便在外月亮全在日下，在内遮挡更高；交浅相距远，交深相掩但是不会长久。距离远遮蔽反而多，观测地点偏斜，见到食的时刻也不一样。月亮在黄道外侧，此地看不见亏蚀，另外一侧的人却能看见日食。交分相等，同在南方，冬季食分多，夏季食分少。就算冬夏交度相同，早晚所见也不同。方位在南方，天体位置高；东西两侧，视线倾斜。天象本不能一概而论，历算比率看似精准，和实测仍有出入。古史记载，互有矛盾，这里只推求梗概，供研习之人明白宗旨。观测地不是阳城，所见食象都会渐渐不同。 月食是月亮运行进入暗虚，被地影冲掩。太阳生暗虚，天上有虚道，暗虚常在黄道正对太阳的位置，如同镜子在下，月亮照到阴影就发生月食，所以古话说“正对月亮则月食，正对星辰则星亡”。即便夜半子午正对，月亮隔着大地，暗虚依旧能掩月。月亮承接日光，正午光照最盛，即便隔着大地，不妨碍月光受掩。天光玄妙，感应幽微，夜半之时，一样会亏。月亮行经暗虚，表里都能食。日月形体大小相近，对比食分，月食容易全食；也会因为形体差，食分略有增减。这套算法提纲完备，疏而不漏。

推日食所在辰术 取定余，减去两倍日限。月在内：三倍朔辰为法，除得数，顺序取艮、巽、坤、乾。从艮起算不计艮；大于半法，减去半法，不够减为前，减剩为后，前沿用余，后减去法，得到比率。十加去交辰，除以三，乘比率，除以十四，得到差。朔在二分前后一气内，就是定差。靠近冬至，用距离寒露、惊蛰节气数乘二除以三，加到去交辰上；靠近夏至，用距离清明、白露节气数乘二除以三加到去交辰。近冬至：艮、巽加差，坤、乾减差；近夏至：艮、巽减差，坤、乾加差，得到定差。艮加坤、巽减乾，修正定余。 月在外：直接去交辰除以三，乘比率，除以十四为定差。艮、坤减定余，巽、乾加定余，得到食余。依照节气求辰的算法，得到日食所在辰、强弱。求辰刻：辰克乘辰余，除以朔辰，得到刻分。食在晨昏附近，对比当日日出日入刻，核验是否可见、食分多少、所在方位，作为正见。

推月食所在辰术 望定余先减去三日阻。取望所在气的不可见刻，乘朔日法，除以一百；得数和食余相等或更小，或是朔日法减去得数，余数大于等于食余，就是可以见到月食。食余除以朔辰，得到月食所在辰，如同求取食辰的位置。又用前面推求时刻的办法校验，月亮在对冲的方位发生月食。日食、月食既有初亏、复圆，时间有早有晚，运行也有失常、进退不一的情况，都要在推算的正点前后十二刻半之内等候观测。

推算日月食初亏、复圆时辰的算法

以十五分食分为基准，全食以下依次递减。十四分及以上，每一分作为一等衰，一直到五分。从五分往下，每降低一分食分，累积衰数就增加二，叠加在前数之上，一直到三分。三分阶段，每一等累加四；二分阶段，每一等累加四，再往下二分累加六；一分阶段累加十九，逐项计算得到各档衰数。以三百为除数，用各档衰数除以三百，取余数，再乘以朔日法，再除以三百，得到的结果就是食衰数。如果食分是全食，就直接用朔日法作为衰数。用衰数对食余做加减，相减得到初亏时刻，相加得到复圆时刻，相关算法和气朔的算法一致。

求取入辰法以及求取刻数

用加减之后得到的食刻等数据，就能得到初亏、复圆提前或者延后的时辰，以及和实测校正值相差多少。史书上记载亏起、复圆的时间各不相同，这里以完整一个时辰作为基准。

推算日月食亏起方位的算法

月亮在太阳之内（内食，日被月掩）： 日食发生在正南方位时，亏起于右上方，向左上方亏缺。在正东方位时，月亮从太阳上方斜向北向下掩食。在东南维之前，向东望去，初亏并不端正，横向看月亮位置高、太阳位置低；随后月亮渐渐向西北移动，太阳渐渐偏向东南。越过东南维之后，向南望去，月亮更偏北，太阳偏向西南；到午时之后，同样向南观测，月亮斜向西北，太阳又回到东南方向。在西南维之后，向西望去，月亮偏向东北，太阳偏向西南。在正西方位，月亮从太阳北侧斜向下掩食，之后方位也不再端正，横向看去月亮高、太阳低。如果食分在十二分以上，都是从右侧起亏、向左侧缺损。处在正东时，从靠近上方的位置起亏，向下向北亏；午时之前，慢慢从上方斜向下。在西维，从西北起亏，向东南缺损；在北维，从西南起亏，向东北缺损；午时之后，慢慢从下侧旁向下亏。在东维，从西南起亏，向东北缺损；在南维，从西北起亏，向东南缺损。在东侧时，以上方为东；在西侧时，以下方为西。

月亮在太阳之外（外食，月在日外掩食）： 日食在正南方位，从右下方起亏，向左上方缺损。在正东方位，月亮从太阳南侧斜向下遮蔽太阳。在北维，月亮稍稍偏向东南，太阳反向向西。在西南维，太阳慢慢移向东北，到午时，月亮在南、太阳在北；过午时之后，月亮渐渐偏向东南，太阳转向西北。在北维，月亮偏向西南，太阳转回东北。正西方位，月亮从太阳下方斜向南向上遮蔽。全都依照这套法则判定起亏方位，随所处方位不同，取用的规则不一样。月食的亏起方位，全都比照日食的亏起规律，只是类别相反，和日食的限界互为表里，运行的顺逆方向和日食相反，上下偏移的度数也有差别。

五星

岁星，就是木星；荧惑，就是火星；镇星，就是土星；太白，就是金星；辰星，就是水星。

木星总实数：一千八百六十万五千四百六十八。 伏半平数：八十三万六千八百四十八。 会合周期日数：三百九十八日，余四万一千一百五十六。 一岁之余残日：三十三日，余二万九千七百四十九又二分之一。 木星能够被观测到，和太阳相距十四度。

平见的校正：在春分之前，用四乘以距离立春日的日数；小满之前，再用三乘以距离春分日的日数，叠加春分那一步算出的数值；白露之后，同样用四乘以距离寒露日的日数；小暑，另外加七日；小雪之前，用八乘以距离寒露日的日数；冬至之后，用八乘以距离立春日的日数，用来做减数；小雪到冬至，减去七日。

木星显现之后：最初一日运行一万一千八百一十八分，每日渐迟七十分，一百一十天一共运行十八度、四万零七百三十八分，之后停留不动。停留二十八日，开始逆行，每日退行六千四百三十六分，八十七天退行十二度、二百零四分。再次停留二十八日。顺行之初每日运行四千一百八十八分，每日渐快七十分，一百一十天同样运行十八度、四万零七百三十八分，之后隐伏不见。

火星总实数：三千六百三十七万七千五百九十五。 伏半平数：三百三十七万九千三百二十七又二分之一。 会合周期日数：七百七十九日，余四万一千九百一十九。 一岁两见之余残日：四十九日，余一万九千一百零六。 火星可见时，离太阳十六度。

平见校正：雨水之前，用十九乘以距离大寒日的日数；清明之前，再用十八乘以距离雨水日的日数，叠加雨水一步得数；夏至之后，用十六乘以距离处暑日的日数；小满之后，再加十五日；寒露之前，用十八乘以距离白露日的日数；小雪之前，再用十七乘以距离寒露日的日数，叠加寒露一步得数；大雪之后，用二十九乘以距离大寒日的日数，作为减数；小雪到大雪，减去二十五日。

火星显现：如果起始在冬至，二百三十六天运行一百五十八度；此后每日的行度，逐日增减，每一日增减一份；满三十日之后，每一日半减一份；再八十六日，每两日减一份；接下来三十八日，度数不变；再十五日，每三日减一份；再十二日，不变；再三十九日，每三日增一份；再二十四日，每二日增一份；再五十八日，每日增一份；再三十三日，不变；再三十日，每二日减一份，循环回到冬至，依旧是二百三十六日行一百五十八度。立春到春分、夏至到立夏，都减去八日；春分到立夏，减去六日；立秋到秋分，减去五度，分别修正它初始运行的日数与度数。白露到寒露，初日运行半度，四十天一共运行二十度。它的残日、残度，计入前面的总数。这段属于变速运行，每日渐迟二十分，走完既定日数度数之后，再转入迟行段：初日行分二万二千六百六十九，每日渐迟一百一十分，六十一天运行二十五度、一万五千四百零九分。前面减去五度的地方，在这一段初日行分加上三千八百二十三、篾十七；以迟行总日数为分母，走完迟行周期一共运行三十度，分数同上，之后停留十三日。

两次停留之间，前面调整过日分，之后火星逆行：每日退行一万二千五百二十六分，六十三天退行十六度、四万二千八百三十四分。再次停留十三日，而后顺行，初日行分一万六千零六十九，每日渐快一百一十分，六十一天运行二十五度、一万五千四百零九分。立秋到秋分，增加五度行度，初日行分和前面相同，运行速度更快。起始在冬至的另一套序列：二百一十三天运行一百三十五度；满三十六日，每日减一份；再二十日，每两日减一份；再二十四日不变；再五十四日，每三日增一份；再十二日，每二日增一份；再四十二日，每日增一份；再十四日，每日增一份半；再十二日，每日增一份；再四十五日不变；再一百零六日，每二日减一份，循环回到冬至，依旧二百一十三日行一百三十五度。

前面增加五度行度的，这里相应减去五度，作为加速段的日数、度数基准。立夏到夏至之初，每日行半度，六十天运行三十度。夏至到立秋，同样初日行半度，四十天运行二十度。残日残度同样并入总数，属于变速运行，每日渐快二十分，走完既定日度之后隐伏。

土星总实数：一千七百六十三万五千五百九十四。 伏半平数：八十六万四千九百九十五。 会合周期日数：三百七十八日，余四千一百六十二。 一岁之余残日：十二日，余三万九千三百九十九又二分之一。 土星可见，离太阳十六度半。

平见校正：大暑之前，用七乘以距离小满日的日数；寒露之后，用九乘以距离小雪日的日数，作为加数；大暑到寒露，另加八日。小寒之前，用九乘以距离小雪日的日数；雨水之后，用四乘以距离小满日的日数；立春之后，再用三乘以距离雨水日的日数，叠加雨水一步得数，作为减数；小寒到立春，减去八日。

土星显现之后：每日行分四千三百六十四，八十天运行七度、二万二千六百一十二分，停留三十九日而后逆行，每日退行二千八百二十分，一百零三日退行六度、一万零五百九十六分。再次停留三十九日，依旧每日行分四千三百六十四，八十天运行七度、二万二千六百一十二分，之后隐伏。

金星总实数：二千七百二十三万六千二百零八。 晨伏半平数：一百九十五万七千一百零四。 会合周期日数：五百八十三日，余四万二千七百五十六。 一岁之余残日：二百一十八日，余三万一千三百四十九又二分之一。 夕见伏周期：二百五十六日。 晨见伏周期：三百二十七日，余数和会合周期相同。 金星可见，离太阳十一度。

夕平见校正：立秋之前，用六乘以距离芒种日的日数；秋分之后，用五乘以距离小雪日的日数；小雪之后，再用四乘以距离大雪日的日数，叠加小雪一步得数，作为加数；立秋到秋分，另加七日。立春之前，用五乘以距离大雪日的日数；雨水之前，再用四乘以距离立春日的日数，叠加立春一步得数；清明之后，用六乘以距离芒种日的日数，作为减数；雨水到清明，减去七日。

晨平见校正：小寒之前，用六乘以距离冬至日的日数；立春之前，再用五乘以距离小寒日的日数，叠加小寒一步得数；芒种之前，用六乘以距离夏至日的日数；立夏之前，再用五乘以距离芒种日的日数，叠加芒种一步得数，作为加数；立春到立夏，另加五日。小暑之前，用六乘以距离夏至日的日数；立秋之前，再用五乘以距离小暑日的日数，叠加小暑一步得数；大雪之后，用六乘以距离冬至日的日数；立冬之后，再用五乘以距离大雪日的日数，叠加大雪一步得数，作为减数；立秋到立冬，减去五日。

金星夕见阶段：一百七十一天运行二百零六度。谷雨到小满、白露到寒露，每十天增加一度；小满到白露，一共加三度。之后十二日运行十二度。冬至之后，每十二日，日数、度数各减一份；雨水到夏至，日行七度；夏至之后，每六日增一份。大暑到立秋，恢复日行十二度；到寒露，日行二十二度，之后每六日减一份。大雪到冬至，又回到日行十二度，转入迟行。每日渐快五百二十分，初日行分二万三千七百九十一、篾三十五，以运行总日数为分母，四十三天运行三十二度。

前面需要增加度数的区间，在这里相应减去度数。停留九日而后逆行，每日退行三分之二度，九日退行六度，之后夕伏，转为晨见。逆行依旧每日退行三分之二度，九日退行六度。再次停留九日，转为顺行，每日渐迟五百二十分，初日行分四万五千六百三十一、篾三十五，四十三天运行三十二度。芒种到小暑、大雪到立冬，每十五日减一度；小暑到立冬，一共减二度。之后又十二日运行十二度。冬至之后，每十五日，日数度数各增一份。惊蛰到春分，日行十七度，之后每十五日减一份，到夏至，回到日行十二度。之后每六日减一份，到白露，日行度数减尽。霜降之后，每五日增一份，到冬至，再恢复日行十二度。转入疾行，一百七十一天运行二百零六度。前面减去度数的区间，这里再加回来，而后晨伏。

水星总实数：五百四十万五千零六。 晨伏半平数：七十九万零九十九。 会合周期日数：一百一十五日，余四万零九百四十六。 夕见伏周期：五十一日。 晨见伏周期：六十四日，余数和会合周期相同。 水星可见，离太阳十七度。

应当夕见的水星：立秋之后、小雪之前，不能观测到；立夏之后、白露之前，偶尔可以见到。 应当晨见的水星：立春之后、小满之前，不能观测到；立冬之后、惊蛰之前，偶尔可以见到。

水星夕见：每日运行一又三分之二度，十二天运行二十度。小暑到白露，日行半度，十二天运行十八度；之后八日运行八度。大暑之后，每二日减去一度，到第十六日，日行度数减尽。转入迟行：每日半度，四日运行二度；进一步变慢，每日三分之一度，三日运行一度。前面日行半度的区间，接续这段更迟的运行。停留四日，夕伏转为晨见；停留四日阶段，日行三分之一度，三日一度。大寒到惊蛰，不走这套迟行序列，直接疾行：每日半度，四日二度；再八日八度。同样大寒之后，每二日减一度，到十六日度数减尽；而后加速，每日一又三分之二度，十二日二十度。没有前面迟行阶段的序列，走完日行半度、十二日十八度之后，晨伏。

推算行星平见时刻的算法

各自用伏半数减去积半实，再用行星总实数去除；余数再用总实数去减，满气日法就折算成日，不满的作为余数，得到所求年份天正冬至之后的平见日与余分。金星、水星，如果算出来超过晨见伏的总天数，就减去晨见伏周期，得到晨平见时刻。 求平见对应的月、日：把冬至距离定朔的日数、余数，加在上面算出的日、余之上；满会合周期就减去，从天正正月开始，依照大小定朔依次扣除，余下不在朔日内的，就是行星出现的日期。求下一次平见，直接在前一次见日的基础上，加上一岁一残、一岁两残的残日，也可以。金星、水星的会合周期，区分晨、夕见伏，加在晨见上就得到夕见，加在夕见上就得到晨见。

求常见日

用转法去除前面得到的加减数值，得到日数；不够除的，用余数通分相乘，得到余分；和前面的平见日、余分合并，或加或减，得到常见日以及余分。

求定见日

用已经换算完毕的先后差数，先减后加常见日，就得到定见日以及余分。

求行星初见所在宿度

取行星定见当夜夜半时刻所在的宿度与分；依照先后余分，在节气之前就加、节气之后就减气日法，再乘以定见余分，除以气日法，得数加到夜半宿度分上；再用行星初见离太阳的度数，晨见减去、夕见加上，就是行星初见时所在的宿度和分。

求次日行星位置

依次加上当日行星运行的度、分。遇到渐快、渐迟的变速段，另外记录当日行分，依照加速增加、减速减少，再加到宿度上。带有篾的，满进位法则进为分；分母不一样的，先通分再增减。行星停留，宿度沿用前一日；逆行的时候，依照减法，遇到虚宿就扣除相应分，逆行开始之前先做加法。全都用篾法折算，得到转分；剩余不尽的，依旧称为篾，由此得到每日行星位置、距离太阳的度数。叠加当日的先后分，确定准确位置。

推算木星、火星、土星、金星、水星运行度数，区分月亮在内、在外的情况，比照月行增减黄道度数来推演；数据不明的，依照黄道求取距离太阳的度数。先后分同样遵循节前加、节后减。火星、金星各类日度，需要累计增减校正的，当日少而度数多，就用日数去除度数的余数；当日多而度数少，就把度数乘以度法，除以日数，得数作为分。不足一篾的，以日数作为分母。日数少的，把分合并，从一度里面扣除；日数多的，直接作为度分，这是匀速一日的行分。变速运行的，都把运行总日数减一，再把加速、减速的分值折半相乘；加速用这个数值从匀速行分里面减去，减速用这个数值加到匀速行分上，得到初日的行分。 有些需要按日加减，日数不够凑成一度的，用气日法或者度法相乘，除以已经走过的日数，得数用来调整气日疾法，折算成日与度；不能凑整的，记为篾。木星、火星、土星，早晨可以见到、傍晚隐伏；金星、水星，傍晚出现则傍晚隐伏，早晨出现则早晨隐伏。火星初行和后段疾行，以距离冬至的日数增减日度，要先把距离冬至的余分累加，掌握它距离冬至远近，再拿初见、后段疾行起始日距离冬至的日数校正度数，之后按照对应日期的行度推演运行。

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志第十四　天文上

效法紫微垣居于中天，模拟明堂施行政教，依照分野对应列国，取法群星设立官署，一举一动必定顺应时节，教化举措不违背物性，所以能够成就阴阳变化的大道，契合天地运化的妙理。远在伏羲之时，仰观天象、俯察地理，认为天上日月五星、二十八宿，环绕天穹周转，排布在十二次之中。天象悬于上天，昭示吉凶征兆。五星汇聚于房宿，开启周王兴起的基业；彗星扫过斗宿，预示宋国动乱的开端。上天旨意、人间世事，如同影子跟随形体、回声呼应声响。

自从周夷王走下台阶会见诸侯，周赧王登台躲避债主，《礼记》记载：“天子衰微，诸侯僭越礼法。”此后列国兴兵攻伐，尸骨遍野。秦朝接续战国乱世，依仗凶暴，小星相斗、彗星横亘天际。汉高祖招揽英雄，扫除祸乱，五星随同岁星会聚，毕宿出现七重光晕，天道的征兆悠远昭明，大道不会凭空显现。西汉开创历法天象制度，历经多年。光武帝中兴汉室，曹魏执掌天下，金行、水德相继，恭承天命，祥瑞征兆清晰明白，上天人事并不遥远。

古时黄河献出符箓、洛水呈现图籍，六爻铺陈法则，日月星辰齐备，记载星官的典籍，从黄帝开始。高阳氏任命南正重掌管天事，北正黎掌管地事。尧帝于是命令羲氏、和氏，恭谨顺应上天。夏朝有昆吾，殷商有巫咸，周朝有史佚，宋国有子韦，鲁国有梓慎，郑国有裨灶，魏国有石申，齐国有甘德，全都能够解说天文，察知细微灾变。汉代传承天道术数的，有唐都、李寻这类人。光武帝时期，苏伯况、郎雅光，都能够参验天象，阐扬正道，裨益当时，垂戒后世。而河图、洛书、谶纬之书，虽然有占星、星官名目，却没能完整罗列。

后汉张衡担任太史令，铸造浑天仪，汇总恒星体系，写成《灵宪》。大意说：“星辰，形体植根于大地，精气升腾于上天。紫宫是天帝的居所，太微是五帝的坐次。在野外对应万物，在朝堂对应百官。居于中央的，叫做北斗，北斗的运转关联占候，执掌帝王的天命。向四方分布的，是二十八宿，日月在其间运行，昭示吉凶祸福。五星依次经过星宿，显现灾祥，上天的心意，由此可以察见。内外星官，经常明亮的有一百二十座，可以命名的三百二十座，恒星总计二千五百颗；微小的星，一万一千五百二十颗，世间万物的动静，都和天象相关联。”张衡绘制的星图，遭遇战乱散失，星官名目、星数，如今已经不存。

三国吴国太史令陈卓，汇总甘氏、石氏、巫咸氏三家星官，绘制成星图录，并且附上占验赞辞，一共二百五十四座星官，一千二百八十三颗恒星；连同二十八宿以及辅官附坐一百八十二颗星，合计二百八十三座星官，一千五百六十五颗星。刘宋元嘉年间，太史令钱乐之铸造浑天铜仪，用朱、黑、白三种颜色区分三家星，总数和陈卓一致。隋高祖平定南陈，得到精通天文的周坟，同时获取刘宋浑天仪器物。于是命令庾季才等人，参校北周、北齐、梁、陈以及祖暅、孙僧化官私旧星图，订正星官大小、疏密，依照三家星位，绘制盖图。向外铺开星次分界，标注恒定宿度，绘出赤道、黄道两道，内规、外规两圈。天象清楚分明，星宿运行轨迹有序，星辰的隐显、银河回转，宛如真实天穹，作为标准范本。任命周坟为太史令。周坟广泛考订典籍，勤于教习，从此太史局的观生，才能够辨识星官。隋炀帝又选派四十名宫人，进入太史局，另外下诏让袁充教授星象云气，学成之后送入宫内，参与占候吉凶。

史官在观台寻访浑天仪，见到北魏太史令晁崇所造的，以铁铸造，共有六圈环规。外侧四环固定不动：一环模拟大地，一环模拟赤道，另外两环对应南北二极。内侧两环可以旋转，配合八尺窥管，观测星度。这是北周武帝平定北齐之后得到的器物。隋开皇三年，新都建成，安置在观象台上，大唐沿袭使用。司马迁《天官书》、班固史书所记载的妖星、日珥、云气、虹霓，只记录大纲，不能详尽。此后历代史官，不再系统记录。《春秋左传》说：“国君朔日听政之后，登上观台，凡是二分二至、启闭节气，必定记录云气物象。”天道昭然，怎么可以虚妄忽视！这里简略记录各类天象的名称、占候，附在恒星记载之后。

天体

古时候论述天体的学说一共有三家：第一叫盖天，第二叫宣夜，第三叫浑天。

盖天的说法，出自《周髀》。本源是伏羲确立周天历度，这套学问相传是周公从殷商承袭而来，周人记录下来，所以名叫《周髀》。髀，就是股；股，就是表杆。它认为天如同斗笠，地如同倒扣的盘子，天地都是中间高、四周低下。北极下方，是天地的正中，那一处地面最高，向四周倾斜；日月星辰在其间隐现交替，形成昼夜。天的中心，比外衡冬至太阳所在之处高出六万里；北极下方的大地，也比外衡下方大地高出六万里；外衡又比北极下方大地高出二万里。天地高低相配，太阳距离大地恒定八万里。太阳依附在天上水平运转，冬夏之间太阳运行的轨道分为七衡、六间。每一圈衡的周长、直径里数，都依照算法，用勾股重差法，推算晷影、极星游动，得到远近数据，全部依靠圭表测算，所以叫做《周髀》。

另外《周髀》学派说：“天圆如同张开的伞盖，地方如同棋盘。天向左侧旋转，如同推磨；日月向右运行。天向左转，所以日月虽然实际向东行进，却被天带着向西隐没。好比蚂蚁在磨盘上爬行，磨盘左转，蚂蚁向右走，磨盘转动快、蚂蚁爬行慢，蚂蚁不得不跟着磨盘向左回转。天的形态南高北低，太阳在高处升起所以能看见，落到低处就看不见。天像斜放的伞盖，所以北极处在人的北方，这就是证据。北极在天的正中，如今却在人的北边，由此知道天是倾斜的伞盖模样。太阳早晨从阴处升起，傍晚归入阴处，阴气幽暗，所以落下之后看不见。夏季阳气多、阴气少，阳气明亮，和太阳光芒相合，太阳一出来就能看见，没有遮蔽，所以夏日白昼长。冬季阴气多、阳气少，阴气昏暗，遮蔽日光，太阳虽然升起依旧隐而难见，所以冬日白昼短。”

东汉末年，扬雄举出八条责难盖天说的论据，阐扬浑天理论。第一条：太阳向东运行，循着黄道。昼夜的中规，牵牛宿距离北极向南一百一十度，东井宿距离北极向南七十度，相加一共一百八十度。按照周三径一，二十八宿周天应当是五百四十度，如今只记三百六十度，是什么缘故？第二条：春分、秋分，太阳正当卯位升起、酉位落下，昼漏五十刻。依照盖天旋转，夜晚时长应当是白昼两倍，可夜晚同样是五十刻，是什么缘故？第三条：太阳落下星辰显现，太阳升起星辰隐没。那么北斗下方，应当有六个月能看见太阳、六个月看不见太阳，北斗也该六个月可见、六个月不可见。可是北斗夜夜都能看见，是什么缘故？第四条：用盖图看银河，银河起于斗宿向东，进入狼、弧之间，弯曲如同车轮。可实际仰望银河，笔直如同绳索，是什么缘故？第五条：周天二十八宿，依照盖图看天，能看见的星辰应当少，看不见的应当多。如今可见、不可见的数量相近，星辰出没不因冬夏变化，斗、井十四颗星该显现的，不因日照长短改变，是什么缘故？第六条：天极高，地极低。太阳依托天穹旋转，可以说是处在极高之处。就算人眼会产生错觉，水面、光影不会骗人。如今登上高山，以水面参照观测落日，太阳从水下浮出，影子向上，是什么缘故？第七条：看物体，近的大、远的小。可是太阳和北斗，离我们近却看起来小，离我们远反而看起来大，是什么缘故？第八条：观察伞盖的辐条、车轮辐条，靠近车轴的地方密集，越往外越稀疏。北极相当于天的轴毂，二十八宿如同天的辐条。以星度丈量天穹，南方贴近地面的星，间距应当是北方的数倍，实际却同样稠密，是什么缘故？

此后桓谭、郑玄、蔡邕、陆绩，各自依据《周髀》校验天象，发现很多和实际不合之处。到梁武帝，在长春殿讲论天道，另立天体学说，文字完全沿袭《周髀》，只是创立新说法，用来排斥浑天论而已。

宣夜的学说，没有师承典籍流传。只有汉朝秘书郎郗萌记录先师口传：“天没有实体，仰头望去，高远无边，人眼昏眩，所以看起来苍苍茫茫。好比遥望远方青山，全都发青；俯瞰千仞深谷，幽暗发黑。青色并不是山本来的颜色，黑暗也不是山谷有实体。日月众星，自然而然悬浮在虚空之中，它们的运行、停留，都依托大气。所以日月五星，有的前行、有的停留，有的顺行、有的逆行，隐现没有定规，进退各不相同，正是因为没有东西系挂它们，轨迹才彼此不一样。所以北极永远处在固定方位，北斗不会和其他星辰一同向西隐没。”

晋成帝咸康年间，会稽虞喜依托宣夜之说，写成《安天论》，认为：“天高没有尽头，地深不可测量。天稳固在上，形态恒定；大地沉静在下，形体安定。天地互相包裹，如果是方就全都方，如果是圆就全都圆，不会出现一方圆、一方方的情况。日月星辰散布光芒，各自运行，就像江海有潮汐，万物有潜藏、显现。”葛洪听闻之后讥讽他：“如果星宿不依附在天上，天就没有用处，直接可以说天不存在，何必说天存在而静止不动？”从这点来看，葛洪算得上善于辨析道理。

虞喜的族祖父河间相虞耸，又创立《穹天论》：“天穹隆起如同鸡蛋壳，边缘连接四海地表，漂浮在元气之上。好比倒扣的匣子压在水上而不下沉，是匣内充满元气的缘故。太阳环绕北极，向西落下再转向东，并不钻入大地里面。天有北极，如同伞盖有伞柄。天向北倾斜，低于地面三十度；北极倾斜，也在地平线卯酉方向以北三十度。人处在卯酉以南十余万里，所以北极正下方，不是大地中心，正对天地卯酉轴线。太阳沿着黄道环绕北极，北极到黄道向北一百一十五度、向南六十七度，二至太阳停留的位置，决定昼夜长短。”

吴国太常姚信，作《昕天论》：“人是灵性生灵，形体最像上天。人的下巴向前贴近胸口，后颈不能贴住后背。就近取人体为喻，就知道天体南侧向下入地、北侧偏高。冬至北极位置最低，天整体向南偏移，太阳离人远，北斗离人近，北方寒气到来，所以寒冷。夏至北极抬升到最高，天偏向北方，北斗离人远，太阳离人近，南方热气到来，所以暑热。北极高的时候，太阳在地下穿行距离浅，所以夜晚短；天离地高，所以白昼长。北极低的时候，太阳在地下穿行深，所以夜晚长；天贴近大地，所以白昼短。”

虞喜、虞耸、姚信，都偏好新奇特异的说法，不是精通历数、推究天道的学者。

前代儒者旧说：天地的形体如同鸟蛋，天包裹大地之外，好比蛋壳裹着蛋黄，循环运转没有端点，浑然一体，所以叫浑天。又说：天的内外都有水，天地阴阳运转，各自依托元气漂浮，承载着水运行。东汉王充，依据盖天说驳斥浑天仪理论，说：“旧说天从地下穿行。如今挖地一丈就见到水，天怎么能从水里穿行？非常不合理。太阳跟着天旋转，不是钻进地里。人的目力，最远不过十里，就觉得天地相合；实际并没有相合，只是距离太远造成的错觉。我们看见太阳落下，不是沉入地下，也是距离远了。当太阳在西方落下的时候，西方下方的人，正看见太阳在中天。四方的人，都把离自己近的当作日出，远的当作日落。怎么证明？假使一个人拿着大火炬，夜里在平地行走，离人十里，火光就看不见了，不是火熄灭，是距离太远。太阳向西转动看不见，和火炬消失是一类道理。日月本身不是圆形，望过去之所以圆，是离人遥远。太阳是火之精气，月亮是水之精气。水火在地上都不是圆形，在天上为什么是圆的？”

丹阳葛洪辩驳他说： 《浑天仪注》记载：“天如同鸡蛋，大地如同蛋黄，独自处在天内，天大而地小。天内外都有水，天地各自依托元气而立，承载水而行。周天三百六十五又四分之一度，对半分开，一半覆盖地上，一半环绕地下，所以二十八宿一半可见、一半隐没。天转动，如同车毂旋转。”论述天道的学说虽多，精通阴阳的很少。张衡、陆绩这类人，都认为推演日月五星运行轨迹，校验星象昏明、四时节气、漏刻时刻、晷影往来，用实物天象验证，没有比浑象更精密的。张衡铸造铜浑天仪，放在密室，用水漏驱动旋转，和真实天象契合，如同符契相合。崔瑗为他撰写碑铭：“术数穷尽天地，制作堪比造化，高才妙艺，与天道相合。”正是因为张衡浑天仪、地动仪应验可靠。如果天确实是浑天的形态，那么天出入、穿行水中，就是必然的。所以《黄帝书》说：“大地在天之内，水在天外，水浮载天穹、承载大地。”另外《周易》说：“按时驾驭六龙。”阳爻称作龙，龙是居于水中的生灵，用来比喻天。天属阳，又出入水中，和龙相似，所以用龙比拟。圣人仰观俯察，确认了这个道理。所以《晋卦》坤上离下，用来证明太阳从地上升起；《明夷卦》离下坤上，证明太阳沉入地下；《需卦》乾下坎上，也是天入水中的征象。金生水，天属金，天出入水中，又有什么妨害，要说它不可能？由此，天穿行于水中，不再有疑问。

再看星辰从东方升起，起初只离地面一点点，慢慢向西运行，先经过头顶，之后向西下沉，不是横向绕圈。原先在西方的星辰，也是渐渐下沉隐没，不会向北绕行。太阳升落也是一样。如果像盖天说，天如同磨盘旋转，日月星辰应当跟着天循环，从东到南、到西、到北，再回到东方，不该直接向西沉落。如今太阳从东方缓缓升起，升到中天，向西落下也是慢慢下沉，完全不会绕到北边。事实清清楚楚，王充坚持不以为然，是见识粗疏。太阳直径千里，体量抵得上几十颗小星。如果太阳只是因为远去才看不见，应当还能看见太阳本体，不该完全消失。日光强烈，太阳形体比星辰更大。我们能看见极北的星辰，却看不见转到北边的太阳，足以证明太阳不会向北绕行。如果太阳远去看不见，在将要落下之前，应当慢慢变小；可太阳将落的时候，反而看起来更大，这不是远去的迹象。王充拿火炬比喻太阳，我就用他这个比喻反驳他。拿火炬走远，火光会越来越微弱；可是太阳从升起到落下，不会慢慢变小。用火炬类比太阳，是错的。太阳落到西方，慢慢隐去，起初还剩下一半，像横向破开的镜子，片刻之后消失。如果按王充所说，太阳向北绕行，在北边消失的时候，应当先变成竖直破开的镜子形状，不该是横向的。这么说来，太阳落到北方的说法，孤立难成立。月光本就比日光微弱很多，满月的时候，就算厚云遮蔽，看不见月亮本体，夜里依旧明亮，是月光穿透云层向外照耀。如果太阳向西之后绕到北边，它的光芒应当如同云中月亮，夜里不会彻底黑暗。太阳落下，星月就显现，足以知道日月交替掌管昼夜，轮番普照。如果太阳一直都在天上，不该太阳落下之后星月才出现。

另外考察河图、洛书，都说水火是阴阳的余气。既然说是余气，就知道水火不能生成日月，只能说太阳精气化生火焰。如果水火由日月生出，水火形体为什么不和日月一样是圆形？阳燧取火，阳燧是圆形，生出的火却不是圆形；方诸取水，方诸是方形，水却不是方形。阳燧可以向日取火，不能从火里面取出太阳，足以证明太阳精气生火。方诸向月取水，不能从水里取出月亮，足以证明月亮精气生水。王充又说：远看所以是圆形。如果真是这样，新月初生、月亏之后，为什么看起来不是圆形？日食，亏起或上或下、从侧边开始，有的像弯钩直到食尽。如果仅仅因为遥远才看起来圆，不该看见缺损、亏起的方位。由此证明浑天的学说，真实可信，有证可查。

刘宋何承天论述浑天象体：“细查前人学说，对照浑仪，推求含义，领悟天体正圆，水占据天穹下半，大地中间高、四周低下，水环绕大地下方。四方的地名：东方叫汤谷，是太阳升起之处；西方叫濛汜，是太阳落下之处。《庄子》说：‘北冥有鱼，化为飞鸟，将要飞往南溟。’这也是古书记载，证明四方都是大水。四方有水，叫做四海。五行相生，金生水，所以百川源头都出自山中，由高处流向低处，汇入大海。太阳是阳精，光芒炽烈，一夜沉入水中，所到之处水汽蒸干；百川源源不断流入大海，刚好补足损耗，所以大旱海水不减少，水涝海水不增多。”又说：“周天三百六十五度、又四分之七十五。天恒久向西旋转，一昼夜转过一周还多一度。南北两极，相距一百一十六度、三百零四分之六十五强，这就是天的经线。黄道斜带赤道，春分在奎宿七度相交，秋分在轸宿十五度相交，冬至在斗宿十四度半强，夏至在井宿十六度半。从北极顺着天穹向南五十五度强，处在天穹四维正中，是最高之处，也就是天顶，它的正下方就是大地中心。”其余观点和王蕃大致相同。王蕃的《浑天说》，记载在《晋书》之中。

从前浑天家的旧说：日月星辰，不管春夏秋冬、昼夜晨昏，距离大地中心远近恒定，没有差别。《列子》记载：孔子向东游历，看见两个小孩争辩。问他们缘由，一个小孩说：太阳刚出来的时候离人近，正午的时候离人远。另一个小孩说：我认为太阳刚出来远，正午的时候近。说日出近的小孩：太阳刚出来，大如车盖；到正午，才像盘子。这不就是远小近大吗？说日出远的小孩：太阳刚出来，清清凉凉；到正午，热得像把手伸进热水。这不就是近热远凉吗？

桓谭《新论》记载：汉朝长水校尉平陵关子阳，认为太阳距离人，头顶上方远、侧面近。凭什么知道？黄昏星辰从东方升起，星间距看起来稀疏，相隔一丈多；到夜半升到头顶，看起来密集，间隔只有一二尺。用仪器测量，这个现象更加明显，所以知道天穹上方比侧边更远。太阳是天之阳，火是地之阳。地气的阳气上升，上天的阳气下降。在地上生火，从侧面、从上方感受热度，远近差别很大。正午太阳正在头顶，阳气正对人，所以比日出的时候热；而刚从太阴方向升起的太阳，又比落到西方桑榆之间的时候凉。桓谭说：关子阳这个说法，难道是对的吗？

张衡《灵宪》说：太阳贴近地平线，大地的雾气遮蔽光芒。从幽暗之处看向光明，光芒不受遮掩，所以看起来很大。到正午，天地同样明亮，光芒互相抵消，所以看起来小。火焰夜里光亮明显，白天就不显眼。月亮夜里发光，道理和太阳一样，只是亮度弱一些。

晋代著作郎束皙，字广微，认为侧边、上方距离一样。侧面观测的时候，天体的形象展现在视野一侧，所以日出的时候太阳看着大。太阳本身大小不变，只是视觉上有拉伸、压缩。压缩就显得小，拉伸就显得大，是这个道理。而且日出颜色发白的时候，虽然大却不明显；日出赤红的时候，膨大的观感很强。终究是人眼产生错觉，和距离远近无关。好比在宽敞庭院里，装牛的大鼎看起来像小釜；殿堂高十仞，八尺高的人看起来矮小。外物的观感会被环境干扰，不是物体本身形状改变。事物迷惑人心、扰乱眼目，不能用来判定事理真伪。好比仰看浮云衬托月亮，好像月亮在移动、云不动；乘船渡河，仿佛河水流逝、船静止。

姜岌说：我认为关子阳说阳气下降所以正午炎热、束皙说视觉拉伸所以日出日大，已经比较接近实情。浑天的圆周尺度，通过宿度测算、晷影校验，众说纷纭，根源都在人眼错觉。参宿、伐宿刚从东方升起，侧面看间距稀疏，升到头顶看就密集；用浑仪校验，度数其实均等。侧面和上方，天体距离没有差别。太阳是纯阳精气，光芒向外照耀，眩惑人眼，所以正午看着小。太阳初升的时候，地面有游气，削弱日光，不再眩目，所以太阳赤红、看起来巨大。没有游气的时候，日光发白，膨大感不明显。地气不能升到极高天穹，所以一天之内，早晚太阳赤红，正午发白。地气升腾，蒙蒙雾气四合，和天穹相连，就算正午太阳也会发红。太阳和火相近，火焰本体赤红、焰心发黄，太阳发红是自然的。太阳赤红暗淡，光芒异于常态，就是灾异。

梁朝奉朝请祖暅说： 从古以来论述天道的学者很多，各家说法纷乱，互相非议驳斥。我考察各家异同，核验经典，仰观北极，环视四方，观察日月升落、五星隐现，用浑仪校验，对照晷刻漏仪，浑天的道理确凿有证。我舍弃其他杂说，附论浑仪。

《考灵曜》里前代儒者算出天地相距十七万八千五百里，用晷影校验，数值偏大太多。书中没有写明测算方法，凭空设立数字，属于虚夸之言，不是圣人本意。学者大多固守这个说法不肯更改，难道是不懂得推究道理，还是不会演算？王蕃测算的数据，比起旧说，减少过半。虽然不是绝对精准，但是依理推演，虽不能完全贴合真实天道，已经相当精密。我沿用王蕃的天高数值，求取冬至、春分太阳高度，以及日下直射点距离地中的里数。 算法：八尺表杆、冬至影长一丈三尺，各自平方相加，开平方根作为除数。天高乘以表高作为被除数，除以除数，得到四万二千六百五十八里有余，就是冬至太阳离地高度。天高乘以冬至影长为被除数，除以除数，得到六万九千三百二十里有余，就是冬至太阳直射点距离地中的里数。 计算春分、秋分的方法：八尺表杆、春秋分影长五尺三寸九分，各自平方相加，开平方根为除数。沿用前面冬至天高的被除数，除以除数，得到六万七千五百二里有余，就是春秋分太阳离地高度。天高乘以春秋分影长为被除数，除以除数，得到四万五千四百七十九里有余，就是春秋分太阳直射点距离地中的里数。太阳直射点下方，叫做丹穴。

推算北极距离大地里数的办法：夜里在地中，把表杆立在南侧贴近地面，遥望北极纽星的末端，让纽星、表杆顶端、人眼三点一线。人眼到表杆的距离、表杆高度各自平方相加，开平方根作为除数。天高乘以表高为被除数，除以除数，得到北极纽星离地高度。天高乘以人眼到表杆距离为被除数，除以除数，得到北极正下方向距离地中的里数。北极正下方，名叫空桐。

太阳距离黄道南北二十四度，远则寒冷、近则暑热，二分之时冷暖中和。二分之日，太阳距离天顶三十六度。太阳距离地中，一年四季度数不变，之所以有寒暑，是地气上升、天气下沉。靠近日下直射区域就炎热，远离就寒冷，不是太阳距离大地远近变化。好比火在上方，离得远依旧灼热；放在侧边，就算距离近，热度也微弱。侧面看太阳大、头顶看太阳小，是平视容易、仰观困难，是视角平缓陡峭带来的差异，不是远近变化。好比把珠子悬挂在百仞高空，或是放在身前百仞之处，观看大小截然不同。前代儒者不用这样简单的试验验证，空费笔墨，在平坦大道止步，用雄辩言辞争论，不也迂腐吗？大寒在冬至之后两个节气，寒气累积没有消散；大暑在夏至之后两个节气，暑气积蓄没有消退；冷暖均衡，在二分之后两个节气，寒暑之气还没有平复。好比火刚搬进屋内，不会立刻温暖，不用再加柴，时间久了越来越热；把火移走之后，还有余热。