推算金星、水星的方法

1. 推算天正冬至：算法同太阳运行（日躔）篇。
2. 推算金星、水星行星本体平均运行度数：算法同土星、木星、火星。
3. 推算金星、水星远日点运行度数：算法同土星、木星、火星。
4. 推算金星、水星伏见阶段平均运行度数：算法同该行星本体平均运行度数。
5. 推算金星、水星升交点运行度数：取用该行星远日点平均运行度数；金星减去16度，水星加上或者减去六宫（180度），就得到升交点运行度数。
6. 推算金星初次实际运行度数：用该行星的引数求出第一次均差，用均差对该行星平均运行度数做加减修正，得到金星初次实际运行度数。求解次轮圆心到地心距离的算法，全部和土星、木星、火星一致。
7. 推算水星初次实际运行度数：运用平面三角形算法，本轮半径为一条边，均轮半径为另一条边；取引数的三倍，作为两条边外侧的夹角，如果三倍引数超过半周天，就用全周减去该数值，取用余数。求出此三角形对应未知边的长度，以及对着均轮半径那条边的夹角。 再使用平面三角形：本天半径作为大边，前面求出的未知边长作为小边；把刚才求得对着均轮半径的夹角，和均轮圆心距离近地点的度数做加减处理；引数不到半周，就用半周减去引数；引数过半周，就引数减去半周，得到均轮圆心距离近地点度数。加减规则：三倍引数没有过半周就相加，三倍引数过半周就相减；以此作为三角形的夹角。 算出对着小边的夹角，这就是第一次均差；同时算出三角形对边长度，就是次轮圆心到地心的距离。用第一次均差对水星平均运行度数加减修正：引数处在初宫到五宫区间就减去均差，引数处在六宫到十一宫区间就加上均差，得到水星初次实际运行度数。
8. 推算金星、水星伏见阶段实际运行度数：取用该行星伏见平均运行度数，对其加减该行星第一次均差；引数初宫至五宫就加，引数六宫至十一宫就减，就得到伏见实际运行度数。
9. 推算金星、水星黄道实际运行度数：使用平面三角形，次轮圆心到地心距离作为一边，次轮半径作为另一边；行星伏见实际运行度数作为外侧夹角，如果该度数超过半周，用全周减去，取用余数。算出对着次轮半径的夹角，就是第二次均差；同时算出三角形的对边，即行星到地心的距离。 用第二次均差对初次实际运行度数加减修正：伏见实际运行度数处于初宫至五宫则加，六宫至十一宫则减，得到该行星黄道实际运行度数。

1. 推算金星、水星距离升交点的运行度数：取用该行星初次实际运行度数，减去该行星升交点运行度数，得到距交运行度数；把这个结果再和行星伏见实际运行度数相加，得到行星距离降交点运行度数。
2. 推算金星、水星视纬度：把本天半径作为第一比率，行星次轮面对黄道交角的正弦值作为第二比率；金星交角固定唯一；水星交角时刻发生变化，必须求取实际交角才可以使用，求取方法见后文。行星距离降交点运行度数的正弦值作为第三比率；求得第四比率为正弦值，查三角函数表，得到行星的次纬度。 再把本天半径作为第一比率，次纬度正弦作为第二比率，次轮半径作为第三比率，求得第四比率，就是行星距离黄道的垂直距离。 之后把行星到地心距离作为第一比率，行星距离黄道垂直距离作为第二比率，本天半径作为第三比率，求得第四比率是正弦值，查表得到行星视纬度，同时判定南北：初宫到五宫为黄道以北，六宫到十一宫为黄道以南。
3. 推算水星实际交角：取半径一千万作为第一比率，交角变动量换算成秒作为第二比率；距离升交点运行度数处于九宫至二宫区间，就使用升交点对应的交角变动量；处于三宫至八宫区间，就使用降交点对应的交角变动量，同时根据星体南北方位选用对应数值。距离升交点运行度数的正弦值作为第三比率，算出第四比率，得到交角差值。 取用基准交角，使用交角的法则和使用交角变动量的规则一样；用交角差值对基准交角做加减：距离升交点运行度数九宫至二宫，星体在黄道北就加，星体在黄道南就减；三宫至八宫则反过来。运算结果就是实际交角。
4. 推算黄道二十八宿度数以及纪日干支：算法和太阳运行（日躔）篇相同。
5. 推算交宫时刻：算法同月离篇。
6. 推算金星、水星清晨、傍晚伏见的确定限度：行星实际运行度数和太阳实际运行度数处于同一宫、同一度，叫做合伏。合伏之后行星和太阳角距离逐渐拉开；傍晚在西方顺行，顺行速度逐渐变慢，速度降到最低之后转为逆行，这就是留、退。刚刚开始逆行的时候行星慢慢靠近太阳，于是傍晚就看不见；再次和太阳度数重合，叫作合退伏。从合退伏起，又慢慢远离太阳，清晨出现在东方。依旧逆行，速度渐渐放缓，速度到最低转为顺行，这就是留、顺。刚开始顺行，运行速度越来越快，再度靠近太阳，直到发生合伏，清晨就看不见行星。 伏见限度：金星为5度，水星为10度。求取确定限度的算法和土星、木星、火星相同。观察行星和太阳的角距离接近限度的时候：天象发生在合伏之前某日，那一日清晨行星就看不见；合伏之后某日，该日傍晚行星出现；合退伏之前某日，该日傍晚行星消失不见；合退伏之后某日，该日清晨行星出现。
7. 推算金星、水星合伏时刻：行星实际运行度数将要追上太阳实际运行度数，当天就是合伏本日；行星实际运行度数已经超过太阳实际运行度数，次日作为合伏之日。推算时刻方法，和月离篇推算朔、望时刻的算法一致。
8. 推算金星、水星合退伏时刻：太阳实际运行度数将要追上行星实际运行度数，当天是合退伏本日；太阳实际运行度数已经越过行星实际运行度数，次日作为合退伏之日。推算时刻算法，和土星木星火星推算退冲时刻算法一致。

恒星所用参数

详见太阳运行（日躔）篇。

推算恒星的方法

1. 推算恒星黄道经度：用距离康熙壬子年的年数减去一，得到积年岁差；用积年岁差进行运算，换算成度、分，再和康熙壬子年恒星表记录的恒星经度相加，就得到各恒星当年的黄道经度。
2. 推算恒星赤道经纬度：运用球面三角形算法。恒星距离黄极的弧长作为一边，黄赤大距（黄黄赤道最大夹角）作为第二条边；恒星当年距离夏至点前后的度数作为两条边的夹角；求出对着恒星距黄极这条边的夹角。在夏至之前，直接取用该度数；夏至之后，用全周天减去该度数，取用余数。从星纪宫初度起算，这个角度就是恒星的赤道经度。 再求出对应原始夹角的边长，用90度（一个象限）减去该边长，余数就是赤道纬度；运算结果小于90度为北纬，大于90度为南纬。
3. 推算中星（子午中天之星）：把当下时刻的分数作为第一比率；本日太阳实际运行度数减去次日太阳实际运行度数得到差值，作为第二比率；把设定的观测时刻换算成分数，作为第三比率；求得第四比率，和本日太阳实际运行度数相加，得到该时刻太阳黄道经度。 使用球面三角形算法，换算出太阳赤道经度。再把设定时刻换算成赤道度数：一个时辰换算15度，一分换算15分，一秒换算15秒。对换算结果加减半周天：不足半周就加上半周；超过半周就减去半周。得到该时刻太阳距离午后的赤道度数。把这个度数加上太阳赤道经度，得到该时刻正午赤道经度。当年赤道经度和正午赤道经度相同的那颗恒星，就是当时的中星。

志二十四 时宪五下·康熙甲子元法下

月食所用参数

朔策（朔月周期）：29日530593 望策（半个朔望月，朔到望）：14日7652965 一个朔策周期内太阳平均运行：104784秒，小数0.304324 一个朔策周期内太阳引数：104779秒，小数0.358865 一个朔策周期内太阴引数：92940秒，小数0.024859 一个朔策周期内太阴交周（月亮黄白交点运行）：110414秒，小数0.016574

一个望策周期内太阳平均运行：14度33分12秒09微 一个望策周期内太阳引数：14度33分09秒41微 一个望策周期内太阴引数：六宫12度54分30秒07微 一个望策周期内太阴交周：六宫15度20分07秒

太阳每小时平均运行：147秒，小数0.8471049 太阳每小时引数运行：147秒，小数0.840127 太阴每小时引数运行：1959秒，小数0.7476542 太阴每小时交周运行：1984秒，小数0.402549 月亮相对于太阳每小时平均运行：1828秒，小数0.6121108

太阳视半径：637 月亮实际半径：27 地球半径：100

太阳远地点到地球距离：10179208，相对于地球半径的比例为11620。 月亮远地点到地球距离：1017250，相对于地球半径比例为5816。

朔起算基准：26日3852666。 首朔太阳平均运行基准：初宫26度20分42秒57微。 首朔太阳引数基准：初宫19度10分27秒21微。 首朔太阴引数基准：九宫18度34分26秒16微。 首朔太阴交周基准：六宫0度30分55秒14微。其余参数参看日躔、月离两篇。

推算月食的方法

1. 推算天正冬至：算法同太阳运行（日躔）篇。
2. 推算纪日：在天正冬至日数上加一日，得到纪日。
3. 推算首朔：先算出积日，算法同月离篇。拿积日减去朔的起算基准，得到通朔；若是往前推算古代天象，则做加法。用朔策去除通朔；商数加一得到积朔；余数再减去朔策，得到首朔。若是往前推古天象，除法得到商数直接就是积朔，不需要加一，余数直接就是首朔，不用再做减法。
4. 判断月亮是否进入月食食限：取积朔，乘以朔策对应的太阴交周数值，满全周天的秒数就舍弃，余数为积朔对应的太阴交周。加上首朔太阴交周基准，得到首朔太阴交周。往前推算古天象，就用首朔交周基准减去积朔交周。 再加上望策对应的太阴交周，之后连续十三次递加朔策对应的太阴交周，得到每个望月月亮的平均交周。哪个月份月亮交周进入可发生月食的范围，该月就会可能发生月食。 交周落在五宫15度06分到六宫14度54分、或者十一宫15度06分到初宫14度54分，都属于可食限度；之后再用实际交周进一步核验。
5. 推算平望（理论望月时刻）：把进入食限的月份数乘朔策，加上望策，再加首朔日分与纪日；满纪法就舍去，余数就是平望的日数。从甲子日开始依次排干支，得到平望的干支；把小数部分换算成刻、分，按照规则换算；从子时正点起算时辰，得到平望的时刻分秒。
6. 推算太阳平均运行度数：取积朔，加上进入食限的月份数得到通月；用朔策对应的太阳平均运行数值乘通月，满周天秒数即舍弃；加上首朔太阳平均运行基准，往前推古天象则减去基准。再加上望策对应的太阳平均运行，得到结果。
7. 推算太阳平引（太阳平近点角）：用通月乘以朔策太阳引数，去掉满周天部分，加上首朔太阳引数基准；推古天象做减法；再加望策太阳引数，得到太阳平引。
8. 推算太阴平引（月亮平近点角）：通月乘以朔策太阴引数，舍弃满周天部分；加上首朔太阴引数基准；推古天象做减法；再加望策太阴引数，得到太阴平引。
9. 推算太阳实引（太阳真近点角）：用太阳平引，依照日躔篇算法求出太阳均差；用太阴平引，依照月离篇算法求出月亮第一次均差。两个均差相加或者相减得到距弧；两个均差正负符号相同就相减，正负相反就相加。 拿月亮相对太阳每小时平均运行作为第一比率；一小时换算成秒作为第二比率；距弧换算成秒作为第三比率；算出第四比率，就是距时秒，确定加减符号。两均差符号相同时，如果太阳均差数值更大，符号维持不变，月亮均差数值更大，符号翻转；一正一负的情况下，加减符号依从太阳均差。 再以一小时化为秒作为第一比率，太阳每小时引数运行作为第二比率，距时秒作为第三比率，求得第四比率单位为秒，换算成度分，得到太阳引弧；按照距时的加减符号，对太阳平引进行加减，得到太阳实引。
10. 推算太阴实引：一小时化为秒为第一比率，月亮每小时引数运行为第二比率，距时秒作为第三比率，求出第四比率（秒），换算度分得到太阴引弧；依照距时的加减符号，对太阴平引加减，得到太阴实引。
11. 求实望（真正望月时刻）：用太阳实引重新计算均差，得到太阳实均差，同时求出太阳到地心距离，就是第二次平面三角形的直角对边。用太阴实引再算均差，得到月亮实均差，求出月亮到地心距离，算法和太阳相同。 两个实均差相加减得到实距弧；加减规则和前面求距弧一样。沿用前面求距时的算法，求出时分为实距时。用实距时对平望时刻做加减，加减符号和距时保持一致，得到实望。 相加超过二十四小时，实望就向后进一日；数值不够减，借一日当作二十四小时再减，实望就向前退一日。
12. 求实际交周：一小时换算秒数作为第一比率，月亮每小时交周运行作为第二比率，实距时换算成秒作为第三比率；算出第四比率（秒）换算度分，得到交周距弧。按照实距时的加减符号，对太阴交周做加减；再用月亮实均差进行加减，得到实际交周。 如果实际交周落入必发生月食的限度，确定会发生月食；限度范围：五宫17度43分05秒至六宫12度16分55秒，十一宫17度43分05秒至初宫12度16分55秒。不在此范围，就不用继续往下演算。
13. 求太阳黄道、赤道实际经度：一小时化为秒作为第一比率，太阳每小时平均运行为第二比率，实距时换算秒数为第三比率；求得第四比率（秒）换算度分，得到太阳距弧，依照实距时的加减符号，加减太阳平均运行度数，再加上太阳实均差，得到太阳黄道经度。再利用球面三角形换算出太阳赤道经度，详见月离篇“求太阴出入时刻”条目。
14. 求实望用时：把太阳实均差换算成时间，得到均数时差；黄赤道经度之差，即升度差，换算为时间，得到升度时差。两个时差相加或相减得到总时差，加减细则参看月离篇“求用时平行”条目。用总时差修正实望时刻，得到实望用时。 如果实望用时距离日出之后、日落之前不足九刻，月食可以观测；超过九刻，月食完全发生在白天，不用继续演算。
15. 求食甚时刻：本天半径作第一比率，黄白大距的余弦作第二比率；实际交周的正切为第三比率；求得第四比率是正切，查表得到食甚时刻对应的交周。该数值减去实际交周，得到交周升度差。 再把月亮每小时引数运行和月亮实引相加，使用月离篇求初均差的算法，得到后均差。后均差与月亮实均差相加相减：符号相同相减，符号相反相加。运算结果再和月亮相对太阳每小时实际运行度数进行加减：两个均差都是加，后均差数值大就加，数值小就减；两个均差都是减，后均差大就减，小就加；一加一减，依从后均差符号。得到月亮相对太阳的实际运行速度。 月亮相对太阳实际运行换算秒数作第一比率；一小时化为秒作第二比率；交周升度差换算秒作第三比率，算出第四比率（秒），换算时分得到食甚距时。用食甚距时修正实望用时：实际交周在初宫、六宫做减法；五宫、十一宫做加法，得到食甚时刻。
16. 求食甚距纬：本天半径为第一比率，黄白大距正弦为第二比率；实际交周正弦为第三比率，求得第四比率正弦，查表得食甚时刻月亮距离黄道纬度。实际交周初宫、五宫为黄道北，六宫、十一宫为黄道南。
17. 求月亮视半径：月亮远地点到地距离作第一比率，地半径比例数作第二比率；月亮到地心距离减去次均轮半径，作为第三比率，求得第四比率，即月亮到地球距离。 再拿月亮到地距离为第一比率，月亮真实半径为第二比率，本天半径为第三比率；算出第四比率正弦，查表得到月亮视半径。
18. 求地影半径：太阳远地点到地距离为第一比率，地球半径比例数为第二比率；太阳到地心距离为第三比率，求得第四比率即太阳到地球距离。 用太阳视半径减去地球半径得到第一比率；太阳到地距离第二比率，地球半径第三比率，求得第四比率为地影长度。 以地影长作第一比率，地球半径作第二比率，本天半径作第三比率，得到第四比率正弦，查表得到地影角。 本天半径第一比率，地影角正切第二比率，地影长减去月亮到地距离为第三比率；求得第四比率正切，查表，得到月亮所处位置地影横向宽度。 月亮到地距离作第一比率，地影宽度作第二比率，本天半径作第三比率，求得第四比率正切，查表得到地影视半径。
19. 求食分：月亮视全直径作第一比率，十分为第二比率；月亮视半径和地影视半径相加，再减去食甚距纬，作为第三比率。算出第四比率，就是月食食分。如果两半径相加都小于食甚距纬，则不会发生月食。
20. 求初亏、复圆时刻：食甚距纬的余弦为第一比率，月亮与地影半径之和的余弦为第二比率，半径一千万作第三比率；求得第四比率余弦，查表得到初亏、复圆对应的距弧。 月亮相对太阳实际运行换算秒作第一比率；一小时化为秒作第二比率；初亏复圆距弧换算秒数作第三比率，求出第四比率秒数，换算时分，得到初亏、复圆距时。 用距时修正食甚时刻：减去距时得到初亏，加上距时得到复圆。
21. 求食既、生光时刻：食甚距纬余弦为第一比率，月亮视半径减去地影视半径的差值的余弦作为第二比率，一千万半径第三比率；求得第四比率余弦，查表得食既、生光距弧。 月亮相对太阳实际运行秒数第一比率，一小时秒数第二比率，食既生光距弧秒数第三比率；求得第四比率秒数，换算时分，得到食既生光距时。 用距时修正食甚时刻：减去距时得到食既，加上距时得到生光。
22. 求月食总持续时间：把初亏到复圆的距时乘以二，即为食限总时。
23. 求月亮黄道经纬度：取用太阳黄道经度，加减六宫（180度）；大于六宫就减去六宫，不足六宫加上六宫；之后加减食甚距弧，再加减黄白升度差；求升度差的方法，参看月离篇求黄道实行条目。得到月亮黄道经度。求纬度参看月离篇。
24. 求月亮赤道经纬度：参看月离篇求太阴出入时刻条目。
25. 求二十八宿宿度：算法同太阳运行（日躔）篇。
26. 求黄道与地平圈交角：食甚时刻换算成赤道度数；每四分时间换算一度。太阳赤道经度减去三宫，不够减就加上十二宫再减，余数为太阳距离春分点的赤道度数。两数相加，满全周舍弃，得到春分点距离子时正点的赤道度数。 用半周天减去此数值，得到春分距离正午东西方向赤道度数。超过半周，减去半周，代表正午以西；不足半周，即为正午以东。 春分距离正午东西度数超过一个象限，用半周减去，余数就是秋分距离正午东西赤道度数；秋分东西方位和春分正好相反。 拿春分、秋分距离正午东西度数和九十度相减，余数为春分、秋分距离地平圈赤道度数。 以此度数作为球面三角形一边；黄赤大距、赤道地平交角（赤道圈在地平上的高度）作为三角形两个邻角。春分在正午以西、秋分正午以东使用此角度；春分正午以东、秋分正午以西，则把该度数减去半周，取余数。求解球面三角形，得到对边的角度，即为黄道地平交角。 春分午东、秋分午西，计算结果直接是黄道地平交角；春分午西、秋分午东，计算结果减去半周取余数作为黄道地平交角。
27. 求黄道高弧交角：黄道地平交角正弦为第一比率，赤道地平交角正弦为第二比率，春分秋分距地平赤道度数正弦第三比率；求得第四比率正弦，查表，得到春分秋分距离地平的黄道度数。 春分、秋分在地平之上时，月亮黄道经度与三宫、九宫相减；春分和三宫相减，秋分和九宫相减，余数是月亮距离春分、秋分黄道度数。春分、秋分宫度大于月亮宫度，月亮就在分点之前；反之在分点之后。 把春分秋分距地平黄道度数，与月亮距离分点黄道度数相加相减，得到月亮距离地平黄道度数。春分秋分在正午西边，月亮在分点之后相加，分点之前相减；春分秋分正午以东，操作相反。同时确定月亮距离黄平象限的东西方位。 春分秋分在正午西边：月亮距地平黄道度数小于九十度，为象限以西；大于九十度，象限以东。春分秋分正午以东，正好反过来。 月亮距离地平黄道度数的余弦作第一比率，本天半径作第二比率，黄道地平交角余切作第三比率；求得第四比率正切，查表，得到黄道高弧交角。
28. 求初亏、复圆定交角：食甚交周加减初亏、复圆距弧，得到初亏、复圆交周；减得到初亏，加得到复圆。 本天半径第一比率，黄白大距正弦第二比率，初亏交周正弦第三比率；求得第四比率正弦，查表得到初亏距纬。 再拿复圆交周正弦作第三比率，第一、第二比率不变；求得正弦查表，得到复圆距纬。交周初宫、五宫纬度向北；六宫、十一宫纬度向南。 月亮地影半径之和正弦作第一比率，初亏、复圆距纬正弦分别作第二比率，一千万半径作第三比率；分别算出第四比率正弦，查表，得到初亏、复圆两处纬差角。 纬差角和黄道高弧交角加减，得到初亏、复圆定交角。初亏发生在象限以东：月亮纬向南就加，向北就减；象限以西，纬南减，纬北加。复圆加减规则与初亏相反。如果没有纬差角，直接取黄道高弧交角作为定交角。
29. 求初亏复圆方位：月食发生在黄平象限以东：定交角小于四十五度，初亏月亮下边缘偏向左侧，复圆月亮上边缘偏向右侧；大于四十五度，初亏月亮左边缘偏向下，复圆月亮右边缘偏向上；恰好九十度，初亏月亮正左，复圆月亮正右；超过九十度，初亏月亮左边缘偏向上，复圆月亮右边缘偏向下。 月食发生在黄平象限以西：定交角四十五度以内，初亏月亮上边缘偏左，复圆月亮下边缘偏右；四十五度以上，初亏月亮左边缘偏上，复圆月亮右边缘偏下；正好九十度，初亏正左，复圆正右；超过九十度，初亏月亮左边缘偏下，复圆月亮右边缘偏上。 京城地区黄平象限永远在天顶南边，方位判定如上；黄平象限在天顶北边，则全部反过来。
30. 求带食分秒：取用当日日出、日落时刻；初亏、食甚发生在日落之前，月亮还没有落下地平线，取用日落时刻；食甚、复圆发生在日出之后，月亮刚升出地平线，取用日出时刻。 该时刻减去食甚时刻，余数为带食距时。一小时化为秒第一比率，月亮相对太阳每小时实际运行秒数第二比率，带食距时秒数第三比率，求得第四比率秒数，换算度分，得到带食距弧。 一千万半径第一比率，带食距弧余切第二比率，食甚距纬余弦第三比率，求得第四比率余切，查表，得到发生带食时日月两心角距离。 月亮视全直径作第一比率，十分为第二比率；月亮地影半径之和减去两心距离，得到第三比率；算出第四比率，就是带食食分。
31. 推算各省月食时刻：各省相对于京城的东西经度偏差换算时间，每偏差一度换算四分之一刻；京城月食时刻加上偏差（东边省份），西边省份减去偏差，得到当地月食时刻。
32. 推算各省月食方位：根据当地北极高度、月食时刻，套用京城推算方位的整套算法，得出当地方位。
33. 绘制月食图：先画一横一竖两条直线垂直相交；横线代表黄道，竖线代表黄道经圈。以地影视半径，以交点为圆心画圆，象征地影（闇虚）。再以月亮地影半径之和画外圈虚线，作为初亏、复圆界限。再以月亮地影半径之差画内圈虚线，作为食既、生光界限。 在外圈虚圈上，沿着竖线向左或者向右取五度作为标记点；实际交周处于初宫、十一宫，标记点画在右侧；五宫、六宫，标记点画左侧。 从标记点过圆心画直线，延伸到外圈虚圈另一边，就是白道经圈。沿此直线从圆心量取食甚距纬，标记出食甚月亮圆心位置。过这个标记画十字横线，代表白道。白道和内外虚圈交点，就是食甚前后初亏、食既、生光、复圆四个时刻月亮圆心位置。最后以月亮视半径，分别在五个月亮圆心位置绘制小圆，月食五限图像全部完备。

日食所用参数

太阳真实半径507；其余参数参看月食篇。

推算日食的方法

1. 推算天正冬至：算法参看日躔篇。
2. 推算纪日：算法同月食篇。
3. 推算首朔：算法同月食篇。
4. 判断月亮是否进入日食食限：算法和月食求各个望月平均交周类似，但是不用加上望策，得到各个朔日月亮平均交周。哪个月份交周落入可食限度，当月可能发生日食。限度范围：五宫9度08分到六宫8度51分，十一宫21度09分到初宫20度52分。
5. 推算平朔、太阳平均运行、太阳平引、太阴平引：以上四条，算法同月食篇推算平望，只是不再加望策。
6. 求太阳实引：同月食篇。
7. 求太阴实引：同月食篇。
8. 求实朔：算法同月食篇求实望。
9. 求实际交周：算法同月食篇。实际交周落入日食实朔食限才会发生日食；限度：五宫11度45分到六宫6度14分，十一宫23度46分到初宫18度15分。
10. 求太阳黄道赤道实际经度：同月食篇。
11. 求实朔用时：算法同月食篇求实望用时。实朔用时，如果距离日出前、日入后超过五刻，日食发生在夜里，不用往下演算。
12. 求食甚用时：算法同月食篇求食甚时刻。
13. 求该用时下春分秋分距离正午赤道度数：太阳赤道经度减去三宫，不够减加十二宫再减，得到太阳距离春分之后赤道度数。食甚用时换算赤道度数，加减半周天；超过半周减去半周，不足半周加上半周；得到太阳距离正午赤道度数。两数相加，舍弃满全周部分。 结果小于一个象限，为春分距离正午以西赤道度数；大于一个象限，用半周相减，余数是秋分距离正午以东赤道度数；大于两个象限，减去两个象限，余数为秋分距离正午以西赤道度数；大于三个象限，用全周相减，余数为春分距离正午以东赤道度数。
14. 求该用时下春分秋分距离正午黄道度数：黄赤大距余弦作第一比率，本天半径作第二比率；春分秋分距午赤道度数正切作第三比率；求得第四比率正切，查表，得到春分秋分距离正午黄道度数。
15. 求该用时正午黄赤距纬：本天半径第一比率，黄赤大距正弦第二比率，春分秋分距午黄道度数正弦第三比率；求得第四比率正弦，查表，得到正午黄赤距纬。
16. 求该用时黄道和子午圈交角：春分秋分距午黄道度数正弦作第一比率，春分秋分距午赤道度数正弦作第二比率，本天半径第三比率；求得第四比率正弦，查表得到黄道子午圈交角。
17. 求该用时正午黄道宫度：取用春分秋分距午黄道度数；春分：正午以西加三宫，正午以东减去三宫；秋分：正午以西加九宫，正午以东减去九宫。得到正午黄道宫度。
18. 求该用时正午黄道高度：赤道高度（北极高度减去九十度），加减正午黄赤距纬；黄道处于三宫至八宫相加，九宫至二宫相减。得到正午黄道高度。
19. 求该用时黄平象限距离正午度数：黄道子午圈交角余弦作第一比率，本天半径作第二比率，正午黄道高度正切作第三比率；求得第四比率正切，查表得到度数。九十度减去该度数，余数就是黄平象限距离正午度数。
20. 求该用时黄平象限宫度：正午黄道宫度加减黄平象限距午度数；正午黄道宫度初宫至五宫相加，六宫至十一宫相减。正午黄道高度大于九十度，加减符号翻转。得到黄平象限宫度。
21. 求该用时月亮距离黄平象限限度度数：太阳黄道经度减去黄平象限宫度，余数就是月距限度，判定东西方位：太阳黄道经度大于黄平象限宫度，为象限以东；小于，为象限以西。
22. 求该用时黄平象限所在位置距离地平高度：本天半径第一比率，黄道子午圈交角正弦第二比率，正午黄道高度余弦第三比率；求得第四比率余弦，查表，得到限距地高。
23. 求该用时月亮高度弧：本天半径第一比率，限距地高正弦第二比率，月距限度余弦第三比率；求得第四比率正弦，查表得到月亮高度弧。
24. 求该用时黄道高弧交角：月距限度正弦第一比率，限距地高余切第二比率，本天半径第三比率；求得第四比率正切，查表得到黄道高弧交角。
25. 求该用时白道高弧交角：黄道高弧交角，加减黄白大距。食甚交周初宫、十一宫：月亮在象限以东就加，象限以西就减；交周五宫、六宫，操作反过来。计算结果超过九十度，象限东西翻转；数值不够减，反向做减法。黄平象限在天顶南，白平象限转到天顶北；黄平象限在天顶北，白平象限转到天顶南。
26. 求太阳到地距离：参看月食篇求地影半径条目。
27. 求月亮到地距离：参看月食篇求月亮半径条目。
28. 求该用时高下差（地平视差南北分量）：平面三角形，地球半径一边，太阳到地距离一边；月亮高度弧减去九十度，得到三角形夹角。求解三角形，求出对着太阳距离那条边的角度，减去九十度，得到太阳视高度；月亮高度弧减去太阳视高度，得到太阳地半径差。 再平面三角形，地半径一边，月亮到地距离一边；月亮高度弧减九十度作为夹角；求解三角形，求出对着月亮距离边的角度，减去九十度得到月亮视高度；月亮高度弧减去月亮视高度，得到月亮地半径差。月亮地半径差减去太阳地半径差，得到高下差。
29. 求该用时东西差（地平视差东西分量）：一千万半径第一比率，白道高弧交角余弦第二比率，高下差正切第三比率；求得第四比率正切，查表得到用时东西差。
30. 求食甚近时：月亮相对太阳实际运行换算秒第一比率，一小时换算秒第二比率，东西差换算秒第三比率；求得第四比率秒，换算时分，得到近时距分。 用近时距分修正食甚用时：月亮在象限以西就加，象限以东就减；同时结合白道高弧交角带来的象限翻转情况，确定加减。得到食甚近时。
31. 求近时条件下春分秋分距午赤道度数：把食甚近时换算赤道度数求解，其余步骤同上；下面所有条目全部改用食甚近时的度数重新演算。
32. 求近时春分秋分距午黄道度数。
33. 求近时正午黄赤距纬。
34. 求近时黄道子午圈交角。
35. 求近时正午黄道宫度。
36. 求近时正午黄道高度。
37. 求近时黄平象限距离正午度数。
38. 求近时黄平象限宫度。
39. 求近时月距限度：太阳黄道经度，按照近时距分的加减符号，加减用时东西差，得到近时月亮黄道经度；减去近时黄平象限宫度，得到近时月距限度，其余判定规则同上。
40. 求近时限距地高。
41. 求近时月亮高度弧。
42. 求近时黄道高弧交角。
43. 求近时白道高弧交角。
44. 求近时高下差。
45. 求近时东西差。
46. 求食甚视行：两倍的用时东西差减去近时东西差，得到食甚视行。
47. 求食甚真时：视行换算秒作第一比率，近时距分换算秒作第二比率，用时东西差换算秒作第三比率；求得第四比率秒，换算时分得到真时距分。按照近时距分相同的加减符号，修正食甚用时，得到食甚真时。
48. 求真时条件下春分秋分距午赤道度数：食甚真时换算赤道度数计算；下面全部改用食甚真时数据演算。
49. 求真时春分秋分距午黄道度数。
50. 求真时正午黄赤距纬。
51. 求真时黄道子午圈交角。
52. 求真时正午黄道宫度。
53. 求真时正午黄道高度。
54. 求真时黄平象限距离正午度数。
55. 求真时黄平象限宫度。
56. 求真时月距限度：太阳黄道经度，按照真时距分符号加减近时东西差，得到真时月亮黄道经度，其余同上。
57. 求真时限距地高。
58. 求真时月亮高度弧。
59. 求真时黄道高弧交角。
60. 求真时白道高弧交角。
61. 求真时高下差。
62. 求真时东西差。
63. 求真时南北差：一千万半径第一比率，真时白道高弧交角正弦第二比率，真时高下差正弦第三比率；求得第四比率正弦，查表，得到真时南北差。
64. 求食甚视纬度：套用月食篇食甚距纬算法算出真实纬度；再用真时南北差加减修正得到食甚视纬。白平象限在天顶以南：月亮真实纬度向南，南北差相加，视纬依旧向南；真实纬度向北，则减去南北差，视纬仍然向北。如果北向实纬小于南北差，相减后视纬转为向南。白平象限在天顶以北全部反过来。
65. 求太阳视半径：太阳到地距离作第一比率，太阳真实半径作第二比率，本天半径作第三比率；求得第四比率正弦，查表得到太阳视半径。
66. 求月亮视半径：参看月食篇相关条目。

推算食分：把太阳的完整视直径当作第一比率，十分为第二比率；取太阳、月亮二者半径相加的和，减去月亮视纬度，得到第三比率，按比例算出第四比率，这个数值就是食分。

推算初亏、复圆所用时间：取食甚时刻月亮视纬度的余弦作为第一比率，日月半径之和的余弦作为第二比率，半径一千万作为第三比率，算出第四比率，得到余弦值，查对数表，得到初亏、复圆的距弧。再取月亮相对于太阳的实际运行度数，换算成秒数作为第一比率，一小时换算为秒数作为第二比率，初亏、复圆距弧换算成秒数作为第三比率，算出第四比率，单位为秒；再换算成时分，得到初亏、复圆相对于食甚的时间。用食甚真时减去这个时间得到初亏时刻，加上这个时间得到复圆时刻。

推算初亏时分，春分、秋分时节距离正午的赤道度数：用初亏时刻换算为赤道度数来求取，其余算法和推算用时的方法相同。后面各条以此类推，全部使用初亏的度数来运算。

推算初亏时分，春分、秋分时节距离正午的黄道度数。 推算初亏正午时刻黄、赤二道的纬度差。 推算初亏时分黄道与子午圈的交角。 推算初亏正午时刻黄道的宫度。 推算初亏正午时刻黄道的地平高度。 推算初亏时分黄平象限距离正午的度数。 推算初亏时分黄平象限的宫度。

推算初亏时月亮距离界限的度数：取用太阳黄道经度，减去初亏、复圆距弧，再依据真时的时分加减东西差（按照真时距分确定加减符号），就得到初亏时月亮的黄道经度。其余步骤和推算用时的算法一致。

推算初亏时界限距离地面的高度。 推算初亏时月亮的高弧。 推算初亏时分黄道与高弧的交角。 推算初亏时分白道与高弧的交角。 推算初亏的高下差。 推算初亏的东西差。 推算初亏的南北差。

推算初亏视行：将初亏东西差和食甚时刻东西差做相减或者相加运算；初亏与食甚处在同一界限就相减，初亏在界限东面、食甚在界限西面就相加，得到差分。用差分对初亏、复圆距弧做加减运算，得到视行。 做相减求取差分的情况：日食发生在界限东面，初亏东西差数值大就减去差分，数值小就加上差分；日食发生在界限西面则与此相反。 做相加求取差分的情况，运算后一律做减法。

推算初亏真时：把初亏视行换算成秒数作为第一比率，初亏、复圆距时换算成秒数作为第二比率，初亏、复圆距弧换算成秒数作为第三比率，算出第四比率，单位秒，再换算成时分，得到初亏距分。用食甚真时减去初亏距分，得到初亏真时。

推算复圆时分，春分、秋分时节距离正午的赤道度数：用复圆时刻换算成赤道度数求取，其余和推算用时算法一致。后面各条以此类推，全部用复圆的度数运算。

推算复圆时分，春分、秋分时节距离正午的黄道度数。 推算复圆正午时刻黄赤纬度差。 推算复圆时分黄道和子午圈交角。 推算复圆正午黄道宫度。 推算复圆正午黄道地平高度。 推算复圆时分黄平象限距离正午度数。 推算复圆时分黄平象限宫度。

推算复圆时月亮距离界限度数：取用太阳黄道经度，加上初亏、复圆距弧，再依据真时的时分加减东西差（按照真时距分确定加减符号），得到复圆时刻月亮黄道经度，其余和推算用时算法一致。

推算复圆时界限距离地面高度。 推算复圆时月亮高弧。 推算复圆时分黄道和高弧交角。 推算复圆时分白道和高弧交角。 推算复圆高下差。 推算复圆东西差。 推算复圆南北差。

推算复圆视行：将复圆东西差与食甚东西差相减或者相加得到差分；复圆和食甚在同一界限就相减；食甚在界限东面，复圆在界限西面就相加。拿差分对初亏、复圆距弧做加减，得到视行。 相减求差分的情况：日食在界限东面，复圆东西差大就加差分，小就减差分；日食在界限西面则反过来。相加得到差分的情况，一律做减法。

推算复圆真时：把复圆视行换算成秒作为第一比率，初亏复圆距时换算秒作为第二比率，初亏复圆距弧换算秒作为第三比率，算出第四比率，单位秒，换算为时分得到复圆距分。食甚真时加上复圆距分，得到复圆真时。

推算日食全程总时间：初亏距分加上复圆距分，直接得到结果。

推算太阳黄道二十八宿度数，算法和推算太阳运行（日躔）相同。 推算太阳赤道二十八宿度数：依照恒星求赤道经纬度的算法，求得当年赤道星宿分度表，其余步骤和日躔求黄道度数的方法一致。

推算初亏、复圆的定交角：分别求出初亏、复圆的视纬度，方法和求食甚视纬度一样，据此算出各自纬差角；分别把纬差角和黄道高弧交角相加、相减，得到初亏、复圆的定交角，运算方法和月食相同。

推算初亏、复圆方位：日食发生在界限东面时： 定交角在四十五度以内：初亏位置向上偏右，复圆位置向下偏左； 定交角大于四十五度：初亏向右偏上，复圆向左偏下； 恰好九十度：初亏正右方，复圆正左方； 超过九十度：初亏向右偏下，复圆向左偏上。

日食发生在界限西面时： 定交角四十五度以内：初亏向下偏右，复圆向上偏左； 四十五度以上：初亏向右偏下，复圆向左偏上； 恰好九十度：初亏正右，复圆正左； 超过九十度：初亏向右偏上，复圆向左偏下。

京城（京师）的黄平象限永远在天顶南侧，方位依照上面规则；黄平象限如果处在天顶北侧，方位全部反过来。

推算带食分秒：取当日日出、日落时刻；初亏或者食甚发生在日出之前，叫作带食出地，取用日出时刻；食甚或者复圆发生在日落之后，叫作带食入地，取用日落时刻。把该时刻和食甚真时相减，余数就是带食距时。 把初亏、复圆距时换算成秒为第一比率；初亏、复圆视行换算秒作为第二比率；带食现象发生在食甚之前，就使用初亏视行；发生在食甚之后就用复圆视行；带食距时换算成秒作为第三比率，算出第四比率，单位秒，换算成度分，得到带食距弧。 再取半径一千万作为第一比率，带食距弧的余切作为第二比率，食甚距纬的余弦作为第三比率，算出第四比率得到余切，查表得到发生带食时日月两心之间距离。 把太阳完整视直径作为第一比率，十分作为第二比率；日月半径总和减去带食两心距离作为第三比率，算出第四比率，就是带食分秒。

推算各省日食时刻以及食分：拿京城的食甚时刻，按照各省的东西经偏差度数进行加减，得到各省食甚时刻。再依据各省的北极地平高度，仿照京城的计算方法运算，就得到各省日食各项数据。

推算各省日食方位：用各省当地黄道高弧交角，加上初亏、复圆视纬度，求取定交角，就得到方位。

绘制日食图的方法和绘制月食图相同。只是只用日月两个半径作为尺度，画一个虚拟大圆，代表初亏、复圆时月亮圆心移动轨迹。不用内侧虚拟圆，日食没有食既、生光这两个阶段。

推步凌犯法则

推算星体凌犯的相关数值，全部包含在七政、恒星运行以及交食的算法当中。

推演凌犯的计算方法： 求凌犯入限：月亮凌犯恒星，取用月亮本日、次日的黄道经度，查阅当年恒星经纬度表；某颗恒星纬度不超过十度，并且经度落在这个区间内，就判定进入凌犯范围。再核查月亮相对这些入限恒星的上下方位： 月亮、恒星纬度都在黄道北侧，纬度数值大的位置在上，小的在下； 都在黄道南侧则反过来； 一个在南一个在北，黄道北侧为上，南侧为下。

月亮位置在上：星月两纬度差值在二度以内才取用计算； 月亮位置在下：两纬度差值在一度以内才取用。

两星纬度距离十七分以内称作“凌”，十八分以外称作“犯”；纬度完全相同，叫作“掩”。

月亮凌犯五大行星：月亮本日经度在行星经度之前，次日经度落到行星经度之后，即为进入凌犯范围，其余规则和月亮凌犯恒星相同。

五大行星凌犯恒星：两星纬度差在一度以内才参与计算；相距三分以内叫凌，四分以外叫犯；其余规则同月亮凌犯恒星。

五大行星互相凌犯：运行速度快的星体为凌犯方，运行慢的星体是被凌犯方；如果运行快慢相同但存在顺行、逆行区别，则顺行星体凌犯逆行星体；都以该星体本日经度在另一星体之前，次日在另一星体之后，作为入限判定条件。其余和凌犯恒星算法一致。

求日行度（星体一日运行度数）： 月亮凌犯恒星，直接取月亮一天的实际运行度数作为日行度； 月亮凌犯行星：月亮一日实际行度和行星一日实际行度相加或相减，行星顺行就相减，行星逆行就相加，得到日行度； 行星凌犯恒星，取该行星一日实际行度作为日行度； 行星互相凌犯：两颗行星一日实际行度相加或相减；顺行、逆行方向相同就相减，方向相反就相加，得到日行度。

求凌犯发生时刻：日行度换算成秒作为第一比率，一刻换算成分作为第二比率，本日子正时刻起算的相距度数换算秒作为第三比率，算出第四比率单位为分，换算成时刻，从子时正刻开始起算，得到凌犯时刻。

求月亮凌犯的视差：五大行星视差极其微小，可以忽略不计。取一刻对应的分数作为第一比率，太阳一日实际行度换算秒为第二比率，凌犯时刻换算成分作为第三比率，算出第四比率单位秒，换算成度分；和本日子正太阳实际黄道经度相加，得到这个时刻太阳黄道经度。仿照日食的算法，求出东西差、南北差。

求月亮视纬度：取用月亮真实纬度，对其加减南北差（加减规则和日食一致），得到月亮视纬度。

求月亮和恒星距离：月亮视纬度和恒星纬度相加或者相减；南北纬度方向相同就相减，一南一北就相加，得到星月距离；只取用距离在一度以内的情况。

求凌犯视时：月亮一小时实际运行度数换算秒作为第一比率，一小时换算成秒作为第二比率，东西差换算秒作为第三比率；算出第四比率，换算成分。对凌犯时刻做加减：月亮位置在界限西侧就加，东侧就减，得到凌犯视时。

志二十五 时宪六 雍正癸卯元法上

修订日躔（太阳运行）算法的缘由

一、重新确定回归年长度，用来平衡岁实的消长变化。古代的回归年长，后世回归年变短，所以历法授时要有岁实增减调整的方法。西洋学者第谷所定岁实，比郭守敬的数据减少万分之三。到牛顿等人多次实测校验，认为第谷减得太多，定回归年为365.2423344201415日，比第谷的数值多出万分之一有余。用回归年去除周天360度，得到太阳每日平行度，比第谷的数据少五纤有余。本套雍正癸卯元法采用这套数值。

二、重新测定黄赤大距（黄道赤道夹角），来体现夹角的开合变化。黄赤道夹角古代偏大后世逐渐变小，一直只减不增。西洋学者利酌理、卡西尼测得黄赤大距为二十三度二十九分，比第谷测定数值少二分三十秒，比开普勒测定少一分。本法采用该数值。

三、精细推演蒙气差，消除观测带来的偏差。西洋第谷认识到大气包裹地球，日月星辰处在大气层之外；地面上观测者视线被大气折射，星体看上去位置会抬高；但是星光射入大气层内部，光线又会向下偏折。所以光线、视线在大气层内重合为一条线，大气层外分成两条线；两条线交点，就是蒙气差角，但是第谷没有建立对应的计算公式。 卡西尼反复精密研究：视线和折射光线虽然有偏差，但二者交汇存在固定位置；从地心穿过交汇点作直线延伸到地表圆周，这条线就是蒙气割线。视线和割线形成一个夹角，入射光线和割线也形成夹角，两个角度相减，就得到蒙气差角。 卡西尼在北纬四十四度的地点多次精密测量：地平线处最大蒙气差为三十二分一十九秒；大气层厚度相当于地球半径的6095/10000000；视线角度、光线角度正弦比值固定，为10000000比10002841。依靠这套比例，推算各个高度对应的蒙气差。本法采用这套数据。 图示说明：甲代表地心，乙代表地面，丙乙代表大气层厚度，丑甲代表蒙气割线，癸乙代表观测视线，子戊代表天体入射光线，癸戊子角就是蒙气差角；癸寅、子卯分别是视线、光线对应的正弦线段。

四、精细推演地半径差，区分各类干扰误差。康熙十一年壬子，秒分前十四日的半夜，发生火星冲日现象。西洋卡西尼在法国，测得火星天顶距五十九度四十分一十五秒；利希尔在同一子午线的卡宴岛测得火星天顶距一十五度四十七分五秒。两地同时使用可以测量秒级微小角度的望远镜仪器，对比附近子午线上的恒星，测量火星和恒星的角距离。卡西尼观测得到火星视高度低十五秒。 因为恒星不存在地半径差，据此建立算法；利用平面三角形，推算火星地平位置最大地半径差二十五秒三七微。再参考哥白尼、第谷测得火星、太阳到地球距离之比100比266，使用比例换算，求得太阳在平均距离时，地平最大地半径差十秒；不同仰角的地半径差，按照半径和仰角正弦成比例变化。 本法使用这套算法，计算地球半径和太阳轨道半径比例：日地平均距离为1比20626；太阳远地点1比20975；太阳近地点1比20277。地平最大地半径差：远地点九秒五十微，近地点十秒一十微。

五、使用椭圆面积对应平行度，折中处理太阳运行数值。从西洋学者开普勒之后，经过多次精密观测，太阳盈缩（中心差）最大差值是一度五十六分一十二秒。推算各个角度的盈缩差：远日点附近，本轮算法结果偏小，均轮算法结果偏大；近日点附近，本轮偏大，均轮偏小。于是将最大盈缩差折半，取对应正弦数值169000作为椭圆两心差。 以椭圆长半轴一千万，画出椭圆；从地心引出直线，椭圆面积均匀等分得到的角度为太阳平行度，对应椭圆上的角度作为太阳实际黄道经度，以此计算盈缩差，结果介于本轮、均轮两套算法中间。但是逐度计算没有简便算式。卡西尼等人创立角度、面积互求的算法，和实测相互验证，结果吻合。本法采用。 图示说明：甲是地心，乙是太阳椭圆轨道中心，丁远日点，丙近日点，戊己为日地平均距离位置；分割相等椭圆面积得到平行度，对应大圆上角度，就是黄道实际运行度数。

六、重新确定远日点运行，校正引数。卡西尼等人实测太阳远日点每年平行移动一分二秒五十九微五十一纤零八忽，比甲子元法多一秒四十九微有余。本法采用。

七、重新确定平行度起算位置，校正岁首。采用卡西尼测定数值，推算雍正癸卯年天正冬至是丙申日丑正三刻十一分有余，比甲子元法推算结果晚两刻。冬至次日子正时刻，太阳远日点已经越过冬至点八度七分三十二秒二十二微，比甲子元法多出十七分三十五秒四十二微。

修订月离（月亮运行）算法的缘由

一、月亮椭圆轨道中心到地球距离，月亮远地点运行速度都随时变化，算法要兼顾变化规律。开普勒创立椭圆轨道算法，牛顿等人多次观测月亮运行：当太阳处在月亮轨道平均距离位置，月亮最大迟疾差四度五十七分五十七秒，椭圆两心差433190；当太阳处在月亮轨道远地点或者近地点，月亮最大迟疾差七度三十九分三十三秒，两心差667820。 当太阳运行过月亮轨道远、近地点之后，两心差逐步缩小；经过月亮轨道平均距离之后，两心差逐步增大；太阳距离月亮轨道远近点前后四十五度，两心差取中间值。 太阳位于月亮轨道远、近地点时，月亮远地点运行速度快，一直持续到过后四十五度为止；太阳处在月亮轨道平均距离时，月亮远地点运行变慢，持续到过后四十五度。这个规律和太阳、月亮盈缩迟疾类似，但是周转频率翻倍。 于是以地心为圆心，把两心差最大、最小值相加除以二得到550505，作为远地点本轮半径；二者相减除以二得到117315，作为远地点均轮半径。均轮圆心沿着本轮圆周右旋，运行远地点平行度；椭圆轨道中心沿着均轮圆周，从最远点起右旋，运行太阳和月亮远地点夹角的二倍角度。利用平面三角形算出远地点实际均数，再推算每一时刻两心差，求取椭圆面积，仿照日躔求盈缩的方法，计算月亮迟疾差，称作初均。本法采用。 图示说明：戊为地心，甲壬癸子为本轮，乙丁丑丙为均轮；丙、丁都是月亮椭圆轨道中心，丙距离地心最远，丁距离地心最近；戊丙两心差大对应椭圆面积小，戊丁两心差小对应椭圆面积大。

二、增设第一平均数，用来匹配时差。开普勒之后牛顿多次实测：太阳运行到近地点之后，月亮平均运行速度偏慢；月亮远地点、白道交点平均运行速度偏快；太阳运行到远地点之后现象相反。 于是规定：太阳处在平均距离，月亮平行差一十一分五十秒；月亮远地点平行差一十九分五十六秒；交点平行差九分三十秒。各个角度的差值，以太阳平均距离均数和太阳该时刻均数做比例换算，命名为一平均。本法采用。

三、增设第二平均数，均衡椭圆面积带来误差。牛顿之后精密观测得到：太阳处在月亮轨道远近点前后，月亮运行速度偏慢，持续到过该点四十五度；太阳处在月亮轨道平均距离前后现象相反。速度累计快慢的极值，就出现在四十五度。并且太阳位于远日点、近日点，该差值大小又不一样。 定太阳在远日点，距离月亮轨道远近点前后四十五度，最大差三分三十四秒；太阳在近日点，该位置最大差三分五十六秒；过远近点之后做减法，过平均距离之后做加法。各个角度差值，以半径比太阳月亮远地点夹角二倍的正弦。太阳不同距离对应的修正，用太阳远近点距离立方差，和当日日地距离与远日点距离立方差做比例换算，命名二平均。本法采用。

四、增设第三平均数，匹配交点相关偏差。牛顿之后测定：白道北极在交点均轮圆周，运行太阳与白道交点夹角的二倍。太阳经过黄白交点之后，月亮运行略微变慢；太阳到达黄白大距之后，月亮运行略微变快；最大差值四十七秒；过交点做减法，过大距做加法；逐度差值，半径对比日距交点二倍角正弦，命名三平均。本法采用。

五、重新修订第二均数，校正月日夹角二倍对应的偏差。卡西尼之后多次实测：太阳远日点，朔望前后四十五度，最大差三十三分一十四秒；太阳近日点，朔望前后四十五度最大差三十七分一十一秒；朔望之后加，两弦之后减。 月亮太阳夹角二倍对应的二均修正，取半径对比月日夹角二倍正弦。太阳远、近地点带来二均的变化，和二平均一样，使用日地距离立方差比例换算。本法采用。

六、重新修订第三均数，匹配多项叠加总误差。卡西尼等人观测：当月日夹角，和月亮远地点太阳远地点夹角相加等于九十度的时候，除去末均的偏差，其误差和单独某一个角度等于九十度情形相等；二者相加四十五度也是如此。于是规定月亮三均修正：两个角度之和，半周以内加，超过半周减；九十度、二百七十度最大差二分二十五秒；逐度修正取半径对比总夹角正弦。本法采用。

七、增设末均数，匹配轨道距离带来偏差。卡西尼观测：日月远地点重合，或者日月位置重合，此时只存在三均修正；如果日月远地点有距离，日月本身也有角度差，除三均之外，朔之后月亮运行偏迟，望之后运行偏快。当月日夹角九十度，月亮远地点太阳远地点夹角也是九十度，三均修正为零，但是总偏差反而最大，说明三均之外还存在末均。 把日月远地点夹角九十度分为九段，都取月日夹角九十度条件实测：两远地点相距九十度，偏差三分；八十度二分三十九秒；七十度二分一十九秒；六十度二分；五十度一分四十三秒；四十度一分二十八秒；三十度一分一十六秒；二十度一分七秒；一十度一分一秒。中间各个度数用插值比例求取；月日夹角各个角度修正，取半径对比月日夹角正弦；朔后减，望后加。本法采用。

八、重新修订交均与黄白大距，匹配交点相关偏差。牛顿、卡西尼实测：太阳位于黄白交点，黄白交角最大五度一十七分二十秒；太阳距离交点九十度，交角最小四度五十九分三十五秒；朔望之后交角还会增加；随着太阳离交点、月亮离太阳越来越远交角慢慢变大；太阳距交点九十度，月亮距太阳九十度，额外再加二分四十三秒。交均最大值一度二十九分四十二秒。 将最大、最小黄白交角相加折半，作为环绕黄极的本轮半径；二者相减折半，作为带动白极的负均轮。把均轮直径五等分，取一份，扣除朔望后的增量，作为增量小轮直径设置在白道；剩余部分作为交均小轮直径。均轮直径减去交均小轮直径得到负小轮直径，和均轮同心，负小轮只随均轮转动，自身不旋转。均轮圆心沿本轮圆周左旋，运行交点平行度；交均小轮圆心在负小轮圆周，自最远点右旋，运行太阳交点夹角二倍；白道北极在交均小轮圆周，自最远点左旋，运行四倍该角度。白道面上的增量小轮半径最小；黄道上切点和朔望时白道相切；小轮直径随太阳交点夹角二倍变化，等于最大增量对应的正矢；再根据月日夹角二倍取对应正矢确定张开角度，实测吻合。本法采用。 图示说明：甲黄极，乙为本轮，丙均轮，丁负小轮，戊己交均小轮，庚辛白极，壬黄道，丑、癸朔望时刻白道，寅、子两弦时刻白道，卯、辰白道上的增量小轮。

九、重新修订地半径差，匹配高度带来的修正。月亮椭圆两心差最大：远地点离地心10667820，相当于63.77倍地球半径；近地点9332180，相当于55.79倍地球半径。两心差最小情形：远地点10433190，62.37倍地半径；近地点9566810，57.19倍地半径；轨道平均距离一千万，59.78倍地半径。用平面三角形算出月亮从远地点到近地点各个角度到地心距离，以及地平最大视差；不同仰角地半径差，半径和仰角正弦成比例。

十、重新确定三项平行度，以及起算基准。月亮每日平行度，比甲子元法多出22316/10000000秒；月亮远地点每日平行度，比甲子元法少7251/1000000秒；白道交点每日平行度，比甲子元法少137/100000秒。 雍正癸卯天正冬至次日子正时刻，月亮平行度起算位置，较甲子元法多二分一十四秒五十七微；月亮远地点平行起算位置，较甲子元法少三十六分三十七秒一十微；交点平行起算位置，较甲子元法多五分六秒三十三微。

修订交食算法的缘由

一、用两天的太阳、月亮黄道经度求取真实朔望。先推算平朔、平望，确定发生日月食的月份；再推算本日、次日子正时刻太阳、月亮黄道经度，计算真实朔望时刻；再推算该时刻、下一时刻日月经度，用比例细化时刻。和甲子元法只采用两天数据、依靠黄白经度相等求朔望不一样。

二、用两道斜向距离，求日月食甚时刻、日月两心真实距离。黄道、白道并不互相平行，太阳月亮黄经经常存在斜向距离。假设太阳静止，月亮沿着斜向相对轨迹运行。两星距离最近连线不垂直白道，而垂直这条斜向相对轨迹。距弧变化，不和月亮太阳相对行度成正比，而和斜向距离成正比。 图示说明：甲乙黄道，戊乙白道，甲戊真实朔望时纬度差；甲癸太阳一小时运行度数，戊丑月亮一小时运行度数。假设太阳不动，甲移动到癸，月亮不会走到丑而走到寅。戊寅是一小时黄经斜距连线；甲卯垂直戊寅，就是两星最近距离连线；戊卯是食甚距弧。把弧线近似当作直线，平面三角形求解。初亏、复圆，拿日月半径之和作斜边构建勾股三角形。

三、重新修订太阳、月亮真实直径和地球直径比例。西洋学者穆爵制造望远镜仪器测得：太阳视直径，远日点三十一分四十秒；平均距离三十二分一十二秒；近日点三十二分四十五秒。月亮视直径：远地点二十九分二十三秒；平均距离三十一分二十一秒；近地点三十三分三十六秒。据此算出太阳真实直径是地球直径96.6倍；月球真实直径为地球直径0.2726倍；太阳光半影15秒。本法采用这套数值。

四、重新修订地影半径算法，引入影差修正。太阳地半径差加上月亮地半径差，减去太阳视半径，余数就是地本影真实半径。发生月食时太阳位于地平线之下，大气会遮挡阳光，地球视影半径比真实影半径大，增量等于月亮地半径差的六十九分之一，这个叫影差。 图示三角形甲丁辛：内角丁、内角辛之和等于外角壬甲辛；丁角太阳地半径差，辛角月亮地半径差；甲丁近似等于日地距离，甲辛近似等于月地距离；角度大小都和地球半径甲乙对应。壬甲己角等于太阳视半径。丁角加辛角得到壬甲辛角，减去壬甲己角，剩余己甲辛角，即本影半径。

五、重新推算日食食甚真时、两星视距离。弧线近似直线，平面三角形运算。以食甚近似时刻两星真实距离为一边，近似时刻高下差为一边，白道高弧交角为夹角，求出对边，得到两星视距离，同时求出对应真实距离的对角。 再假设另一个参考时刻：界限向西，参考时刻往后取；界限向东，参考时刻往前取。算出该假设时刻两星真实距离、高下差作为两条边；白道高弧交角减去假设时刻距弧对应角得到夹角，算出对边，得到假设时刻两星视距离，也求出对应真实距离的对角。 再取近似时刻、假设时刻两组白道高弧交角之差，减去近似时刻对真实距离的对角；加上假设时刻对真实距离对角；再拿全周减去这个结果得到一个夹角；近似时刻、假设时刻两组视距离作为夹角两条边，求出对边即视行；作中垂线落在视行上，垂足就是食甚真时位置；垂线长度就是真时刻两星视距离。（加减以上描述均以参考时刻向后选取为标准）。拿得到的真时回代核验，两星视距离和垂线结果吻合，就是确定的食甚真时。 图示说明：乾太阳圆心；乾子近似时刻两星真实距离；乾壬高下差；壬子两星视距离；乾午假设时刻两星真实距离；乾己高下差；己午、壬未是两组视距离；壬丑中垂线就是真时视距离。初亏复圆算法相同，只是拿日月半径之和作为核验边界。带食直接以地平线作为分界，直接求两星视距离，不用视行迭代。

恒星部分修订缘由，记载于天文志；土星修订缘由记载在《推步因革》篇。

罗睺、计都改名：乾隆五年，庄亲王等人援引古代历法上奏请求更正名称，交由大学士、九卿讨论上奏，乾隆九年正式改定。

增设紫气的缘由：大学士讷尔泰等人审议批复，改定罗睺、计都名称，又援引古法增设紫气；大约二十八年十闰，紫气运行完整周天，每日运行二分六秒720777微。以乾隆九年甲子天正冬至次日子正为历元，此时紫气在七宫十七度五十分十四秒五十三微。

日躔所使用常数

历元：雍正元年癸卯天正冬至（即壬寅年十一月冬至） 周岁：三百六十五日二四二三三四四二 太阳每日平行：三千五百四十八秒，余三二九〇八九七 远日点岁行：六十二秒，余九九七五 远日点日行：十分秒之一又七二四八 太阳椭圆轨道：长半轴一千万；短半轴九百九十九万八千五百七十一八五；两心差十六万九千。

二十八宿分度：乾隆十八年之前使用康熙壬子年恒星表；十九年以后使用乾隆甲子恒星表，全部记载在天文志。 各省、蒙古、回部、两金川土司北极高度、东西偏度，见天文志。

黄赤大距：二十三度二十九分。 远日点应度：八度七分三十二秒二十二微。 气应：三十二日一二二五四。 宿应：二十七日一二二五四。

星宿命名：乾隆十八年以前和甲子元法相同；十九年以后，调整觜宿排在参宿之前；其余参照甲子元法。

推算太阳运行：求天正冬至，算法和甲子元法相同；求平行度同甲子元法；求实际经度：先求引数，同甲子元法。 用平面三角形，两千万为一条边，两倍两心差为第二条边，引数为夹角；黄道前六宫取内角，后六宫取全周减去引数的外角。求出对二倍两心差的角，翻倍得到椭圆界角。 再以椭圆短半轴为第一比率，长半轴第二比率，上面求得夹角正切第三比率，求第四比率得到椭圆正切，查表得到角度。该角度减去引数得到椭圆差角。远日点前后三宫，引数加上椭圆界角；近日点前后三宫，引数减去椭圆界角；从初宫算作近日点之后顺次计数，得到均数。 太阳平行度加减均数：引数一至五宫加，六至十一宫减，得到太阳实际黄道经度。 求二十八宿宿度；求纪日对应星宿；求节气时刻；求距纬度；求日出日落、昼夜时刻，全部同甲子元法。

月离所用常数

月亮每日平行：四万七千四百三十五秒，余〇二三四〇八六。 月亮远地点每日平行：四百零一秒，余〇七〇二二六。 白道交点每日平行：一百九十秒，余六三八六三。

太阳最大均数：六千九百七十三秒。 月亮最大一平均：七百一十秒。 远地点最大平均：一千一百九十六秒。 交点最大平均：五百七十秒。

太阳远日点立方积：一〇五一五六二。 太阳远近点立方差：一〇一四一〇。

太阳处在远日点，月亮最大二平均：二百一十四秒； 太阳处在近日点，月亮最大二平均：二百三十六秒。 月亮最大三平均：四十七秒。

月亮椭圆长半轴一千万；最大两心差六六七八二〇；最小两心差四三三一九〇。 远地点本轮半径：五五〇五〇五（即平均两心差）；远地点均轮半径：一一七三一五。

太阳远日点，月亮最大二均：一千九百九十四秒； 太阳近日点，月亮最大二均：二千二百三十一秒。 月亮最大三均：一百四十五秒。

两远地点夹角不同，两弦时刻最大末均： 相距一十度，六十一秒；二十度六十七秒；三十度七十六秒；四十度八十八秒；五十度一百零三秒；六十度一百二十秒；七十度一百三十九秒；八十度一百五十九秒；九十度一百八十秒。

交点本轮半径：五十七分半；交点均轮半径：一分半。 黄白大距最大值五度一十七分二十秒；最小值四度五十九分三十五秒； 黄白大距中数五万八千五百零七秒半；半差五百三十二秒半。 交角最大增量一千零六十五秒；月日带来最大增量一百六十三秒。

历元初值：月亮平行起算位置五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微； 远地点起算位置八宫一度一十五分四十五秒三十八微； 交点起算位置五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微。其余常数参看日躔部分。

推算月亮运行

求天正冬至，同甲子元法；求月亮平行，同甲子元法；求远地点平行，同甲子元法推算月孛运行；求交点平行同甲子元法。

求用平行：太阳最大均数作为第一比率，月亮最大一平均第二比率，当日太阳均数换算秒第三比率，算出第四比率秒，换算成分，后面计算格式相同，得到月亮一平均。 拿远地点最大平均作为第二比率，第一、第三比率不变，算出当日远地点平均。拿交点最大平均作第二比率，算出当日交点平均，记下加减符号。月亮交点修正和太阳相反；远地点修正和太阳相同。 月亮平行、远地点平行、交点平行，分别加上、减去对应的平均修正，得到月亮二平行，以及使用远地点、使用交点。 太阳实际经度减去使用远地点，得到太阳月亮远地点夹角；减去使用交点，得到太阳白道交点夹角。

半径一千万为第一比率；太阳引数加减太阳均数得到实引，取其余弦第二比率；太阳两倍两心差第三比率，算出第四比率，得到勾股的股长；取实引正弦作为第二比率，一率三率不变，算出勾长。 股长和两千万相加、相减：实引在前三宫、后三宫（79宫）相加；实引36宫相减，得到股弦之和，算出弦长。两千万减去弦长，得到日地距离。距离三次方得到立方积，减去太阳远日点立方积，得到当日立方差。

半径一千万第一比率；太阳远、近日点对应的最大二平均分别作为第二比率；太阳月亮远地点夹角二倍的正弦作为第三比率，分别算出当日远、近条件下二平均。 太阳远近点立方差为第一比率；当日立方差第二比率；远近两套二平均的差值为第三比率，算出结果加上远地点二平均，得到当日二平均，标记加减号。太阳月亮远地点夹角二倍小于半周就减，大于半周就加。

半径一千万第一比率；最大三平均第二比率；太阳交点夹角二倍正弦第三比率，算出三平均，标记加减号。夹角二倍小于半周减，大于半周加。

月亮平行加上减去二平均、三平均，得到实际使用平行。

求初实行：平面三角形；远地点本轮半径一边，远地点均轮半径一边；太阳月亮远地点夹角二倍减去半周的余数做夹角；算出对均轮半径的角，即远地点实际均数，标记加减。夹角二倍小于半周加，大于半周减。同时算出对原有夹角的边长，即当日两心差。 使用远地点加减远地点实均，得到远地点实际位置；远地点实际位置减去月亮使用平行，得到月亮引数。再平面三角形，半径一千万一边，当日两心差一边；月亮引数减半周余数做夹角，算出对两心差的角度；这个角和原来角度相加作为新夹角，算出对一千万半径的角度，得到平圆引数。 椭圆长半轴一千万为第一比率；当日两心差视作正弦，查表取余弦第二比率；平圆引数正切第三比率，算出第四比率正切，查表得到实引。实引减去月亮引数，得到初均数。 月亮使用平行加减初均数；引数一到五宫减，六到十一宫加。得到月亮初实行。